Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Основы Теории Управления

Файл:

Кошкин Ю.Н. ОТУ / tau_3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе

Чаще всего в практических расчетах используется критерий Найквиста в логарифмических

масштабах из-за значительной простоты и удобства расчетов. Рассмотрим его применение на примере

(рис.79).

T1p+1

T2p+1

рис. 79

Разрываем контур обратной связи и определим ПФ разомкнутой системы Wp

W = WW W =

(1)

(T p+

1)(T p+ 1)p

2 3

(T p+ 1)(T p+ 1)p

где kp = k1k2k3

– коэффициент усиления (всегда величина безразмерная) разомкнутой системы.

Как видно из (1) структура состоит из 4-х типовых звеньев: усилительного kp , интегрирующего

и двух апериодических

T p +1

T p +

ЛАХ:

20lg Ap (ω) = 20lgkp

+ 20lg

(2)

jω

+ jT1ω

+ jT2ω

ЛФХ:

ϕp

=ϕW

+ϕW

(3)

20lgAp

20lgkp

б/

ек.

б/

к.

ω =1/T

ω2=1/T2

lgω

б/

ср

к.

де

к.

-45°

(

)

-2

1+j

2ω

-90°

ϕW3

20l

ϕP

-180°

-220°

-270°

−ϕ°

Рис.80

ω1 =			1		– частота сопряжения для звена					1		;
ω1 =			T		– частота сопряжения для звена				T p+ 1			;
			1						1
ω2		=	1		– частота сопряжения для звена					1		,
ω2		=	T		– частота сопряжения для звена				T p +1			,
			1						2
ϕ	W	= −arctgTω ;				ϕ	W	= −arctgT ω ;	ϕ	W	= − π .
	W			1			W	2		W		2
	1						2			3		2
	1						2			3

Пересечение результирующей ЛАХ разомкнутой системы с осью частот называется частотой среза

ωcp : при ω <ωcp , Ap >1; при ω >ωcp , Ap <1.

В критерии Найквиста критическими величинами являются ϕp = −180ο и Ap = M = 1 или в логарифмическом масштабе 20lg Ap = 20lg1= 0.

Смотрим, чему равна фаза ϕp при 20lg Ap = 0:

ϕp = −220ο

и амплитуда (модуль) при ϕp = −180ο:

20lg Ap ≈ 8 или Ap > 1.

Следовательно, рассматриваемая в примере система в замкнутом состоянии неустойчива.

Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе: Для устойчивой системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы логарифмические характеристики разомкнутой системы

имели:	1.	при ϕp = −180ο,	20lg Ap	< 0;
	2.	при 20lg Ap = 0,	ϕp0 > −180ο.
	20lgAp			Запасы устойчивости			по
	40			фазе и амплитуде опреде-
				ляются	для	устойчивой
				системы	как	показано	на
				рис.81.
			ωс	lgω
				a - запас по модулю
		запас по фазе ∆ϕ
	-180°
	−ϕ°		Рис.81
			Рис.81

Примеры:

Дать заключение об устойчивости и нарисовать графики частотных и переходных характеристик.

1. g	k	1	x	2. g	1	x
	Tp+1	p			p2

при k > 0 и T > 0

3.	g	1	x
		0,1p+1

4.	g	1	x
		p3

5.	g
5.	g	1
			p

Рис.82

Д - разбиение

Это частотный метод, который позволяет для исследуемой системы определить значения параметров, соответствующих устойчивой работе системы.

Если изменяемый параметр один, то используется Д-разбиение в плоскости одного параметра.

Д-разбиение в плоскости одного параметра

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

где τ

an pn + τan′−1 pn−1 + an−2 pn−2

+Κ + a0 = 0,

(1)

– варьируемый параметр, который характеризует устойчивость системы.

Рассмотрим комплексную плоскость корней уравнения (1).

При изменении параметра τ

корни начинают перемещаться в

комплексной плоскости (рис.83). Мнимая ось, являющаяся

границей устойчивости, при каком-то определенном τ

оказывается пройденной.

В методе Д-разбиения мнимая ось отображается в

Рис.83

комплексной плоскости параметра τ .

