Кошкин Ю.Н. ОТУ / tau_5

2.Мнимая часть частотной характеристики WЛ* ( jω) V* (ω) в отличие от V(ω) является чётной функцией, следовательно частотная характеристика WЛ* ( jω) не будет симметричной относительно вещественной оси.

Рассмотрим первое уравнение системы (1)

Re (1

+α ω)W

( jω)+

1 = Re (1+αjω)[U(ω)+ jV(ω)]+

1

=

j

о

k

k

(4)

= Re U(ω)−αωV(ω)+ j[αωU(ω)+V(ω)]+ 1

(ω)−αωV(ω)+ 1

=U

> 0.

k

k

Учитывая (3) неравенство (4) можно переписать

1

U

*

(ω)− αV

*

(5)

(ω)

+ k > 0.

Граничное (критическое) значение

1

U

*

(ω) − αV

*

(6)

(ω)

+ k = 0.

Уравнение (6) в координатах комплексной плоскости U* ,V *

дает прямую линию, пересекающую

1

1

вещественную ось в точке (− k ; j0)

с коэффициентом наклона

α

и касается частотной характеристики

W* ( jω).

Л

V*(ω)

Если выполняется условие (5), то кривая WЛ* ( jω)

лежит правее прямой (6).

Таким образом критерий Пóпова может быть еще

1

сформулирован

таким

образом:

Для

абсолютной

U*(ω) устойчивости состояния равновесия нелинейной системы с

k

)

устойчивой

линейной

частью

и

нелинейности,

ω

характеристика

которой

лежит

в

секторе

(0,k),

* j

(

W

л

достаточно, чтобы частотная характеристика Попова

W*

( jω)

целиком лежала справа от прямой, проходящей

Рис.155

Л

1

1

через точку (− k ; j0)

с угловым коэффициентом α

, где α

– может принимать произвольное значение.

Пример:
	V*(ω)
( k1 ;j0)	U*(ω)
	Рис.156

Если, то сделать заключение об устойчивости нельзя, т.к. критерий Попова только достаточный.

Как видно из графика (рис.156) по виду частотной характеристики WЛ* ( jω) можно определить критический коэффициент наклона сектора нелинейности (0,k) .

Обобщение критерия Попова на случай нейтральной и неустойчивой линейной части системы

113

Линейная часть называется нейтральной, если хотя бы один корень характеристического уравнения является нулевым, а все остальные левыми.

Неустойчивая линейная часть – если хотя бы один корень правый.

Если линейная часть системы неустойчива (нейтральна), нелинейная характеристика Φ(x) не может уже принадлежать сектору (0,k) , т.к. при k = 0 система размыкается, следовательно, будет неустойчива заведомо. Очевидно, она будет неустойчива и при малых k .

-x	Φ(x)	y	W ( jω)	x
			л
		рис. 157

Преобразуем исходную систему (рис.157), охватив нелинейный элемент прямой, а линейную часть обратной отрицательными связями с коэффициентом r (видоизмененная схема эквивалентна предыдущей, т.к. это видно из рис.158, введенные обратные связи взаимно компенсируются).

-x	Φ(x)	Wл ( jω)	x
	r	r
		рис. 158

	В преобразованной структуре нелинейная часть имеет характеристику
	линейная часть	Φ1(x) =Φ(x) − rx,					(1)
					WЛ ( jω)
	W1	( jω) =				.	(2)
			1		+ rWЛ ( jω)

Коэффициент r выбирается таким, чтобы корни уравнения [1+ rWЛ (jω)]= 0 были левыми, т.е.

чтобы видоизмененная линейная часть была устойчива.

Т.к. полученная линейная часть устойчива, то к преобразованной структуре можно применять критерий Попова:

Re (1+αjω)W1

0 < Φ1x(

где k1 = k − r , согласно соотношения (1).

	( jω) +			1
						> 0;
				k1
	x)
		< k1	,

Второе уравнение (3) с учетом (1) преобразуется к виду

		0 <	Φ(x) − r < k
			x	1
	или
		Φ(x) < k + r = k ,
	r <
		x		1

(3)

(4)

т.е. нелинейная характеристика для абсолютной устойчивости состояния равновесия исходной системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью должна принадлежать сектору (r;k), где r

– постоянный коэффициент.

114