Кошкин Ю.Н. ОТУ / tau_4

1.

R1

K(p) = k,

L(ω)

Uвх

Uвых

k = R + R .

R2

R2

lgω

1

2

20lg k

2.

K(p) =

Tp

,

L(ω)

C

ω = 1

Uвх

R

Uвых

Tp +1

lgω

T = RC.

T

20 дб/дек

3.

R1

K(p) =

k

(T1 p +1)

L(ω)

T p

+1 ,

ω =

1

lgω

T1

= R1C,

2

T1

Uвх

C

R2

Uвых

20lg k

20 дб/дек

R2

k =

<<1,

R + R

2

1

T2

= kT1.

4.

K(p) =

1

,

L(ω)

R

ω = 1

Uвх

C

Uвых

Tp +1

lgω

T = RC.

T

-20 дб/дек

5.

K(p) =

k

,

L(ω)

1

U

R1

R2

C

Uвых

Tp +1

ω = T

lgω

вх

R2

20lg k

k =

R

,

+ R

2

-20 дб/дек

1

T = C

R

R2

.

+ R

2

1

6.

C1

K

(p) =

(T1 p +1)(T2 p +1)

,

L(ω)

1

1

1

1

R1

(T3 p +1)(T4 p +1)

T3

T1

T2

T4

lgω

Uвх

R2

T

= R C

;T

=

R

C

2

;T T

= TT

,

20lg k

Uвых

1

1 1

2

2

3 4

1 2

-20дб/дек

+20дб/дек

C2

R1

T1 + T2

T3

+T4

= T1 +T2 1+

.

20lg

T

R2

3

7.

ω1

ω2

K(p) = (T

Tp

L(ω)

1

R1

R2

+T

)p +1,

ω = T

lgω

Uвх

L1

L2

Uвых

1

2

20lg k

L1

L2

T

=

,

T

=

,

1

R

2

R

2

+20 дб/дек

1

T =

M

,

M = ω1ω2 .

R

R

M

1

1

8.

L(ω)

U

R1

R2

U

K(p) = TT p2 + (T +T + R C )p +1,

1

1

вх

C1

C2

вых

1

2

1

1

1

1

T1

T2

lgω

T2

= R1C1;T1

= R2C2.

–20 дб/дек

–40 дб/дек

83

9.

K(p) = TT p2

T1T2 p

2

)p +1,

L(ω)

1

C1

C2

1

Uвх

Uвых

+ (T

+T

+ R C

2

T1

T2

lgω

R1

R2

1 2

1

1

1

T2 = R1C1, T1 = R2C2.

+20 дб/дек

+40 дб/дек

10.

вход

L(ω)

K(p) = kТ.Г.

R2

lgω

ОВ

Uвх

Uвых

20lg k

11.

1

L(ω)

Uвх

R

Uвых

K(p) ≈ Tp

+1,

–20 дб/дек

lgω

С

T = RC.

1

T1

12.

K(p) ≈ Tp +1,

L(ω)

Uвх

Uвых

T = RC.

+20 дб/дек

С

lgω

R

1

T1

WK ( jω) = W2 ( jω*) W3 ( jω) . W ( jω)

В логарифмическом масштабе

20lgWK = 20lgW2W3 − 20lgW* .

Итак. При параллельной коррекции по вырожденным структурам для определения ЛАХ корректирующего звена, необходимо из ЛАХ звеньев, не охваченных коррекцией, вычесть ЛАХ желаемую.

Имея ЛАХ корректирующего звена по таблицам (табл. 2) выбирается схема корректирующего устройства и параметры RC элементов (табл. 2).

После чего, с учетом WK , строится (обязательно) скорректированная ЛАХ, которая, в общем случае, не совпадает с желаемой на низких частотах, где W1WK <<1. Только после этого можно переходить к построению переходного процесса.

(4)

(5)

Пересчет последовательной коррекции в параллельную

G(p)

x(p)

G(p)

x(p)

WK(p)

W1(p)

W2(p)

W1(p)

W2(p)

W’K(p)

W

p

=W WW ;

W1W2

K 1

2

W

p

=

;

W WW =

W1W2

;

1

+W1WK′

1

+WW′

1−W

K 1 2

WK′

1

K

=

K

.