Для этого решаем (1) относительно τ :

τ(p) =

− an pn − an−2 pn−2

−Κ − a0

(2)

a′

pn−1

n−1

Подставляя в (2) p= jω , получим

τ( jω) =

− an ( jω)n

− an−2 ( jω)n−2

−Κ − a0

= P(ω) + jQ(ω) ,

(3)

a′

−1

( jω)n−1

P(ω)

где

– вещественная часть комплексного числа τ(jω);

Q(ω)

– мнимая часть комплексного числа τ(jω).

Задаваясь частотой от −∞ до + ∞, строим кривую τ(jω), которая есть отображение мнимой оси на комплексной плоскости параметра τ(jω) – кривая Д-разбиения (рис.84).

∞

Т.к.

частотные

характеристики

симметричны

относительно вещественной оси, кривую Д-разбиения можно

−

0≤ω ≤ +∞, а затем

строить в

пределах

дополнить её

зеркальным отображением относительно вещественной оси.

После этого надо наметить предполагаемую область

устойчивости. Для этого применяется правило штриховки,

−

основанное

на том,

что границей в плоскости корней

∞

Рис.84

−

является мнимая ось комплексной плоскости корней

характеристического

уравнения, и

при

движении по

ней от ω = −∞ до ω = +∞,

область корней

устойчивой системы располагается слева. Аналогично на Д-кривой заштриховывается левая часть кривой по направлению от −∞ до + ∞ (рис.84).

Выделим область, претендующую на устойчивость, т.е. ту, которой соответствует наименьшее число правых корней. Если в последующем установим, что их число равно 0, то тем самым выделим область устойчивости.

Допустим, изменяя параметр τ мы двигаемся вдоль вещественной оси в положительном направлении из области 1 → 2 → 1 → 3. Тогда:

−полагаем, что в области 1 из n-корней имеется k-правых;

−переходя из области 1 в область 2 хотя бы один корень стал отрицательным и тогда имеем (k-1) - правых корней;

−из 2 → 1 снова k-правых корней;

−из 1 → 3 k+1 -правых корней.

Итак, наименьшее число правых корней имеет область 2, но будут ли все корни левыми? Для этого задаются простейшим (в смысле вычисления) параметром τ из области 2 и по любому другому критерию определяют устойчивость. В результате чего можем получить два ответа:

1.Система неустойчива, тогда изменением параметра τ нельзя добиться устойчивости системы и необходимо добиваться устойчивости изменением (если это возможно) другого параметра.

2.Система устойчива, тогда при любом τ из области 2 система будет устойчива. Это положение широко используется при наладке САУ.

Качество регулирования

Устойчивость САУ является необходимым, но далеко не достаточным условием технической пригодности систем. Помимо устойчивости к САУ предъявляются и качественные показатели переходных процессов. Все современные методы анализа качества переходного процесса регулирования можно разделить на две группы:

1.Прямые методы анализа – непосредственное решение дифференциальных уравнений системы и построение по нему графиков переходных процессов.

2.Косвенные методы:

2.1.нахождение корней характеристического уравнения системы;

2.2.интегральный метод;

2.3.частотный метод (наиболее распространён).

Рассмотрим качество регулирования с двух точек зрения:

1.Точность работы системы в установившемся режиме (статический режим).

2.Динамические показатели системы (методы определения качества переходных процессов).

Анализ статических режимов

В реальных САУ не удаётся поддерживать точные значения выходных величин в соответствии с заданным входным воздействием и имеет место ошибка, обусловленная как погрешностями самой системы, так и действием возмущений. Выведем выражение для определения ошибки в многомерной системе для следующей структуры (рис.85).

x(0)

V	E k U B	x	⌠	x	C	y
V	E k U B		⌠	x	C
			⌡
				А

рис.85

При t = 0, x(0) = 0;

E = V − y,

U = kE,

x&= Ax+ BU − DF,y = Cx,

где x Rn,U Rm,V Rm,y Rm,F Rl ,

dimA = n×n,dimB = n×m,dimC = m×n,dimD = n×l, dimk = m× m – матрица коэффициентов усиления регулятора.

Решим данную систему для определения ошибки в установившемся режиме, для чего полагаем x&= 0, V = const , F = const , x(0) = 0.

0 = Ax0 + BkE0 − DF x0 = −A−1BkE0 + A−1DF C−1y0 = −A−1BkE0 + A−1DFy0 = −CA−1BkE0 +CA−1DF V − E0 = −CA−1BkE0 +CA−1DF

(−CA−1Bk + I)E0 = V −CA−1DF E0 = (I −CA−1Bk)−1V0 −(I −CA−1Bk)−1CA−1DF.

