Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

dolgih

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
23.01.2019
Размер:
11.21 Mб
Скачать

86

Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

 

 

 

 

дим вторую интегрируемую комбинацию:

d ( y z)

 

dx

, отку-

z y

(z y)2

 

 

 

 

да находим еще один первый интеграл: 2x ( y z)2 C2 . Совокуп-

ность их образует общий интеграл системы (1). # Пример 4. Найти общее решение системы уравнений

 

y

mz lx

, z

nx my

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ly nz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ly nz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем

систему

в

 

симметрической

 

форме

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ly nz

 

 

dy

 

 

dz

 

 

и воспользуемся соотношением (10.78). Выби-

 

 

 

 

 

 

mz lx

nx my

раем

 

m,

 

 

 

 

n

и

 

 

l ,

получим

 

d (mx ny lz)

,

т.е.

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(mx ny lz) 0 ,

откуда

 

mx ny lz C1 . Аналогично,

 

выбирая

2x,

2

2y

и

3

2z , приходим к равенству

 

d(x2 y2

z2 ) 0 ,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда x2 y2 z2

C2 . Их совокупность неявно определяет общее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение. #

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

5.

 

 

Найти

частное решение системы

 

dx

1

1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

y

 

dy

 

 

1

 

 

,

 

удовлетворяющее начальным условиям:

x(0) 1,

 

y(0) 1.

 

 

 

x t

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем

 

данную

 

систему

в

виде

y

d (x t)

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

(x t)

 

dy

1. Складывая эти уравнения, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

d(x t)

 

(x t)

dy

 

0 или

d[(x t) y] 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда (x t) y C1

– первый интеграл. Так как x t C1 / y , то вто-

рое уравнение системы примет вид:

dy

 

 

y

, откуда

y C et / C1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

C1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, (x t) y C

,

y C et / C1 – общий интеграл системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем общее решение:

x t

C1

e t / C1 ,

y C et / C1 . Полагая t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в этих

равенствах,

найдем,

что

1

C1

,

1= C

 

,

т.е.

С С

1;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

искомое частное решение:

x t e t , y et . #

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

87

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Дифференциальные уравнения или канонические системы заменить нормальными системами дифференциальных уравнений.

247.

y xyy y 3 0 . 248.

yIV y2 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

249.

y y z , z z u , u u y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

250.

z z 2y 0,

y z y x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

251.

y z u 0, z uz x2 ,

u xy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверить, являются ли функции

y(x) и z(x)

 

решениями сис-

тем дифференциальных уравнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

252.

y

1

,

z 1 / y; y e x / 2 ,

z 2ex / 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

253.

y 1

2 y

,

z y z

2 y

1;

y

x

 

1

,

 

z ex

x

 

1

.

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

3

 

x2

254.

y z,

z

 

z2

;

y e2x ,

z ex .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

255.

y 2xy2 ,

z

1

(z x);

y x 2 , z x ln

 

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверить, являются ли данные функции первыми интеграла-

ми данных систем ДУ.

 

(x, y, z) x y z; y

 

z

z

256.

 

 

,

y z

257.

(x, y, z) x2 y2 z2 ;

y

3x 4z

 

2z 3y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

258.

(x, y, z)

1

 

1

; y

y

, z

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z

z

 

 

 

 

y

y

y z .

, z 4 y 2x . 2z 3y

259.

(x, y, z) yze x ;

y

y2

,

z z y .

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

260.

(x, y, z) (1 y)e y e z ;

y

1

e y , z

y

e z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

261.

a) 1(x, y, z) x y z;

 

б) 2 (x, y, z) x y z.

 

y

z x

, z

y x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

y z

y z

 

 

 

 

 

 

Методом исключения решить следующие системы дифференциальных уравнений.

262.

dx

 

1

,

dy

 

1

.

 

263.

y

z

 

,

z

 

y

.

 

 

 

 

 

(z y)2

(z y)2

 

dt

 

y

 

dt

 

x

 

 

 

 

 

264.

y 2xy2 , z

 

z x

.

265.

y ex y ,

z

2z

.

 

 

 

 

2x z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

88

Г л а в а 10.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2xy

 

 

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

266.

 

,

y x.

267.

xy y y2

x2 .

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

268.

y z, z

z2

.

 

 

 

269.

y

x

,

z

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

y

 

 

270.

y

y2

 

,

z y 1.

