dolgih
.pdf86 |
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|||||
|
|
|
|
|
||
дим вторую интегрируемую комбинацию: |
d ( y z) |
|
dx |
, отку- |
||
z y |
(z y)2 |
|||||
|
|
|
|
да находим еще один первый интеграл: 2x ( y z)2 C2 . Совокуп-
ность их образует общий интеграл системы (1). # Пример 4. Найти общее решение системы уравнений
|
y |
mz lx |
, z |
nx my |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ly nz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ly nz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
систему |
в |
|
симметрической |
|
форме |
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ly nz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dy |
|
|
dz |
|
|
и воспользуемся соотношением (10.78). Выби- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mz lx |
nx my |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
раем |
|
m, |
|
|
|
|
n |
и |
|
|
l , |
получим |
|
d (mx ny lz) |
, |
т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d(mx ny lz) 0 , |
откуда |
|
mx ny lz C1 . Аналогично, |
|
выбирая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x, |
2 |
2y |
и |
3 |
2z , приходим к равенству |
|
d(x2 y2 |
z2 ) 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда x2 y2 z2 |
C2 . Их совокупность неявно определяет общее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение. # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пример |
5. |
|
|
Найти |
частное решение системы |
|
dx |
1 |
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
y |
||||||
|
dy |
|
|
1 |
|
|
, |
|
удовлетворяющее начальным условиям: |
x(0) 1, |
|
y(0) 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
|
данную |
|
систему |
в |
виде |
y |
d (x t) |
1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||
(x t) |
|
dy |
1. Складывая эти уравнения, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
d(x t) |
|
(x t) |
dy |
|
0 или |
d[(x t) y] 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда (x t) y C1 |
– первый интеграл. Так как x t C1 / y , то вто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рое уравнение системы примет вид: |
dy |
|
|
y |
, откуда |
y C et / C1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, (x t) y C |
, |
y C et / C1 – общий интеграл системы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем общее решение: |
x t |
C1 |
e t / C1 , |
y C et / C1 . Полагая t 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в этих |
равенствах, |
найдем, |
что |
1 |
C1 |
, |
1= C |
|
, |
т.е. |
С С |
1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
искомое частное решение: |
x t e t , y et . # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений |
87 |
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Дифференциальные уравнения или канонические системы заменить нормальными системами дифференциальных уравнений.
247. |
y xyy y 3 0 . 248. |
yIV y2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
249. |
y y z , z z u , u u y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
250. |
z z 2y 0, |
y z y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
251. |
y z u 0, z uz x2 , |
u xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Проверить, являются ли функции |
y(x) и z(x) |
|
решениями сис- |
||||||||||||||||||||||
тем дифференциальных уравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
252. |
y |
1 |
, |
z 1 / y; y e x / 2 , |
z 2ex / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
253. |
y 1 |
2 y |
, |
z y z |
2 y |
1; |
y |
x |
|
1 |
, |
|
z ex |
x |
|
1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
3 |
|
x2 |
|||||||
254. |
y z, |
z |
|
z2 |
; |
y e2x , |
z ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
255. |
y 2xy2 , |
z |
1 |
(z x); |
y x 2 , z x ln |
|
x |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверить, являются ли данные функции первыми интеграла-
ми данных систем ДУ.
|
(x, y, z) x y z; y |
|
z |
z |
|||||||||||
256. |
|
|
, |
||||||||||||
y z |
|||||||||||||||
257. |
(x, y, z) x2 y2 z2 ; |
y |
3x 4z |
|
|||||||||||
2z 3y |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
258. |
(x, y, z) |
1 |
|
1 |
; y |
y |
, z |
|
z |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
y |
|
z |
z |
|
|
|
|
y |
y
y z .