1

WW

WK =

;

1 K

1+WW′

1

K

Рис.119

Следует, однако, заметить, что при таком формальном пересчете ПФ параллельного корректирующего звена может быть нереализуемой, т.е. порядок знаменателя меньше порядка числителя.

84

Построение желаемой частотной характеристики

Определение: Минимально-фазовой (МФ) системой (звеном) называется система (звено), у которой все полюсы и нули ПФ имеют отрицательные или равные нулю вещественные части.

Свое название МФ системы получили из-за того, что они дают минимальный фазовый сдвиг ϕ по сравнению с другими звеньями, имеющими такую же амплитудно-частотную характеристику A(ω).

	(1. W	=	k		– МФ; 2. W	=	k		– не МФ)
			Tp + 1				Tp −1
	1				2

У МФ систем, таким образом, существует однозначная зависимость между амплитудой и фазой, поэтому для таких систем достаточно строить лишь АЧХ.

Желаемая ЛАХ разомкнутой системы строится исходя из требований к системе по показателям качества: требуемый kp , допустимое время ПП, запас устойчивости по фазе (величина

перерегулирования).

ЛАХ может быть условно разделена на три части (рис.120):

−

низкочастотная;

−

среднечастотная;

−

высокочастотная.

1. Низкочастотная часть ЛАХ для:

1.1. статических систем имеет горизонтальный

20lgA(ω)

участок до первой точки сопряжения и отстоит от

оси частот на величину

20lgkp , и, таким образом,

-

определяет

собой

точность

работы

системы

в

-

4

0

2

д

0

установившемся режиме.

-

д

б

4

б

0

/

/

де

д

д

к

е

20lgk

б .

к

1.2. астатических систем с порядком астатизма

/

.

д

е

к

.

-

γ

наклон

низкочастотного

участка

ЛАХ

20

д

б

/

определяется

величиной

20γ дб/дек

и

проходит

∆A

д

е

1

к.

ωcp

ω

через точку ω = 1; 20lgkp

(рис.120).

0

A

lg

ω

-∆

-

4

2. Среднечастотная

часть

ЛАХ

определяет,

в

0

д

б

/

основном, качество ПП системы. Причем, участок

д

е

к

.

Низкочастотная

Среднечастотная

Высокочастотная

ЛАХ, пересекающий ось частот, выбирается по

Рис.120

заданному

времени

ПП

–

tp

и

по

величине

перерегулирования σ% .

Установлено, что при частоте среза наклон желаемой ЛАХ должен быть − 20дб/дек (устойчивость,

вид

ПП), а частота среза ωср

определяется по tp и σ%

из следующего соотношения:

ωср

≈

kπ

,

tp

σmax%

Tmax

где коэффициент k определяется допустимой

50

5π

величиной перерегулирования.

x

Для определения ω

ср

по заданным t

p

и σ% в

ω

ср

T

a

m

литературе построены графики σ

% = f (P

) и

4π

%

max

x

40

a

max

σm

T

= f (P

ω

) (рис.121).

ср

max

max

30

3π

Пример:

ω

ср

Задано tp

= 05,

с. и σ% =30%.

20

2π

По оси σmax % откладываем 30% и по кривой

ωср

10

π

σmax % определяется Pmax

= 1,28 далее по кривой

38,π

ωср

Pmax

Tmax

=

,

где

Tmax

= tp ,

следовательно

ωср

38,π

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

ωср

=

=23,6 1/сек.

