dolgih

192

Г л а в а 14.

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

Находим:

xdxdy

0 x 1

D1 :

1 x

D1

0 y

1 x

1

1

1 1/ 6 ;

xdx dy x(1 x)dx (x2 / 2 x 3 / 3)

0

0

0

0

xdxdz

D2

0 x 1

1/ 6 , так как области D1 и D2

перехо-

:

D2

0 z 1 x

дят одна в другую заменой у на

z;

0dydz 0 ;

(1 y z)

0 y 1

3dydz

D4 :

z 1 y

D3

D4 D3

0

1

1 y

1

z 1 y

dy (1 y z)dz

/ 2 (1 y z)2

3

3

dy

0

0

0

z 0

1

(1 y)2 dy

3

(1 y)3

1

3

.

3 / 2)

0

6

0

6

I 1 / 6 1 / 6 0 3 / 6 (2 3) / 6 .

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поверхностные интегралы первого рода.

120. xyzd , где – часть плоскости x y z 1,

лежащая

в первом октанте.

121.

xd ,

где –

часть сферы

x2 y2

z2

R2 ,

лежащая

в первом октанте.

122. yd , где – полусфера

z

R2 x2 y2 .

123.

R2 x2 y2 d , где –

полусфера

z

R2 x2 y2 .

124.d , где – цилиндр x2 y2 R2 , ограниченный плос-

r2

костями z 0, z H , а r – расстояние от точки поверхности до начала координат.

125. (xy yz zx)d , где – часть конической поверхности

z x2 y2 , вырезанная поверхностью x2 y2 2ax .

14.6. Поверхностные интегралы	193

126.Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке численно равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.

127.Найти массу параболической оболочки z (x2 y2 ) / 2 (0 z 1) , плотность которой меняется по закону z .

128. Найти массу полусферы x2 y2 z2 a2 (z 0) , плот-

ность которой в каждой ее точке равна z / a .

129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности z x2 y2 , вырезанной поверхностью x2 y2 ax .

14.6.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА (ПИ-2)

Пусть: 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-глад- кой) поверхности задана ограниченная функция f (x, y, z) ; 2) вы-

брана положительная сторона поверхности; 3) 1, 2 , ..., n – раз-

биение		на n частей i с площадями i и диаметрами di ;
4)	Mi ( i , i , i ) i (i 1, 2, ..., n)		–	произвольный набор точек;
5)	xy Si	– проекция элемента i	на	плоскость Oxy (проекция оп-

ределенной стороны поверхности связана со знаком « + » или « – »);

n
6) In f ( i , i , i ) xy Si – интегральная сумма,	соответствую-
i 1
щая данному разбиению и выбору точек.	( sup di )
Определение. Конечный предел In при 0

называется поверхностным интегралом второго рода от f ( x, y, z)

по определенной стороне поверхности :

lim In f (x, y, z)dxdy

n

(здесь dxdy напоминает о проекции i на Oxy и содержит знак).

При проектировании ориентированной поверхности на плоскости Oyz и Oxz получаем ПИ-2:

f (x, y, z)dydz,	f (x, y, z)dxdz .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПИ-2

Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхностьзадана явно. Тогда:

а) если : z z(x, y), (x, y) Sxy , то

f (x, y, z) dxdy f (x, y, z(x, y))dxdy ; (14.35а)

Sxy

194 Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

б) если : y y(x, z), (x, z) Sxz , то

	f (x,	y, z) dxdz f		x, y(x, z),	z dxdz ;	(14.35б)
			Sxz
в) если : x x( y, z), ( y, z) Syz , то
	f (x,	y, z) dydz		f x( y, z),	y, z dydz .	(14.35в)
			S yz

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПИ-1 И ПИ-2

Теорема 14.12. Если – гладкая двусторонняя поверхность, ориентация характеризуется нормалью n cos , cos , cos = n / n , P(x, y, z), O(x, y, z), R(x, y, z) – функции, определенные и непрерывные на , то

Pdydz Qdxdy Rdxdy (P cos Q cos R cos )d . (14.36)

	СВЯЗЬ МЕЖДУ ПИ-2 И ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ
	(ФОРМУЛА ГАУССА – ОСТРОГРАДСКОГО)
	Теорема 14.13. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) –

непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью с положительной внешней стороной. Справедлива формула Гаусса-Остроградского

			P		Q		R
Pdydz Qdxdz Rdxdy			x		y		dxdydz	.
	V						z

З а м е ч а н и е. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе «Элементы теории поля».

Пример 25. Вычислить ПИ-2: x2 y2 zdxdy, где : x2 y2

z R2 – положительная (внешняя) сторона сферы.

Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необхо-

димо разбить на с уравнением z			R2 x2 y2 и	2	с уравнени-
	1
ем z	R2 x2 y2	(рис. 14.28). Тогда на основании (14.32) по-

ложительная сторона поверхности					1 характеризуется нормальным
			, z	, 1}, ибо угол между
вектором	n	{ z				n	и положительным на-
	1 x		y			1

14.6. Поверхностные интегралы	195

правлением Oz, т.е. ( n1 , Oz), – острый, а положительная сторона поверхност-

ности	2	– вектором	n	{z z	, 1} , ибо
			2 x y

угол ( n2 , Oz) – тупой. Проекция каждой из поверхностей 1 и 2 есть область

S :{x2 y2 R2} – круг радиуса R с цен-

тром в начале координат. Поэтому по формуле (14.35а)

I x2 y2
	R2 x2 y2 dxdy +
S

1	z	o
		n1
	S	y
2
x
	Рис. 14.28

+ x2 y2 (	R2 x2	y2 )( dxdy) 2 x2 y2			R2 x2 y2 dxdy (перехо-
S			S
дим к полярным координатам: x cos ,				y sin , dxdy d d ,
S P : 0 2 ; 0 R ) =
= 2 5 sin2			R			2
	cos2	R2 2 d d = 2 5		R2 2 d sin2 cos2 d =
P		0		0

= (двойной интеграл «расщепился» в произведение определенных интегралов) = 2I1I2 ;

I R											1				R 4
				5			R2 2 d													R2 2 d (R2 2 )
											2
	1
			0												0
		R2 2 t, 2 R2 t															1		0
=												=							(R2 t)2 tdt 8R7 / 105 ;
		tн	R		2	, tв 0										2
																			R2
I			2 sin2 cos2 d									1			2		(1 cos 4 )d / 4 .
											8
	2
			0												0
Итак,				I 2I I				2	4 R7 /105 .
						1
		z														Пример 26. Вычислить ПИ-2 об-
										щего вида:
		2										I							2 y2dydz x2dxdz 4z2dxdy ,
										где					– внешняя сторона конической

S

o

x

Рис. 14.29

			поверхности	z	x2 y2 , ограничен-
			ной плоскостью z = 2.
		y	Внешняя сторона поверхности
		o	характеризуется		нормальным векто-
	n
			ром, который	составляет тупой угол
			с положительным направлением оси Oz
			(рис. 4.29), а потому

196

Г л а в а 14.

Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

z

, z , 1

x

y

, 1

n

,

,

x

y

x2 y2

x2 y2

x 2

z 2

n

1 = x2 /(x2

y2 ) y2 /(x2 y2 ) 1 2 .

x

y

Тогда

o{cos , cos , cos },

n

cos

x

,

x2 y2

2

cos

y

, cos

1

.

x2 y2

2

2

Данный ПИ-2 можно вычислять по-разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (14.36)

I 2 y2dydz x2dxdz 4z2dxdy

= (2 y2	cos x2	cos 4z2	cos )d =

= 1 2

2 y2 x x2 y

x2 y2

4z2 d . Последний поверхностный инте-

грал есть ПИ-1. Проекция : z x2 y2 на плоскость Oxy есть область S :{x2 y2 22} – круг радиуса 2 с центром в начале коорди-

нат.

Так как

d

1 z 2 z 2 dxdy dxdy /

cos

2dxdy , то по

x

y

формуле (14.33) [или (14.34)]

1

2 y2 x x2 y

2

2

I

2

x

2

y

2

4(x

y

)

2dxdy = (переходим к полярным

S

координатам:

x cos , y sin

S P :

0 2 ; 0 R

)=

dxdy d d

= 2 2 sin2 cos 2 sin cos2 4 2 ) d d =

P

2 2

= 3d (2sin2 cos cos2 sin 4)d

0				0
	4		2		2			cos3			2
=						sin3			4		= 32 .
					3			3
4
			0								0

14.6. Поверхностные интегралы	197

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода. 130. xdydz ydxdz zdxdy , где – положительная сторона

куба, составленного							плоскостями x 0,	y 0, z 0, x 1, y 1,
	z 1.
		131.			x2 y2 zdxdy , где – положительная сторона нижней по-
ловины сферы x2 y2							z2 R2 .
		132.			z2dxdy ,		где – внешняя	сторона	эллипсоида
	x2		y2		z2	1.
	a2
			b2		c2
		133.			xzdxdy xydydz yzdxdz , где – внешняя сторона пи-
рамиды, составленной плоскостями x 0, y 0, z 0,									x y z 1.