, z 4 y 2x . 2z 3y
259. |
(x, y, z) yze x ; |
y |
y2 |
, |
z z y . |
|
|
|||||
z |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
260. |
(x, y, z) (1 y)e y e z ; |
y |
1 |
e y , z |
y |
e z . |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
261. |
a) 1(x, y, z) x y z; |
|
б) 2 (x, y, z) x y z. |
|||||||||
|
y |
z x |
, z |
y x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y z |
y z |
|
|
|
|
|
|
Методом исключения решить следующие системы дифференциальных уравнений.
262. |
dx |
|
1 |
, |
dy |
|
1 |
. |
|
263. |
y |
z |
|
, |
z |
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
(z y)2 |
(z y)2 |
|||||||||||||
|
dt |
|
y |
|
dt |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
264. |
y 2xy2 , z |
|
z x |
. |
265. |
y ex y , |
z |
2z |
. |
|
|||||||||
|
|
|
2x z2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
88 |
Г л а в а 10. |
Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
2xy |
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
266. |
|
, |
y x. |
267. |
xy y y2 |
x2 . |
|
|||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
268. |
y z, z |
z2 |
. |
|
|
|
269. |
y |
x |
, |
z |
x |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
y |
|
||||||
|
270. |
y |
y2 |
|
, |
z y 1. |
271. |
y |
z |
|
, z |
z( y 2z 1) |
|
. |
|||||||||||
|
z x |
|
x |
x( y 1) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
272. |
y 4y , |
y |
4y 2y , |
y 4y , |
y |
y 3y , |
y |
y |
3y . |
|||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
4 |
1 |
4 |
5 |
4 |
5 |
Методом исключения найти общее решение системы дифференциальных уравнений, выделить затем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
273. |
y |
z 1 |
|
, z |
|
|
|
1 |
|
; y(0) 1, |
z(0) 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
y x |
|
||||
274. |
y |
x |
|
; |
|
z |
|
x |
|
; |
y(0) z(0) 1. |
|
||
yz |
|
|
y2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить системы методом интегрируемых комбинаций.
275. |
|
dx |
x2 |
y2 , |
|
dy |
2xy. |
276. |
|
dx |
|
|
|
y |
|
|
, |
|
dy |
|
|
|
x |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
x |
y |
|
dt |
|
x |
y |
|
|||||||||||||||||||
277. |
|
dx |
cos2 x cos2 |
y sin2 |
x sin2 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dy |
|
1 |
sin 2x sin 2 y, x(0) y(0) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
278. |
|
dt |
|
|
dx |
|
|
|
|
dy |
. |
|
|
279. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
2tx |
|
|
|
; |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
2ty |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
xy |
|
yt |
|
|
|
xt |
dt |
t |
2 x2 y2 |
|
dt |
|
t2 x2 y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
280. |
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dz |
|
. |
|
281. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dz |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
y z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos y |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
cos x cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
282. |
|
dx |
|
dy |
|
|
|
dz |
. |
|
283. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dz |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x( y z) |
z(z y) |
y( y z) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
xz |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
284. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x(z y) |
|
y( y x) |
y2 xz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
285. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dz |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x( y2 z2 ) |
y(z2 x2 ) |
z(x2 y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений |
89 |
|
|
10.8.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
10.8.1. ВВЕДЕНИЕ
1 . Однородные системы. Линейные системы (10.69) можно интегрировать общими методами, изложенными в главе 4; но для них существует специальная теория интегрирования. Введем определения.
Если x fk (x) 0 (k 1, n) , то система (10.69) называется од-
нородной линейной системой ДУ (СОЛДУ). Иначе она называется неоднородной (СНЛДУ).