Рис.121

0,5

Длина отрезка с наклоном –20дб/дек при ωср

85

ограничивается условиями необходимого запаса по фазе в ° и по модулю в децибелах. Для этого
используется номограмма (рис.106) постоянных значений P на плоскости ЛЧХ (иллюстрация на
рис.122).																								По	значению			Pmax	из	предыдущего
20lgA	0			20°		40°					60°		80°			100°		120°		140°	160°	180°
				1,		1,					1	1	1,03	1						0			дб
				1	5	1					0	0		0			3		9					графика,		определяемому			для		заданного
						0					7						,9		0
16	1,2											5		1	98	0,							16
											5						95 0					0,85
														0	,
															0									σ% , находим P
														,														:
14	1,			1,										1								0,82	14
		3
				28																		0,80					min
12	1,																						12	Pmin	= 1− Pmax			= −0,28.
10	4																						10
	1																					0,75
	,5																							На	номограмме P (рис.122)							строится
8																							8
	1																					0,70		прямоугольник,						определяемый
	,8
6																							6
	2,5																					0,65		касательными линиями к					линиям			Pmax	и
4																							4
	3,0																					0,59		Pmin (прямая линия).
2																							2
0																						0,50	0	По оси ординат отсчитываем запас по
-2	,0																					0,41	-2	модулю в децибелах, а по оси абсцисс запас
-4	-2																						-4	по фазе ∆ϕ в °
	,5
	-1																					0,35
-6																							-6	∆A= 14дб;			∆ϕ = 40°.
	-0,8																					0,30
-8	-0,5																					0,25	-8	Следовательно				отрезок			ЛАХ		с
-10																							-10
		,4																						наклоном		-20дб/дек			ограничивается
-12	-0																					0,20	-12
		,3																						величинами ± ∆A.
	-0			8																		0,18
-14			-0,2																				-14
			0																			0,15		Имея		низкочастотный				участок			и
	0,2
-16	-										5 5	3											-16
						0							0,01			0	0							среднечастотный с наклоном -20дб/дек надо
										7						,	, 0,
		15				,1			,0		0	0		0,0		0	0	0		0,10
											,	,				2	5	7
	-0,					0		0			0	0
						-	-						-
											-	-												провести их сопряжение. Рекомендуется,
-180°				-160°		-140°					-120°		-100° -80°					-60°		-40°	-20°	0 ϕ°(ω)
														Рис.122										чтобы участок сопряжения из одного
отрезка в другой производился так, чтобы наклон предыдущего отличался от наклона соседнего участка
на -20дб/дек (для упрощения корректирующего устройства) (рис.120).
3. Высокочастотная часть желаемой ЛАХ выбирается по возможности аналогичной ЛАХ
неоткорректированной системы, т.к. высокие частоты соответствуют малым постоянным времени
системы, которые не оказывают заметного влияния на вид ПП (рис.120).

Исследование САУ со звеном чистого запаздывания

Звеном с чистым запаздыванием называют такое звено, у которого выходная величина повторяет все изменения входной величины с постоянным сдвигом по времени.

xвх	xвых		τ – время чистого запаздывания.
	xвх	xвых	Уравнение такого звена имеет вид: xвых (t) = xвх (t − τ),				(1)
			где xвх (t)	– любая функция времени.
			Звено с	чистым запаздыванием	является	линейным	звеном,
0	τ		t однако его ПФ трансцендентна
			W(p) = xвых (p) = e−τp				(1)
	Рис.123
			xвх (p)
Амплитудно-фазовая характеристика при p = jω

				W(jω) = e− jωτ			= cosωτ − jsinωτ ,				(2)
A(ω) =	cos	2	ωτ + sin	2	ωτ =1,			−	sinωτ	= arctg(−tgωτ) = −ωτ ,	(3)
						ϕ(ω) = arctg
									cosωτ

Следовательно в логарифмическом масштабе:

ЛАХ: 20lg A(ω) = 20lg1= 0 – ЛАХ совпадает с осью абсцисс. ЛФХ: ϕ(ω) = −ωτ .

При исследовании систем с чистым запаздыванием необходимо учитывать, что характеристическое уравнение такой системы трансцендентно и имеет бесчисленное множество корней. Поэтому алгебраические критерии Рауса и Гурвица не могут быть непосредственно использованы. Специальные

86

критерии устойчивости для данных систем разработаны Понтрягиным Л.С., Чеботаревым Н.Г., Мейманом Н.Н.