В задачах 134–137, применяя формулу Гаусса – Остроградского, преобразовать поверхностные интегралы, если гладкая поверхность ограничивает конечную область (тело) V и cos , cos , cos – направляющие косинусы внешней нормали к .

134. x3dydz y3dzdx z3dxdy .	135. yzdydz zxdzdx xydxdy .

136.

x cos y cos z cos

d .

x

2

y

2

z

2

R

Q

P

R

Q

P

137.

y

cos

z

x

cos

x

y

z

cos d .

138.Вычислить, применяя формулу Гаусса – Остроградского,

y2 zdxdy xzdydz x2 ydxdz , где – внешняя сторона поверхности,

расположенной в первом октанте и составленной из параболоида

zx2 y2 , цилиндра x2 y2 1 и координатных плоскостей.

139.Вычислить интегралы 132, 133, применяя формулу Гаусса – Остроградского.

198		Г л а в а 14.								Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 14
								3x 1													3x 4																		2						2
																												D : 2 x 2; x																		.
1. S :		3 x 5;											y											.		2.														y 4			x
							2															2
3. D : 0 x 2; x2 y 2x																								2 x 3; x y 6 x .
4.	1.	5. 1/ 40.					6.						a3 / 3 .										7.		F(A, B) F(A,b) F(a, B) F(a,b) .
	1	x																				r					y
8. dx f (x, y)dy .																			9. dy										f (x, y)dx .
	0	x2																				0 r r2 y2
	1		e																			1		arcsin y
10.	dy			fdx .									11.									dy						fdy .
	0	e y																				0		arcsin y
	5	(4 3x) / 2									6,5 (2 y 1) / 3															8			(2 y 1) / 3							9,5					5
12.	dx					fdy dy																		fdx				dy								fdx dy							fdx .
	3	(3x 1) / 2											5							3						6,5			(2 y 4) / 3								8 (2 y 4) / 3
														1 y2																									2 6 y y2 5
	1 1 x2						1																			4			3 4 x x2							5
13.	dx				fdy dy															fdx .				14. dx												fdy dy								fdx .
	0	0					0						0													0			3 4x x2							1			2 6 y y2 5
	2	2 x					3			6 x												3		y				4			6 y
15.	dx			fdy			dx fdy dy																			fdx dy										fdx .
	0		x				2				x											0		y / 2				3			y / 2
	1		2 x				2				2 / x											1		2 y				2			2 / y
16.	dx			fdy dx														fdy dy									fdx dy									fdx .
	0	x / 2					1				x / 2											0		y / 2				1			y / 2
	0	1					2						1										1		2 y
17.	dx					fdy dx												fdy dy							fdx .
	2	x / 2					0							x / 2									0		2 y
	1	1					1							y
18.	dx			fdy				dy										fdx .					19.				(e 1)2 .							20. 0.
	1	x2					0								y
21.	33/140 .					22.					9 / 4 .												23.			–2.		24.							/ 6 . 25.							p5 / 21.
																										arctg2			8cos
26.	35 a4 /12 .																						27.					d						f ( cos ,						sin ) d .
																										/ 4			4 cos
	arctg(a / b)					b sin
28.				d					f ( cos ,													sin ) d
		0					0
		/ 2					a cos
						d					f ( cos ,												sin ) d .

arctg(a / b)

0

Ответы к задачам главы 14							199
	/ 2				2
29.	d					f ( cos , sin ) d .
	0	2 sec( / 4)
	/ 4		a		cos 2
30.	d					f ( cos , sin ) d .
	/ 4				0
	/ 2	a sin 2
31.	d				f ( cos , sin ) d .
	0	0
						2	1
32.	x 2 cos ,					y 3 cos , I 6 d	f (2 cos , 3 sin ) d .
						0	0

3 cos2 sin

d

33.

I

3

f ( cos ,

3 sin ) d .

0

0

/ 2

2R sin

34.

d

f ( cos ,

sin ) d .

/ 6

( R cos ec ) / 2

/ 3

2sec

/ 4

sec

35.

d

f ( )d . 36.

d

f ( cos , sin ) d .

/ 4

0

0

sin sec2

37. [(1 R2 )ln(1 R2) R2]/ 4 .

38. R2h .

39.

R3 ( 4 / 3) / 3 .

2

41. 6 2 .

42. a2b2 / 8 .

40.

/ 6 .

43.

1/ 4 6 .

44.

а) V : (x,

y) S, 0 z (6 x 2y) /

3 , S : x 0,

y 0, x 2y 6 ;

б) V : ( y, z) D, 0 x 6 2 y 3z , D : y 0, z 0, 2 y 3z 6 .