Предполагается, что функции pkl (x) и fk (x) (k, l 1, n) опре-
делены и непрерывны в интервале (a, b). Тогда система (10.69) имеет единственное решение, определенное во всем интервале (a, b) и удовлетворяющее начальным условиям (10.71). Всякое решение (10.69) является частным, так что особых решений она не имеет. Интегрирование системы (10.69) приводит к интегрированию СОЛДУ
|
|
|
dyk |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
pkl (x) yl |
(k 1, n) . |
|
(10.79) |
|||
|
|
|
dx |
|
|||||
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
Система |
(10.79) |
всегда |
имеет нулевое решение |
y1 0, y2 |
0, ..., |
||||
yn 0 . |
Оно удовлетворяет нулевым начальным |
условиям |
y1 0, |
||||||
y2 0, ..., yn 0 |
при x x0 (a, b) ; |
других решений, удовлетво- |
ряющих этим условиям, нет. Чтобы построить общее решение (10.79), достаточно знать n линейно независимых в интервале (a, b) частных решений:
|
|
|
|
|
Yi ( yi1, yi2 , ..., yin ) |
(i 1, n) . |
(10.80) |
Такая система решений называется фундаментальной (ФСР). Теорема 1. Для того чтобы система решений (10.80) была
фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Вронского
|
y11 |
y12 |
... |
y1n |
|
W (x) |
y21 |
y22 |
... |
y2 n |
(10.81) |
............................ |
|||||
|
yn1 |
yn2 |
... |
ynn |
|
был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала (a, b). Теорема 2. При условии непрерывности коэффициентов
pkl (x) (k 1, n) существует бесчисленное множество фундаментальных систем.
90 |
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|||
|
|
|
|
|
|
Теорема 3. Линейная комбинация решений фундаментальной |
|||
системы (10.80) |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
yk Ci yik (k |
1, n |
) , |
(10.82) |
i 1
где Сi – произвольно постоянные, представляет собой общее решение СОЛДУ (10.79) в области
a x b, |
|
y1 |
|
, ..., |
|
yn |
|
. |
(10.83) |
|
|
|
|
З а м е ч а н и е. Все решения СОЛДУ содержатся в формуле
(10.82).
2 . Неоднородные системы. Чтобы найти общее решение СНЛДУ (10.69), достаточно знать общее решение (10.82) соответствующей СОЛДУ (10.79) и одно частное решение СНЛДУ (10.69):
y |
y(ч) , |
y |
y(ч) , ..., y |
y(ч) . |
(10.84) |
|||
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
|
n |
|
|
Теорема 3. Сумма решений (10.82) и (10.84) есть общее реше- |
||||||||
ние СНЛДУ (7.2) в области (10.83): |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
yk yk (ч) Ci yik |
(k |
1, n) . |
(10.85) |
i 1
За м е ч а н и е. Все решения системы (10.69) содержатся в формуле (10.85). Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) позволяет найти общее решение СНЛДУ, зная лишь
фундаментальную систему решений (10.80) СОЛДУ (10.79). По этому методу решение ищем в виде
n |
|
|
|
|
yk Ci (x) yik |
(k 1, n) , |
(10.86) |
||
i 1 |
|
|
|
|
где Ci (x) – непрерывно дифференцируемые функции от x, подлежащие определению из системы
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ci (x) yik fk (x) (k 1, n |
) . |
|
|
(10.87) |
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим Ci (x) i (x) |
|
|
|
|
|
||
Решая ее алгебраически, |
(i 1, n) , откуда |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
квадратурами определяем |
Ci (x): Сi (x) i (x)dx Ci |
(i 1, n) . |
Подставляя эти значения в (10.86), получаем общее решение систе-
мы (10.69).