271.

y

z

 

, z

z( y 2z 1)

 

.

 

z x

 

x

x( y 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

272.

y 4y ,

y

4y 2y ,

y 4y ,

y

y 3y ,

y

y

3y .

 

 

1

1

 

2

2

3

3

3

4

1

4

5

4

5

Методом исключения найти общее решение системы дифференциальных уравнений, выделить затем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

273.

y

z 1

 

, z

 

 

 

1

 

; y(0) 1,

z(0) 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

y x

 

274.

y

x

 

;

 

z

 

x

 

;

y(0) z(0) 1.

 

yz

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить системы методом интегрируемых комбинаций.

275.

 

dx

x2

y2 ,

 

dy

2xy.

276.

 

dx

 

 

 

y

 

 

,

 

dy

 

 

 

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

x

y

 

dt

 

x

y

 

277.

 

dx

cos2 x cos2

y sin2

x sin2 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

1

sin 2x sin 2 y, x(0) y(0) 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

278.

 

dt

 

 

dx

 

 

 

 

dy

.

 

 

279.

 

dx

 

 

 

 

 

 

2tx

 

 

 

;

 

 

dy

 

 

 

 

 

2ty

 

 

 

.

 

xy

 

yt

 

 

 

xt

dt

t

2 x2 y2

 

dt

 

t2 x2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

280.

 

dx

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

dz

 

.

 

281.

 

dx

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

dz

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x

 

 

y z

 

 

 

 

cos y

 

 

 

 

cos x

 

 

 

cos x cos y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x y

 

282.

 

dx

 

dy

 

 

 

dz

.

 

283.

 

 

 

dx

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

dz

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x( y z)

z(z y)

y( y z)

 

 

 

 

 

 

z

 

 

xz

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

284.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

dz

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(z y)

 

y( y x)

y2 xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

285.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

dz

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x( y2 z2 )

y(z2 x2 )

z(x2 y2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений

89

 

 

10.8.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

10.8.1. ВВЕДЕНИЕ

1 . Однородные системы. Линейные системы (10.69) можно интегрировать общими методами, изложенными в главе 4; но для них существует специальная теория интегрирования. Введем определения.

Если x fk (x) 0 (k 1, n) , то система (10.69) называется од-

нородной линейной системой ДУ (СОЛДУ). Иначе она называется неоднородной (СНЛДУ).

Предполагается, что функции pkl (x) и fk (x) (k, l 1, n) опре-

делены и непрерывны в интервале (a, b). Тогда система (10.69) имеет единственное решение, определенное во всем интервале (a, b) и удовлетворяющее начальным условиям (10.71). Всякое решение (10.69) является частным, так что особых решений она не имеет. Интегрирование системы (10.69) приводит к интегрированию СОЛДУ

 

 

 

dyk

n

 

 

 

 

 

 

 

 

pkl (x) yl

(k 1, n) .

 

(10.79)

 

 

 

dx

 

 

 

 

l 1

 

 

 

 

 

Система

(10.79)

всегда

имеет нулевое решение

y1 0, y2

0, ...,

yn 0 .

Оно удовлетворяет нулевым начальным

условиям

y1 0,

y2 0, ..., yn 0

при x x0 (a, b) ;

других решений, удовлетво-

ряющих этим условиям, нет. Чтобы построить общее решение (10.79), достаточно знать n линейно независимых в интервале (a, b) частных решений:

 

 

 

 

 

Yi ( yi1, yi2 , ..., yin )

(i 1, n) .

(10.80)

Такая система решений называется фундаментальной (ФСР). Теорема 1. Для того чтобы система решений (10.80) была

фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского

 

y11

y12

...

y1n

 

W (x)

y21

y22

...

y2 n

(10.81)

............................

 

yn1

yn2

...

ynn

 

был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a, b). Теорема 2. При условии непрерывности коэффициентов

pkl (x) (k 1, n) существует бесчисленное множество фундаментальных систем.

90

Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

 

 

 

 

Теорема 3. Линейная комбинация решений фундаментальной

системы (10.80)

 

 

n

 

 

 

 

yk Ci yik (k

1, n

) ,

(10.82)

i 1

где Сi – произвольно постоянные, представляет собой общее решение СОЛДУ (10.79) в области

a x b,

 

y1

 

, ...,

 

yn

 

.