В полученном выражении первое слагаемое отражает влияние задающих воздействий на статику многомерной системы, а второе – влияние возмущений.

Анализ статических режимов скалярных систем

Имеем САУ со структурной схемой (рис.86).

x2(p)

F(p)

V(p)

E(p)

x (p)

y(p)

W1(p)

W2(p)

W3(p)

рис. 86

Запишем систему уравнений из структуры

E(p) = V(p)− y(p),

Решаем систему (1) совместно относительно ошибки E, сигнала

(p) = E(p)W (p),

управления V и возмущения F, получим

x2(p) = x1(p)W2(p),

(1)

(p) = x (p)− F(p),

y(p) = x3(p)W3(p).

E(p) =

V(p) +

F(p),

(2)

1+Wp

где Wp = WW1 2W3 – передаточная функция разомкнутой системы.

Обозначим:	Ey (p) =		1	V(p) – ошибка от закона регулирования или ошибка от
		1
			+Wp

управляющего сигнала.

EF (p) =

F(p)

– ошибка от возмущающего воздействия.

+Wp

1. Ошибка от закона регулирования.

Ey (p) =

V(p) .

+Wp

Рассмотрим случаи, когда Wp (p) имеет различный вид:

1.1.

bm p

+ bm−1 p

m−1

+Κ + b0

B(p)

(p) =

an pn + an−1 pn−1 +Κ + a0

A(p)

В установившемся режиме при

t → ∞ , оператор p=

= 0, тогда

(1)

(2)

Wp (0) = b0 = kp – статический коэффициент усиления разомкнутой системы. a0

Следовательно, ошибка от закона регулирования в установившемся (статическом) режиме имеет

вид

εy.c.(t → ∞) =

V(t → ∞),

(3)

1+ kp

если

V(t) = 1 (единичный ступенчатый сигнал), то

εy.c. =

(4)

1+ kp

Выводы:

1. При виде передаточной функции разомкнутой системы Wp

(2) (со свободным членом в

знаменателе) ошибку в установившемся режиме принципиально не возможно сделать

равной нулю – такие системы называются статическими.

С ростом коэффициента усиления ошибка от закона

регулирования уменьшается, однако её устойчивость

kкp

также ”уменьшается”, а может и оказаться неустойчивой

при k > kкp (рис.87),

где

kкp

– коэффициент усиления

-1,j0

ω=+∞

ω=0

разомкнутой системы, при котором замкнутая система

находится на границе устойчивости.

При проектировании обычно задается величина ошибки

системы в установившемся режиме, по ней из уравнения

Рис.87

(4) определяется необходимый kp

kp =

−1.

(5)

y.c.

4. Ошибка от закона регулирования равна 0 только при kp

= ∞. Такие системы называются

астатическими.

1.2. Пусть

Wp (p) =	B(p)	.	(6)

	pA(p)

Такую функцию можно получить последовательным подключением к статической системе с ПФ (2)


идеального интегрирующего звена		1	. Подставляя (6) в (1) получим
		p
Ey (p) =		1		V(p) =	pA(p)	V(p) .
		B(p)			pA(p)+ B(p)
1+
	pA(p)

Вустановившемся режиме при t → ∞ ; p = 0, тогда из (7)

εy.аст. = 0.

(7)

(8)

Выводы: 1. Системы с передаточной функцией вида (6) имеют εy.а. = 0 и называются астатическими

или следящими.

2. Для расчета необходимого коэффициента усиления в разомкнутом состоянии для следящих систем вводят режим постоянной заводки, т.е. когда входной сигнал изменяется с постоянной скоростью (рис.88).

V(t) x(t)

)

Ω =

dV(t)

= const

– скорость изменения

(

входного

сигнала

(скорость

постоянной

)

заводки).

(

При этом возникает скоростная ошибка εск

εск

в установившемся режиме.

Рис.88

В изображении по Лапласу

Ω(p) = pV(p).

(9)

Подставляя (9) в (7), получим

pA(p)

Ω(p)

A(p)

Ey.ск (p) =

Ω(p).

(10)

pA(p) + B(p)

В установившемся режиме постоянной заводки при t → ∞ ;

p = 0, получим

= a0

Ω =

Ω .