10.8.2.ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейная система (10.69), у которой все коэффициенты pkl const (k, l 1, n) , всегда интегрируется в квадратурах, ибо со-
ответствующая СОЛДУ (10.79) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. ФСР СОЛДУ строит-
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений |
91 |
|
|
ся по методу Эйлера: решение системы (10.79) ищем в виде |
|
||||||
y |
e x , |
y |
|
e x , ..., y |
|
e x , |
(10.88) |
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
n |
|
|
где 1, 2 , ..., n и – подлежащие определению величины. Под-
ставляя (10.88) в (10.79) и сокращая на e x , получаем систему
( p11 ) 1 |
|
p12 2 |
... |
p1n n 0; |
||||||
|
|
( p22 ) 2 |
... |
p2 n n 0; |
||||||
p21 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.89) |
............................................................... |
||||||||||
p |
|
p |
|
2 |
|
... |
( p |
) |
n |
0. |
|
n1 1 |
n2 |
|
|
|
nn |
|
|
Чтобы система (10.89) имела решение, отличное от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы число было корнем уравнения
p11 p12 |
... |
p1n |
|
|
|
|
|
||||
p21 |
p22 |
... |
p2 n |
0 , |
(10.90) |
................................ |
|
|
|||
pn1 |
pn2 ... |
pnn |
|
|
называемого характеристическим уравнением. Каждому из корней (10.90) соответствует хотя бы одно частное решение вида (10.88). Здесь возможны три случая.
1. Все корни 1, 2 , ..., n уравнения (10.90) различны и дейст-
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вительны. Полагая в системе (10.89) |
i |
(i 1, n) , получаем |
||||||||||||||
систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p11 i ) 1 |
|
p12 2 |
... |
|
p1n n 0; |
|
||||||||||
|
( p22 i ) 2 ... |
|
|
p2 n n |
0; |
|
||||||||||
p21 1 |
|
(10.89 ) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
............................................................... |
|
|||||||||||||||
p |
p |
|
2 |
|
|
... |
( p |
nn |
|
) |
n |
0. |
|
|||
n1 1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||
Решая ее, находим ненулевое решение |
1 |
i1, |
2 i2 , ..., n in . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставляя k ik |
(k 1, n) |
и i |
в (10.88), находим решение |
СОЛДУ, соответствующее корню i :
y |
e i x , |
y |
|
e i x , ..., y |
e i x . |
(10.88 ) |
i1 |
i1 |
i2 |
i2 |
in |
in |
|
Построив решения, соответствующие всем корням 1, 2 , ..., n , получим фундаментальную систему решений (ФСР)
|
e i x , |
|
e i x , ..., e i x ) |
|
|
|
|
Y ( |
i2 |
(i 1, n) . |
(10.80 ) |
||||
i |
i1 |
in |
|
|
|
|
92 |
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|
|
Общее решение системы запишется в виде
n |
|
|
yk Ci ik e i x |
(k 1, n) . |
(10.82 ) |
i 1
2.Корни характеристического уравнения (10.90) различны, но
среди них имеются комплексные. Если a ib – корень (10.90), то a ib тоже будет корнем. Построив решение вида (10.88 ), соответствующее корню a ib и отделив в нем действительную и мнимую части, получим два действительных линейно независимых частных решения СОЛДУ (10.79). Построив частные решения, соответствующие всем парам комплексно сопряженных корней и всем действительным (если они имеются), получим ФСР (10.80). Общее решение запишется по формуле (10.82).