45.а) V : (x, y) S; R R2 x2 y2 z R R2 x2 y2 , S : x2 y2 R2 ;

б) V : ( y, z) D; 2Rz z2 y2 x 2Rz z2 y2 , D : y2 z2 2Rz 0 .

46.а) V : (x, y) S; x2 y2 z 4 , S : x2 y2 4 ;

б) V : ( y, z) D; z y2 x z y2 , D : z y2 , z 4 .

47. 2e 5 .

48. (ln 2 5/ 8) / 2 . 49. 1/180.

50. 2 8 /16 .

200	Г л а в а 14. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
														1				/ 3							R
51.	1/ 96 .											52.			dz d f ( cos , sin , z) d .
														0				/ 4							0
	/ 2				2 cos								2
53.	d											d			f ( cos , sin ,																		z)dz .
	/ 2					0							0
	/ 2				/ 2											R
54.	d											sin d f (r cos sin ,																						r sin sin ,										r cos ) r2dr .
	0			/ 2										0
	2													R2 2
			R			3 / 2
55.	d											d								f ( cos , sin ,															z)dz
	0					0						R			R2 2
			2									/ 3					R											2						/ 2							2R cos
	или		d sin d f r2dr d sin d																																												f r2dr ,
			0									0					0											0						0										0
	где f					f (r cos sin , r																			sin sin , r cos ) .
56.	8a2 / 9 .											57.	4 R5 /15 .												58.				a4			/ 8 .			59. 4 ah / 3 .
	4 (R25 R15 ) .																																	1 /									3						8] .
60.													61. [3 10 ln																				2							10								2
	/10 .
62.						63. 560/3.											64.								48	6 / 5 .								65. 45.										66.			81/5.
67.	22 .					68. 27.										69. / 3 . 70.																	/ 8 .				71. 19 / 6 и 15 / 2 .
																							a2[2
72.	21(2								2) / 4				.			73.														2 ln(1					2)]/ 3.
																	0
74.	xc a / 2, yc												8a / 5 .												75.					xc			yc a / 5 .
76.	xc yc						a / 8 .																		77.					xc			5a / 6, yc 16a / 9 .
78.	xc 14 /15, yc												26 /15, zc												8 / 3 .
79.	xc 6 / 5,											yc 12 / 5,					zc 8 / 5 .
80.	xc yc						0, zc						5a(6 3 5) / 83 .																					81.		5 ln 2 .											82. 24.
83.	p2 (5				5 1) / 3 .												84.						4 a			a .								85.	2a3 2 / 3 .
86.	[(R2 4)3/ 2 8]/12 .																87.								2	2[(1 2 2 )3/ 2 1]/ 3 .
88.	R2 2 .											89.	a3 (ch3/ 2 2t										1) / 6 .											90. a7 / 3 .
																	0
																																			(1 e t )
	(2 a2		8 3b2 / 3)													a2	b2 .
91.																																		92.										3 .

Ответы к задачам главы 14	201

	2 p2 (2
93.							2 1) / 3.																	94.	x	b a (h a) /(h a) ,
																									c
	y h /						2 ab / 2										h2 a2 .							95. x		y	4a / 3 .
	c																								c	c
96.	(0; 2a ; b / 2) .																97. ab / 2 .							98.	112/3.					99.	1/ 3 .
	2 ab . 101.															a2 .
100.																							102. 13.				103.			0.	104. 3 3 .
105.	4.									106.						ln(13/ 5) .							107.		0.		108. –9/2.
109.	u (x3						y3 ) / 3 c .																110.		u x2		cos y y2 cos x c .
111.	u (ey						1) /(1 x2 ) y c .																112.		u (x3		y3 z3 ) /					3 2xyz c .
113.	u ln						x y z								c .								114.		u x x / y xy / z c .
115.	R4 / 2 .									116.						2 ab .							117. 1) 0; 2) 2 .
	а) (a2 b2 ) / 2 ;
118.																б)					0.		119.		0, 5k ln 2 .					120.		3 / 120 .
121.	R3 / 4 .									122. 0.											123. R3 .				124.		2 arctg(H / R) .
125.	64		2a4 /15 .									126.									2 R3 .		127.		2 (1 6 3) / 15 .							128. a2 .
129. x		a / 2;								y	0;					z					16a / 9 .			130. 3.			131.				2 R7 /105 .
	c									c								c
132.	0.	133. 1/ 8 .															134. 3 (x2							y2 z2 )dxdydz .							135. 0.
																					V
136.	2								dxdydz											.			137. 0.			138. / 8
								x	2	y		2	z				2
		V