(11)

ск

Для определения kp при заданной εск

выбирают максимально допустимую для данной системы

скорость заводки Ω (по техническим условиям).

1.3. Встает вопрос: Можно ли в САУ сделать εск = 0?

Если в структуру последовательно добавить ещё одно интегрирующее звено, то ПФ разомкнутой

системы получит вид:

B(p)

(12)

Wp (p) = p2 A(p) .

Проделав аналогичные предыдущему случаю преобразования, получим εск

= 0, однако в ней будет

присутствовать ошибка по ускорению. Такие системы называются астатическими с астатизмом второго

порядка.

В принципе, можно избавиться и от ошибки по ускорению, включив третье интегрирующее звено –

астатическая система с астатизмом 3-го порядка.

Однако,

отметим,

что

ω=0

построение

замкнутых

систем

астатизмом выше 2-го порядка

достаточно затруднительно, т.к. при

n = 2 (порядок астатизма) САУ уже

структурно неустойчива и не может

быть

реализована

без

включения

дополнительных

корректирующих

ω=0 p2

устройств (рис.89)

-1,j0

ω=∞

ω=0

ич

ат

ст

ω=0 p

Рис.89

2. Ошибка по возмущающему воздействию.

EF (p) =

F(p),

+Wp

f (t) – возмущающая единичная ступенчатая функция f (t) = 1.

2.1. Если

B(p)

Wp =

– статическая система,

A(p)

W =

ps + d

s−1

ps−1 + Κ + d

Д(p)

– передаточная функция объекта.

ck pk + ck−1 pk−1 + Κ + c0

C(p)

В установившемся режиме при t → ∞,

p = 0, получим

= k

– коэффициент усиления разомкнутой системы,

(1)

(2)

(3)

Wз = d0 = kз – коэффициент усиления (передачи) объекта. c0

Тогда ошибка от возмущения единичного ступенчатого скачка определится выражением

ε	F	=		kз	.	(4)

			1+ kp
Таким образом, ошибка от возмущения при				f (t) = 1 зависит от общего коэффициента усиления
разомкнутой системы и коэффициента		усиления (передачи) объекта. Уменьшить εF				можно
увеличением общего kp , но не за счет kз , а увеличения k1 или k2 .

При f (t) = f0 = const

Рассмотрим три случая.

2.2. Регулятор и объект регулирования статические.

(p) = WW = k

рег.

W′

(p),

(5)

рег.

где коэффициент усиления (передачи) Wр′ег. (p) в установившемся режиме равен 1.

Wз (p) = kз

Wз′(p),

(6)

где коэффициент усиления (передачи) Wз′(p) в установившемся режиме также равен 1.

Подставим (5) и (6) в выражение ошибки (1), получим

EF (p) =

kзWз′

F(p).

(7)

1+ kрег.kзWр′ег.Wз′

По теореме о начальном и конечном значении изображения по Лапласу имеем:

limε(t) = limpE(p)

– теорема о конечном значении по Лапласу.

t→∞

p→0

limε(t) = lim pE(p)

– теорема о начальном значении по Лапласу.

t→0

p→∞

Так как f (t) = f0

= const, то изображение по Лапласу от

f0 будет

(8)

F(p) = p .

Подставляя (8) в (7) и воспользовавшись 2.1, получим

kзWз′

kз

f0 ,

(9)

εF (∞) =

+ k k W′ W′

1+ k

рег з

рег

p=0

где	kp	= kрегkз = k1k2k3 – коэффициент усиления разомкнутой системы,
	kз	f0	– установившаяся ошибка разомкнутой системы при действии возмущения f0 ,
	εF (∞)		– установившаяся ошибка замкнутой системы от возмущения f0 .
Вывод:	В замкнутой системе, как это следует из (9) установившаяся ошибка по возмущению εF в
	1+ kp раз меньше, чем в разомкнутой системе. Т.е. за счет контура обратной связи происходит

поддержание выходного параметра на заданном уровне тем точнее, чем больше kp .

2.3. Регулятор статический, объект астатический с астатизмом 1-го порядка. Регулятор как и прежде имеет ПФ (5), а объект

Wз (p) =

kзWз′(p)

(10)

Подставляем (5) и (10) в выражение ошибки (1), получим

kзWз′(p)

(11)

EF (p) =

kрегkзWр′ег (p)Wз′(p)

F(p) = p + k

рег

W′ (p)W′(p) F(p) .