(10.83)

 

 

 

 

З а м е ч а н и е. Все решения СОЛДУ содержатся в формуле

(10.82).

2 . Неоднородные системы. Чтобы найти общее решение СНЛДУ (10.69), достаточно знать общее решение (10.82) соответствующей СОЛДУ (10.79) и одно частное решение СНЛДУ (10.69):

y

y(ч) ,

y

y(ч) , ..., y

y(ч) .

(10.84)

1

1

2

2

n

 

n

 

Теорема 3. Сумма решений (10.82) и (10.84) есть общее реше-

ние СНЛДУ (7.2) в области (10.83):

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

yk yk (ч) Ci yik

(k

1, n) .

(10.85)

i 1

За м е ч а н и е. Все решения системы (10.69) содержатся в формуле (10.85). Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) позволяет найти общее решение СНЛДУ, зная лишь

фундаментальную систему решений (10.80) СОЛДУ (10.79). По этому методу решение ищем в виде

n

 

 

 

 

yk Ci (x) yik

(k 1, n) ,

(10.86)

i 1

 

 

 

 

где Ci (x) – непрерывно дифференцируемые функции от x, подлежащие определению из системы

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Ci (x) yik fk (x) (k 1, n

) .

 

 

(10.87)

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим Ci (x) i (x)

 

 

 

 

 

Решая ее алгебраически,

(i 1, n) , откуда

 

 

 

 

 

квадратурами определяем

Ci (x): Сi (x) i (x)dx Ci

(i 1, n) .

Подставляя эти значения в (10.86), получаем общее решение систе-

мы (10.69).

10.8.2.ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейная система (10.69), у которой все коэффициенты pkl const (k, l 1, n) , всегда интегрируется в квадратурах, ибо со-

ответствующая СОЛДУ (10.79) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. ФСР СОЛДУ строит-

10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений

91

 

 

ся по методу Эйлера: решение системы (10.79) ищем в виде

 

y

e x ,

y

 

e x , ..., y

 

e x ,

(10.88)

1

1

2

2

n

n

 

 

где 1, 2 , ..., n и – подлежащие определению величины. Под-

ставляя (10.88) в (10.79) и сокращая на e x , получаем систему

( p11 ) 1

 

p12 2

...

p1n n 0;

 

 

( p22 ) 2

...

p2 n n 0;

p21 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.89)

...............................................................

p

 

p

 

2

 

...

( p

)

n

0.

 

n1 1

n2

 

 

 

nn

 

 

Чтобы система (10.89) имела решение, отличное от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы число было корнем уравнения

p11 p12

...

p1n

 

 

 

 

p21

p22

...

p2 n

0 ,

(10.90)

................................

 

 

pn1

pn2 ...

pnn

 

 

называемого характеристическим уравнением. Каждому из корней (10.90) соответствует хотя бы одно частное решение вида (10.88). Здесь возможны три случая.

1. Все корни 1, 2 , ..., n уравнения (10.90) различны и дейст-

 

 

 

 

 

 

 

вительны. Полагая в системе (10.89)

i

(i 1, n) , получаем

систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( p11 i ) 1

 

p12 2

...

 

p1n n 0;

 

 

( p22 i ) 2 ...

 

 

p2 n n

0;

 

p21 1

 

(10.89 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...............................................................

 

p

p

 

2

 

 

...

( p

nn

 

)

n

0.

 

n1 1

n2

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

Решая ее, находим ненулевое решение

1

i1,

2 i2 , ..., n in .

 

 

 

 

 

 

Подставляя k ik

(k 1, n)

и i

в (10.88), находим решение

СОЛДУ, соответствующее корню i :

y

e i x ,

y

 

e i x , ..., y

e i x .

(10.88 )

i1

i1

i2

i2

in

in

 

Построив решения, соответствующие всем корням 1, 2 , ..., n , получим фундаментальную систему решений (ФСР)

 

e i x ,

 

e i x , ..., e i x )

 

 

 

 

Y (

i2

(i 1, n) .

(10.80 )

i

i1

in

 

 

 

 

92

Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

 

Общее решение системы запишется в виде

n

 

 

yk Ci ik e i x

(k 1, n) .