Однако для практического использования во многих случаях более удобными оказываются частотные критерии Михайлова, Найквиста и Д-разбиения.

Критерий Михайлова: Для того, чтобы линейная система со звеном чистого запаздывания была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова M(jω) при изменении частоты от 0

до ∞, нигде не обращаясь в нуль, повернулся вокруг начала координат в положительном направлении

πn

на угол 2 (где n - порядок характеристического уравнения), т.е. последовательно прошел через n

квадрантов комплексной плоскости M(jω).

Критерий Найквиста: Для того, чтобы замкнутая система со звеном чистого запаздывания была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой

k

системы Wp ( jω) при изменении ω от 0 до ∞ повернулся бы 2 раз в положительном направлении

вокруг точки − 1; j0 (где k – число правых корней разомкнутой системы).

Таким образом, частотные критерии для систем, включающих звенья чистого запаздывания, оказываются совершенно такими же по форме, как и для обыкновенных линейных систем.

Звено чистого запаздывания не является минимально-фазовым звеном.

Оценка состояния линейных динамических систем

В модальном методе синтеза мы предполагали, что можно измерить все компоненты вектора состояния x. В общем случае в реальных системах сделать это невозможно. Как правило, в нашем распоряжении находятся компоненты входного вектора y, а иногда и отдельные компоненты вектора состояния x.

Для обеспечения обратной связи по состоянию необходимо каким-либо образом по измеряемым координатам y восстановить вектор состояния x.

Определения: 1. Оценкой вектора состояния x называется такая величина x, которая после допустимого интервала времени становится с определенной точностью близкой x.

2. Асимптотической оценкой вектора состояния называется величина x, если

limx(t) = x.

t→∞

3. Специальную динамическую систему, которая вырабатывает оценку x будем называть фильтром оценки состояния.

Разработаны: дифференцирующий фильтр, фильтр Винера-Калмана, фильтр Люенбергера и др. Одним из способов восстановления вектора состояния x является непосредственное вычисление

координат состояния.

Способ прямого вычисления вектора состояния

Уравнения динамической линейной системы имеют вид:

&	+ Bu,	x R	,(u, y) R		,
x = Ax				m
		n
		m < n.				(1)
y = Cx,

Матрица C имеет полный ранг: rangC = m.

Пусть кроме вектора выходных координат y доступны измерению некоторые компоненты вектора

состояния x.

Тогда разобьем вектор x на две группы

x1 Rn−m и x2 Rm .

Из второго уравнения (1) можно записать:
y = C1x1 + C2 x2 ,	(2)

87

причем координаты вектора x2 подбираются таким образом, чтобы матрица C2 была невырожденной, т.е. detC2 ≠ 0.

Тогда из (2) можно выразить x2

x2 = C2−1 (y − C1x1 ).

(3)

Выражение (3) показывает, что если выходной вектор y измеряем и можно измерить (n − m)

координат состояния x, то оставшиеся m координат вектора x вычисляются из (3).
Для увеличения возможности непосредственного вычисления	можно использовать	метод
расширения исходной системы путем дифференцирования известного вектора y
& &		(4)
y = Cx = CAx + CBu.

Получим еще m уравнений для вычисления m координат вектора x.

Продолжая расширять систему, можно набрать столько уравнений, сколько потребуется для вычисления всех компонент вектора состояния x. Следует, однако, помнить, что при этом необходимо реализовать операцию дифференцирования вектора y.

Условие наблюдаемости

Понятие наблюдаемости позволяет ответить на вопрос ”всегда ли можно восстановить вектор x по измеряемому вектору y?”.

Динамическая система

x&= Ax + Bu,

y = Cx,

является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости:

	C
	CA
N =	CA2			имеет полный ранг, равный n.
	Μ
		n−1
CA

Если матрица N не имеет полного ранга, то нельзя полностью восстановить вектор x и система является не полностью наблюдаемой.

ЛИНЕЙНЫЕ САУ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Ранее нами изучены линейные САУ при совершенно определенных, детерминированных воздействиях, которые описываются заданной функцией времени.