3. Среди корней характеристического уравнения (10.90) имеются кратные. Корню 1 кратности k соответствует решение вида
|
y P (x)e 1x , |
y |
P (x)e 1x , ..., y |
P ( x)e 1x , |
(10.91) |
||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
n |
|
где P (x), P (x), ..., P (x) |
– многочлены от x степени не выше k – 1 |
||||||
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
(они могут вырождаться в числа), причем среди коэффициентов всех этих многочленов k коэффициентов произвольны, а остальные выражаются через них. Полагая поочередно один их этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, построим k линейно независимых частных решений. Если 1 действительное, то эти частные решения тоже действительные. Если1 – комплексный корень, 1 a ib , то a ib тоже корень и при-
том той же кратности k. Определив указанным выше методом k линейно независимых комплексных частных решений, соответствующих корню a ib , и отделив в них действительные и мнимые части, получим 2k линейно независимых действительных частных реше-
ний. Напомним, что решения, соответствующие корню |
a ib , ли- |
|||||||||||
нейно зависимы с решениями, соответствующими корню a ib . |
||||||||||||
Пример 1. Проинтегрировать систему |
dy |
|
y 2z, |
dz |
3y 4z (1) |
|||||||
dx |
dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
по методу Эйлера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ищем частное |
решение |
системы |
(1) в |
виде (10.88): |
|||||||
y e x , |
z e x (2). Составляем |
характеристическое |
уравнение |
|||||||||
(10.90): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
0, |
2 3 2 0 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оно имеет корни 1 1, 2 2 . Построим частное решение вида (2), соответствующее корню 1 1. Подставляя 1 в систему (10.89 ), получим уравнение 2 2 0 (другое есть следствие первого). В этом уравнении одна неизвестная – свободная неизвестная. Пола-
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений |
93 |
|
|
гая 1, получаем 1. Таким образом, корню 1 1 соответст-
вует частное решение y ex , z ex . |
Аналогично находим част- |
|||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ное решение, соответствующее корню |
|
2 |
2 : y |
2e2x , z |
2 |
3e2x . |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
Общее решение системы (1): |
y C ex 2C e2x , |
z C ex 3C e2x (3). |
||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
y(0) 1 , z(0) 2 . Полагая в (3) |
x 0, y 1, z 2 , получаем |
|
C1 2C2 1, |
C1 3C2 2 , откуда |
C1 1, C2 1 и искомое част- |
ное решение: |
y ex 2e2x , z ex 3e2x . Других решений, удовле- |
творяющих этим начальным условиям, нет. #
Пример 2. Найти общее решение системы y 2y z, z y 2z (1).Характеристическое уравнение
|
2 |
1 |
|
0 , или 2 4 5 0 , |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
имеет корни 1, 2 2 i . Строим комплексное решение, |
соответст- |
|||||
вующее корню 2 i : y e(2 i) x , |
z e(2 i) x . Числа |
и оп- |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
ределяем из уравнения |
i 0 . Полагая 1, находим i , |
|||||
так что y e(2 i) x e2x (cos x i sin x) , |
z ie(2 i) x e2x (sin x i cos x) . |
Отделяя действительные и мнимые части, получаем два действи-
тельных линейно независимых частных |
решения (Yi ( yi , zi )): |
|||
Y (e2 x cos x, e2 x sin x) ; |
Y (e2x sin x, |
e2x cos x) . Общее реше- |
||
1 |
|
2 |
|
|
ние (1): y e2x (C cos x C sin x) , z e2x |
(C sin x C cos x) . # |
|||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
Пример 3. Найти общее решение системы (1):
dx 4x 2 y 5z;dt
dy 6x y 6z;
dt
dz 8x 3y 9z.
dt
Характеристическое уравнение
|
4 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
1 |
6 |
|
0 или |
3 4 2 5 2 0 |
|
8 |
3 |
9 |
|
|
|
имеет корни 1 |
2, 2 |
3 |
1. Найдем частное решение, соответ- |
|||
ствующее простому корню 2 . Числа |
, , определяем из сис- |
темы 6 2 5 0 , 6 3 6 0 . Сложив эти уравнения, придем к равенству 0 . Полагая 2 , найдем 2, 1,
94 |
Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения |
|
|
так что искомое частное решение: x e2t , |
y |
2e2t , |
z 2e2t . По- |
1 |
1 |
|
1 |
строим два линейно независимых частных решения, соответствующие кратному корню 2 3 1 . Согласно формуле (10.91) ему отвечает решение вида
x (A t A )et , |
y (B t B )et , |
z (C t C )et . |
(2) |
||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
Коэффициенты A1, A2 , ..., C2 |
определяются подстановкой (2) в сис- |
тему (1). Подставляя (2) в (1) и сокращая на et , получаем систему
A1t A1 A2 ( 4A1 2B1 5C1)t 4A2 2B2 5C2 ; B1t B1 B2 (6A1 B1 6C1)t 6A2 B2 6C2 ; C1t C1 C2 ( 8A1 3B1 9C1)t 8A2 3B2 9C2 .
Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получаем систему
|
|
|
|
5A1 2B1 5C1 0; |
5A2 2B2 5C2 A1; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
6A1 2B1 6C1 0; |
6A2 2B2 6C2 B1; |
|
|||||||||
|
|
|
|
8A1 3B1 8C1 0; |
8A2 3B2 8C2 C1, |
|
|
||||||||
откуда A1 C1, B1 0 (из уравнений 1-го столбца при свободной пе- |
|||||||||||||||
ременной |
C1 ), |
A2 C1 C2 , |
B2 3C1 |
(из уравнений 2-го столбца, |
|||||||||||
C |
2 |
– свободная). |
Решение (2) |
принимает вид: |
x (C t C C )et , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
y 3C et , |
z (C t C )et . |
В качестве линейно независимых част- |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ных решений, соответствующих корню |
2 3 1 , можно взять |
||||||||||||||
(Y (x , y , z )): |
Y |
|
((t 1)et , 3et , tet ) , |
Y |
(et , 0, et ) . Общее реше- |
||||||||||
|
i |
|
i |
i i |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
ние |
системы (1): |
|
x C e2t (C t C |
C )et , |
y 2C e2t |
3C et , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
1 |
2 |
z 2C e2t |
(C t C )et . # |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Найти общее решение СНЛДУ |
y y 2z 2e x , |
|||||||||||
z 3y 4z e x |
(1) методом вариации произвольных постоянных. |
||||||||||||||
|
|
|
Соответствующая однородная система рассмотрена в при- |
||||||||||||
мере |
1. |
Общее |
|
решение |
системы |
(1) |
ищем в виде |
(10.86): |
|||||||
y C (x)ex 2C |
(x)e2x , z C (x)ex 3C (x)e2x (2). Функции C (x) |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
и C2 (x) находим из системы (10.49): |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
C (x)ex 2C (x)e2x 2e x , |
C (x)ex 3C |
(x)e2x e x , |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
откуда |
C (x) 8e 2x , |
C (x) 3e 3x |
и |
C (x) 4e 2x C , |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
C (x) e 3x C . Запишем общее решение (1): |
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2e x C ex 2C e2x , |
z e x C ex |
3C e2x |
. # |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
10.8. Системы линейных дифференциальных уравнений |
95 |
|
|
Задачи для самостоятельного решения
Проинтегрировать следующие системы последовательным интегрированием или методом исключения.
286. |
dy |
2 y, |
dz |
z. |
287. |
dx |
0, |
dy |
y. |
|
dx |
dx |
dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
288.dxdt x 2 y, dydt 2 y, dzdt z.
289.dxdt 2x y, dydt 2 y z, dzdt 2z .
290.dxdt 2x y, dydt x 2 y. 291. dxdt x 2 y, dydt x y.
292.dxdt 5x 6 y z, dydt x z, dzdt 6z .
293.dxdt y z, dydt z, dzdt x z .
Найти общее решение методом Эйлера и, где указано, выделить решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям.
294.y y z, z 2y 4z; y(0) 0, z(0) 1.
295.y 3y z, z 10y 4z; y(0) 1, z(0) 5.
y y z,
296.
z 4 y 4z.
dx 4x 5y,dt
298.
dy 4x 4 y.dt
y 2 y 3z,
z 3y 2z.
dx 3x 12 y 4z,
dt
299.dy x 3y z,
dt
dz x 12 y 6z.
dt
300. dxdt y z, dydt z, dzdt x z; x(0) 1, y(0) 12 , z(0) 12 .
dx
dt
dy
301.
dtdz
dt
21x 8 y 19z,
18x 7 y 15z,
16x 6 y 15z.
dy y z,
dt
302.
dz y 3z.dt