(10.82 )

i 1

2.Корни характеристического уравнения (10.90) различны, но

среди них имеются комплексные. Если a ib – корень (10.90), то a ib тоже будет корнем. Построив решение вида (10.88 ), соответствующее корню a ib и отделив в нем действительную и мнимую части, получим два действительных линейно независимых частных решения СОЛДУ (10.79). Построив частные решения, соответствующие всем парам комплексно сопряженных корней и всем действительным (если они имеются), получим ФСР (10.80). Общее решение запишется по формуле (10.82).

3. Среди корней характеристического уравнения (10.90) имеются кратные. Корню 1 кратности k соответствует решение вида

 

y P (x)e 1x ,

y

P (x)e 1x , ..., y

P ( x)e 1x ,

(10.91)

 

1

1

2

2

n

n

 

где P (x), P (x), ..., P (x)

– многочлены от x степени не выше k – 1

1

2

n

 

 

 

 

 

(они могут вырождаться в числа), причем среди коэффициентов всех этих многочленов k коэффициентов произвольны, а остальные выражаются через них. Полагая поочередно один их этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, построим k линейно независимых частных решений. Если 1 действительное, то эти частные решения тоже действительные. Если1 – комплексный корень, 1 a ib , то a ib тоже корень и при-

том той же кратности k. Определив указанным выше методом k линейно независимых комплексных частных решений, соответствующих корню a ib , и отделив в них действительные и мнимые части, получим 2k линейно независимых действительных частных реше-

ний. Напомним, что решения, соответствующие корню

a ib , ли-

нейно зависимы с решениями, соответствующими корню a ib .

Пример 1. Проинтегрировать систему

dy

 

y 2z,

dz

3y 4z (1)

dx

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по методу Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ищем частное

решение

системы

(1) в

виде (10.88):

y e x ,

z e x (2). Составляем

характеристическое

уравнение

(10.90):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

0,

2 3 2 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оно имеет корни 1 1, 2 2 . Построим частное решение вида (2), соответствующее корню 1 1. Подставляя 1 в систему (10.89 ), получим уравнение 2 2 0 (другое есть следствие первого). В этом уравнении одна неизвестная – свободная неизвестная. Пола-

10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений

93

 

 

гая 1, получаем 1. Таким образом, корню 1 1 соответст-

вует частное решение y ex , z ex .

Аналогично находим част-

1

1

 

 

 

 

 

 

 

ное решение, соответствующее корню

 

2

2 : y

2e2x , z

2

3e2x .

 

 

 

 

2

 

 

Общее решение системы (1):

y C ex 2C e2x ,

z C ex 3C e2x (3).

 

1

 

2

 

 

1

 

2

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

y(0) 1 , z(0) 2 . Полагая в (3)

x 0, y 1, z 2 , получаем

C1 2C2 1,

C1 3C2 2 , откуда

C1 1, C2 1 и искомое част-

ное решение:

y ex 2e2x , z ex 3e2x . Других решений, удовле-

творяющих этим начальным условиям, нет. #

Пример 2. Найти общее решение системы y 2y z, z y 2z (1).Характеристическое уравнение

 

2

1

 

0 , или 2 4 5 0 ,

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

имеет корни 1, 2 2 i . Строим комплексное решение,

соответст-

вующее корню 2 i : y e(2 i) x ,

z e(2 i) x . Числа

и оп-

1

 

 

 

 

 

 

ределяем из уравнения

i 0 . Полагая 1, находим i ,

так что y e(2 i) x e2x (cos x i sin x) ,

z ie(2 i) x e2x (sin x i cos x) .

Отделяя действительные и мнимые части, получаем два действи-

тельных линейно независимых частных

решения (Yi ( yi , zi )):

Y (e2 x cos x, e2 x sin x) ;

Y (e2x sin x,

e2x cos x) . Общее реше-

1

 

2

 

 

ние (1): y e2x (C cos x C sin x) , z e2x

(C sin x C cos x) . #

1

2

 

1

2

Пример 3. Найти общее решение системы (1):

dx 4x 2 y 5z;dt

dy 6x y 6z;

dt

dz 8x 3y 9z.

dt

Характеристическое уравнение

 

4

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

6

 

0 или

3 4 2 5 2 0

 

8

3

9

 

 

 

имеет корни 1

2, 2

3

1. Найдем частное решение, соответ-

ствующее простому корню 2 . Числа

, , определяем из сис-

темы 6 2 5 0 , 6 3 6 0 . Сложив эти уравнения, придем к равенству 0 . Полагая 2 , найдем 2, 1,

94

Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

 

 

так что искомое частное решение: x e2t ,

y

2e2t ,

z 2e2t . По-

1

1

 

1

строим два линейно независимых частных решения, соответствующие кратному корню 2 3 1 . Согласно формуле (10.91) ему отвечает решение вида

x (A t A )et ,

y (B t B )et ,

z (C t C )et .