Однако такие воздействия далеко не исчерпывают все возможные условия работы САУ. Во многих случаях воздействия нельзя определить наперед известной функцией времени. Они могут принимать самые разнообразные случайные значения. В таких случаях оценивается только вероятность появления воздействия в тот или иной момент времени.

Исследование поведения САУ под влиянием случайных воздействий осуществляется методами теории случайных функций и называется статистической динамикой автоматических систем. Статистический расчет в САУ ведется в тех случаях, когда период изменения случайной функции соизмерим с временем регулирования системы. Он состоит из следующих основных разделов:

1.Определение средних характеристик сигналов;

2.Оценка качества САУ при случайных воздействиях;

3.Расчет оптимальной системы на основе полученных результатов о сигналах и качестве систем

88

		Характеристики случайных функций
x			Процесс, описываемый случайными функциями называется
			случайным процессом. Случайной функцией	x(t) называется такая
			функция, значение которой при любом	заданном	t	является
			случайной величиной. Случайная функция, полученная в результате
			опыта, называется реализацией случайной функции и является
		t	определенной, неслучайной.
			Таким образом, случайная функция представляет собой
t1	t2	tn	совокупность множества реализаций (рис.124).
	Рис.124		Задачей статистического метода является изучение не каждой из
функций	xk (t), характеризующую случайный процесс, а изучение свойств всего множества в целом,
при помощи усреднения свойств входящих в этот процесс функций.
Характер протекания случайного процесса оценивается его вероятностными характеристиками.

1.Одной из важнейших характеристик случайного процесса является функция распределения вероятности F(x).

Так в момент времени t = t1 (рис.124) значения отдельных реализаций	x1(t1), Κ , x2 (t1), Κ ,	и
т.д. будут различны. Вероятность того, что эти значения не будут больше некоторой величины x1		и
является функцией распределения вероятности.
F1 (x,t1 ) = P[x(t1 ) ≤ x1].	(1)

Пример: Экспериментальное определение функции распределения вероятности.

Сделано 10 опытов. Пусть наблюдаемые значения xi в 10 системах в момент времени t = t1

оказались следующими:
					i	1	2		3	4		5		6				7				8			9		10
					xi	0,2	0,4	0,3		0,6	0,7			0,9				0,3				0,4			0,5		0,4
				F(x)		0,1	0,6	0,3		0,8	0,9			1,0				0,3				0,6			0,7		0,6
Найдем вероятность того, что							xi	будет не больше						x = 05, .						Число событий удовлетворяющих
неравенству x		i	≤ 0,5 равно i = 7, всего опытов 10, следовательно F (0,5;t																					) ≈ 7			= 0,7.
F(x)																			1				1		10
										Вычислим F(x) для разных значений xi (табл.).
1,0						F(x)			Видим, что F(x) → 0											при убывании								x,		F(x) → 1 при
									возрастании x.
0,8										Если функция F(x) имеет производную, то величина
0,6						f(x)							f1	(x,t1) =					dF(x,t1)												(2)
																					dx
0,4									называется одномерной плотностью вероятности.
0,2										Величина				собой				f1(x,t1)dx1							= P[x1 ≤ x(t1) ≤ x1 + dx1]
								x	представляет									вероятность								того,				что	случайная
0,2	0,2			0,4	0,6	0,8	1,0		функция		x(t)			в момент времени t = t														1	имеет значение в
									интервале от x1 до x1 + dx1.
				Рис.125
										Аналогично рассмотренному вводятся понятия о n-
мерной функции распределения Fn (x1 ,Κ ,xn ,t1 ,Κ ,tn )													и n-мерной плотности вероятности
					fn (x1,Κ ,xn ,t1,Κ ,tn ) =					dn F (x			,Κ ,x			,t		,Κ ,t				)									(3)
										n		1			n		1				n	.
												dx1 Κ dxn
Для ТАУ важное значение имеет также другое разделение случайных процессов – на стационарные
и нестационарные.
Стационарный случайный процесс – это аналог установившегося процесса в детерминированной
системе. Статистический характер стационарного процесса неизменен во времени. В них функции
распределения и плотности вероятности всех процессов не зависят от времени.