рег

Подставляя (8) в (11) и воспользовавшись 2.1, получим:

k W′(p)

(12)

εF (∞) =

p + k k W′ W′

рег з рег з

p=0

рег

Вывод: Если регулятор статический, а объект регулирования астатический с астатизмом 1-го порядка, то установившаяся ошибка замкнутой системы обратно пропорциональна коэффициенту усиления (передачи) регулятора kрег = k1k2 .

2.4. Регулятор астатический с астатизмом 1-го порядка, объект – статический. Передаточная функция регулятора

Wрег (p) =

kрегWр′ег (p)

(13)

ПФ объекта имеет, как и ранее, вид (6). Подставляем (13) и (6) в (1)

EF (p) =

kзWз′(p)

F(p) =

pkзWз′(p)

F(p) .

kрег kзWр′ег (p)Wз′(p)

p + k k W′

(p)W′(p)

рег з

рег

(14)

Подставляя (8) в (14) и учитывая (2.1), получим

pk W′(p)

(15)

εF (0) =

= 0.

p+ k k W′ W′

рег

з рег з

p=0

Вывод: Если регулятор астатический с астатизмом 1-го порядка, то установившаяся ошибка по возмущению f0 = const отсутствует εF = 0.

Коэффициенты ошибок

Рассматриваемый метод может применяться как для управляющего g(t), так и для возмущающего f (t) воздействий.

Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только управляющее

воздействие g(t), т.е. f (t) = 0.
Ошибка по управлению:			1
Ey (p) =			1	G(p)	=Wy (p)G(p).			(1)
Ey (p) =		1	+Wp (p)	G(p)	=Wy (p)G(p).			(1)
		1	+Wp (p)
Если входное воздействие g(t)			имеет	произвольную			форму,	но имеет конечное число m
производных						dmg(t)
	dg(t) d2g(t)			, Κ ,		dmg(t)		(2)

	dt		, dt2			dtm	,
	dt		, dt2			dtm	,

то передаточную функцию (1) можно разложить в ряд Тейлора по степеням комплексной величины p:

Ey (p) = C0

+ C1p +

p2 +

p3 +

G(p) .

(3)

Переходя в выражении (3) к оригиналу, получаем формулу для определения установившейся

ошибки по управлению.

ε(t) = C0 g(t) + C1

dg(t)

d2 g(t)

d3g(t)

dm g(t)

(4)

dt +

2! dt2

3! dt3

Κ + m! dtm .

Коэффициенты

C0 = [Wy (p)]

, C1

dWy (p)

, C2

d2Wy (p)

... , Cm

dmWy (p)

p=0

называются коэффициентами ошибок и определяются по общему разложению функции Wy (p) в ряд Тейлора по степеням p:

−коэффициент C0 ≠ 0 только в статических системах

−в астатических системах с астатизмом 1-го порядка C0 = 0

−в астатических системах с астатизмом 2-го порядка C0 = C1 = 0 и т.д.

Пример:

Определить коэффициенты ошибок по управляющему воздействию, если ПФ разомкнутой системы имеет вид

Wp (p) =

(1)

p(1+ T1 p)(1+ T2 p)

Передаточная функция по ошибке:

TT p3 + (T +T )p2 + p

(2)

Wy (p) = 1+W

TT p3

+ (T +T )p2

+ p + k

1 2

Определим коэффициенты ряда Тейлора

C0 = [Wy (p)]p=0

= 0,

dWy

(p)

[3T1T2 p2

+ 2(T1 +T2 )p] [знаменатель]−[3T1T2 p2

+ 2(T1 +T2 )p+1][числитель]

C1 =

[знаменатель]2

p=0

d2Wy (p)

−

dp2

p=0

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Кошкин Ю.Н. ОТУ

#
23.01.2019543.42 Кб21tau_1.pdf
#
23.01.2019909.77 Кб15tau_2.pdf
#
23.01.20191.72 Mб15tau_3.pdf
#
23.01.2019807.35 Кб15tau_4.pdf
#
23.01.2019777.29 Кб16tau_5.pdf
#
23.01.2019771.74 Кб15tau_6.pdf
#
23.01.2019788.43 Кб16tau_7.pdf