(2)

1

2

 

1

2

1

2

 

Коэффициенты A1, A2 , ..., C2

определяются подстановкой (2) в сис-

тему (1). Подставляя (2) в (1) и сокращая на et , получаем систему

A1t A1 A2 ( 4A1 2B1 5C1)t 4A2 2B2 5C2 ; B1t B1 B2 (6A1 B1 6C1)t 6A2 B2 6C2 ; C1t C1 C2 ( 8A1 3B1 9C1)t 8A2 3B2 9C2 .

Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем систему

 

 

 

 

5A1 2B1 5C1 0;

5A2 2B2 5C2 A1;

 

 

 

 

 

 

6A1 2B1 6C1 0;

6A2 2B2 6C2 B1;

 

 

 

 

 

8A1 3B1 8C1 0;

8A2 3B2 8C2 C1,

 

 

откуда A1 C1, B1 0 (из уравнений 1-го столбца при свободной пе-

ременной

C1 ),

A2 C1 C2 ,

B2 3C1

(из уравнений 2-го столбца,

C

2

– свободная).

Решение (2)

принимает вид:

x (C t C C )et ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

y 3C et ,

z (C t C )et .

В качестве линейно независимых част-

 

 

 

1

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ных решений, соответствующих корню

2 3 1 , можно взять

(Y (x , y , z )):

Y

 

((t 1)et , 3et , tet ) ,

Y

(et , 0, et ) . Общее реше-

 

i

 

i

i i

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

ние

системы (1):

 

x C e2t (C t C

C )et ,

y 2C e2t

3C et ,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

2

 

3

 

1

2

z 2C e2t

(C t C )et . #

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4. Найти общее решение СНЛДУ

y y 2z 2e x ,

z 3y 4z e x

(1) методом вариации произвольных постоянных.

 

 

 

Соответствующая однородная система рассмотрена в при-

мере

1.

Общее

 

решение

системы

(1)

ищем в виде

(10.86):

y C (x)ex 2C

(x)e2x , z C (x)ex 3C (x)e2x (2). Функции C (x)

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

1

и C2 (x) находим из системы (10.49):

 

 

 

 

 

 

 

 

C (x)ex 2C (x)e2x 2e x ,

C (x)ex 3C

(x)e2x e x ,

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

1

 

2

 

 

 

откуда

C (x) 8e 2x ,

C (x) 3e 3x

и

C (x) 4e 2x C ,

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

1

C (x) e 3x C . Запишем общее решение (1):

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2e x C ex 2C e2x ,

z e x C ex

3C e2x

. #

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

1

2

 

 

10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений

95

 

 

Задачи для самостоятельного решения

Проинтегрировать следующие системы последовательным интегрированием или методом исключения.

286.

dy

2 y,

dz

z.

287.

dx

0,

dy

y.

dx

dx

dt

dt

 

 

 

 

 

 

288.dxdt x 2 y, dydt 2 y, dzdt z.

289.dxdt 2x y, dydt 2 y z, dzdt 2z .

290.dxdt 2x y, dydt x 2 y. 291. dxdt x 2 y, dydt x y.

292.dxdt 5x 6 y z, dydt x z, dzdt 6z .

293.dxdt y z, dydt z, dzdt x z .

Найти общее решение методом Эйлера и, где указано, выделить решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям.

294.y y z, z 2y 4z; y(0) 0, z(0) 1.

295.y 3y z, z 10y 4z; y(0) 1, z(0) 5.

y y z,

296.

z 4 y 4z.

dx 4x 5y,dt

298.

dy 4x 4 y.dt

y 2 y 3z,

z 3y 2z.

dx 3x 12 y 4z,

dt

299.dy x 3y z,

dt

dz x 12 y 6z.

dt

300. dxdt y z, dydt z, dzdt x z; x(0) 1, y(0) 12 , z(0) 12 .

dx

dt

dy

301.

dtdz

dt

21x 8 y 19z,

18x 7 y 15z,

16x 6 y 15z.

dy y z,

dt

302.

dz y 3z.dt

Соседние файлы в предмете Математический анализ