89

Fn (x1,Κ ,xn ,t1,Κ ,tn ) = Fn (x1,Κ ,xn ,t1 + τ,Κ ,tn + τ);

(4)

fn (x1,Κ ,xn ,t1,Κ ,tn ) = fn (x1,Κ ,xn ,t1 + τ,Κ ,tn + τ).

Впрактике исследования САУ широкое распространение получили более простые, но менее полные характеристики случайных функций: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция и спектральная плотность.

1. Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной функции называют величину.

	∞	(5)
	mx (t) = M{x}= ∫x(t) f1(x,t)dx.
	−∞
Кривая mx (t)	является некоторой средней кривой, относительно которой колеблются значения
реализаций случайной функции.
Для стационарной случайной функции математическое ожидание mx (t) = const .
2. Дисперсия.	Дисперсия случайной функции определяется выражением
	σ = M{x(t) − mx (t)}2 = ∫∞ [x(t) − mx (t)]2 f1(x,t)dx.	(6)
	−∞

Она равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной функции от её среднего значения. Дисперсия – есть усредненная мера отклонения случайной функции от ее математического ожидания. Для стационарной случайной функции дисперсия σ = const . Дисперсия регулярной функции

σ = 0.

Среди законов распределения случайных величин особый интерес представляет нормальное или Гауссово распределение, которое встречается в большинстве практических задач. Плотность вероятности его

	1	e−	(x−mx )2		(7)
f1(x,t) =			2σx2	.
	2π σx

Функция распределения F(x) для нормального закона получается путем интегрирования

выражения (7).

Кроме того, в теории случайных процессов пользуются двумя понятиями средних значений.

1. Среднее по множеству (математического ожидания), определены на основании наблюдения за множеством однотипных систем, находящихся в однотипных условиях.

	~		∞	(8)
		=	∫x(t) f1(x,t)dx.
	x

−∞

2. Среднее по времени, определенные на основании наблюдения за одной системой на протяжении

	достаточно длительного времени T		T
		1		(9)
	x = lim		∫x(t)dx .
		2T
	T→∞		−T
	Вообще, для случайных процессов x~ ≠ x .			~
	Одним из замечательных свойств стационарных процессов является
				x(t) = x(t) – эргодическая

гипотеза. и эргодическая теорема.

Физический смысл эргодической гипотезы (теоремы) имеет большое практическое значение, т.к. она позволяет заменить труднодоступное одновременное наблюдение за множеством систем длительным наблюдением за одной системой.

3. Корреляционные функции. Для характеристики степени изменчивости случайного процесса при изменениях t вводится понятие корреляционной или автокорреляционной функции случайного процесса.

Корреляционная функция связывает между собой отклонения случайной функции от её математического ожидания при двух значениях аргумента t1 и t2 . Она равна математическому ожиданию этих отклонений.

90

Rx (t1,t2 ) = M{[x(t1)− mx (t1)][x(t2 )− mx (t2 )]}=	(10)
= ∞∫ ∞∫[x(t1)− mx (t1)][x(t2 )− mx (t2 )]f2 (x1,x2 ,t1,t2 )dx1dx2.
−∞−∞
Для стационарного процесса корреляционная функция зависит только	от одной переменной
τ = t1 − t2 – разности двух моментов времени.

Выражение корреляционной функции (10) – есть среднее по множеству. Однако, для случайных процессов для которых применима эргодическая гипотеза, корреляционная функция может быть определена как среднее по времени

	1	T	[x(t) − mx (t)][x(t + τ) − mx (t + τ)]dt			(11)
Rx (τ) = lim		∫
T→∞ 2T		−T
или					T
				1		(12)
Rx (τ) = lim					x(t)x(t + τ)dt .
			T→∞ 2T		−∫T

Последнее выражение корреляционной функции (12), записанное для случайных процессов, мы и будем преимущественно использовать в дальнейшем.

Основные свойства корреляционных функций:

1.Начальное значение корреляционной функции при τ = 0 равно среднему значению квадрата случайной функции x2 (t) , т.е. является положительной величиной.

2.Корреляционная функция (12) стремиться к нулю при τ → ∞ . При малых τ , значения x(t) и x(t + τ) более тесно связаны друг с другом, чем при больших τ , т.е. вероятность того, что они будут

Rx(τ)

τ

Рис.126

мало отличаться друг от друга, будет больше при малых τ . При больших τ вероятность получить положительные произведения под интегралом (12) (рис.125) приближается к вероятности получить отрицательные произведения, поэтому с τ → ∞ сумма таких произведений → 0.

3. Значение корреляционной функции при τ ≠ 0 не может быть больше её начального значения x2 (t) = Rx (0) ≥ Rx (τ) .

4. Корреляционная функция есть функция четная (рис.127)

Rx(τ)

Rx (τ) = x(t + τ)x(t) = x(t)x(t − τ) = Rx (−τ).

t

−τ		+τ	5. Если случайная функция содержит постоянную
	Рис.127
			составляющую	a0 , то корреляционная функция (12)

содержит постоянную составляющую a02 .

6. Если случайная функция содержит периодическую составляющую, то корреляционная функция

также содержит периодическую составляющую той же частоты.
Пример: x(t) = Acos(ωt + ϕ)						– детерминированная функция.
Rx (τ) = lim			1 T			A2 cos(ωt +ϕ)cos(ωt −ωτ +ϕ)dt =
			2T −∫T
	T→∞
= lim	A2	T		1	[cosωτ + cos(2ωt −ωτ + 2ϕ)]dt =		A2	cosωτ.	(13)
T→∞ 2T −∫T 2							2

Для оценки связи двух случайных процессов, вводится понятие взаимной корреляционной функции

91

		1	T
	Rxy (τ) = lim		∫x(t)y(t +τ)dt .
	T→∞ 2T		−T

Таким образом, корреляционная функция не зависит от сдвига фазы и есть косинусойда (рис.128).

Случайный процесс без периодической составляющей имеет корреляционную функцию (рис.126).

Случайная функция, содержащая в своем составе периодическую составляющую, имеет корреляционную функцию

(рис.129).

Rx(τ)

τ

0

Рис.129

(14)

Rx(τ)

τ

0

Рис.128

Спектральная плотность

Спектральной плотностью называется выражение

[

]

S

(jω) = lim

1

M

[

X

(jω)X

(− jω)

]

= lim

1

M

A (jω)

2

,

(1)

T

T→∞ 2T

T

T

T→∞

2T

T

+T

где XT (jω) = ∫x(t)e− jωt dt

– изображение Фурье для случайной функции

x(t) на интервале

−T

−T,T . Термин ”спектральная плотность” обязан своим происхождением теории электрических

	колебаний.
	Пусть x(t)			– напряжение на сопротивлении в 1ом. Тогда величина
	1		+T
			∫[x(t)]2 dt численно равна энергии выделяемой на этом сопротивлении в единицу времени.
		2T
			−T
	Аналогично предыдущему, вводится понятие и о взаимной спектральной плотности
				S12 ( jω) = lim	1	M[X1(− jω)X2 ( jω)],	(2)
				T→∞ 2T
	где X1 ,X2			– изображение по Фурье от случайных функций x1 (t) и x2 (t), соответственно.
	Установим связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями
					+∞		(3)
				S12 ( jω) = ∫R12 (τ)e− jωt dτ ,
					−∞
					+∞		(4)
				S(ω) = ∫R(τ)e− jωτ dτ ,
					−∞
	т.е.		спектральная плотность (4) (взаимная спектральная плотность (3)) представляет				собой

изображение Фурье от корреляционной (взаимной) функции.

На основе теории интеграла Фурье можно найти и обратные соотношения

		1	+∞	(5)
	R(τ) =		∫S(ω)ejωτ dω ,
		2π
			−∞

92