dolgih

66	Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Найдем у2: y2 x e x(ln x 1) dx ln x. Поэтому общим ре-

x2dx

шением уравнения будет y C1x C2 ln x . #

2 . Неоднородные уравнения (НЛДУ). Приведем теорему о структуре общего решения НЛДУ.

Теорема 4. Общее решение НЛДУ (10.53) есть сумма общего решения (10.55) ОЛДУ (10.54) и любого частного решения yч НЛДУ

(10.53):

y C1 y1 ... Cn yn yч .

(10.59)

Все решения НЛДУ содержатся в формуле (10.59).

Приведем одно свойство решений НЛДУ (принцип суперпозиции решений): если правая часть НЛДУ (10.53) состоит из нескольких слагаемых и для НЛДУ с той же левой частью и правой частью, равной каждому из этих слагаемых в отдельности, мы можем найти частное решение, то сумма последних будет частным решением всего уравнения (10.53).

Для нахождения общего решения НЛДУ (обычно) применяют

метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), кото-

рый всегда дает возможность найти общее решение уравнения (10.53), если известна фундаментальная система решений соответствующего ему ОЛДУ (10.54). Этот метод заключается в том, что решение уравнения (10.53) ищется в том же виде, что и решение

(10.55) ОЛДУ (10.54):

y C1(x) y1 C2 (x) y2 ... Cn (x) yn ,

(10.60)

только здесь С1(x), C2 (x), ...Cn (x) – некоторые непрерывно диффе-

ренцируемые функции от x, подлежащие определению. Эти функции определяются из системы

	С y		C y		2	... C y		n	0;
	1	1		2			n
	C y		C y			... C y			0;
	1	1		2	2		n	n
	.......................................											(10.61)
C y(n 2)				C y(n 2)			... C y(n 2)					0;
	1	1				2 2			n	n
C y(n 1)				C y(n 1)			... C y(n 1)				f (x).
	1	1				2 2			n	n

Решая систему (10.61) как алгебраическую, находят производ - ные Сi от искомых функций; далее интегрированием восстанавли-

вают и сами эти функции.

10.6. Линейные уравнения высших порядков	67

	Пример 8. Зная, что функции y (x)	cos x	и	y (x)			sin x	об-
	1	x		2			x
	разуют фундаментальную систему решений ОЛДУ			y	2		y y 0
					x

(см. задачу 150), найти общее решение уравнения xy 2y xy x .

1. Общее решение соответствующего ОЛДУ запишем в виде

(10.55):

y C

cos x

C

sin x

. 2.

Найдем

общее решение НЛДУ:

2

1

x

x

а)

нетрудно в данном случае подобрать частное решение: y =1. По

формуле

(10.59)

записываем

общее

решение: y C

cos x

1

x

C

sin x

1;

б) найдем общее решение НЛДУ по методу вариа-

2

x

ции произвольных постоянных [формула (10.60)], для чего

соста-

вим систему (10.61) (исходное уравнение следует

привести к ви-

ду

(10.53),

поделив

его

на x):

С

cos

x

C

sin x

0;

1

x

2

x

C

cos x

C

sin

x

1. Отсюда найдем: C x sin x, C

x cos x.

1

x

2

1

2

x

Интегрируя,

получаем

C1(x) x cos x sin x C1;

C2 (x) x sin x

cos x C2. По формуле (10.60)

запишем общее решение НЛДУ:

y (x cos x sin x C )

cos

x

(x sin x cos x C )

sin x

1

x

2

x

C

cos x

C

sin x

1. #

1

x

2

x

Пример 9. Проинтегрировать уравнение (1 x2 ) y xy y 1 0 ,

зная что соответствующее ОЛДУ имеет частное решение y1(x) x .

1. Найдем общее решение ОЛДУ

(1 x2 ) y xy y 0

(см.

замечание 2). Найдем y2 :

xdx

1

1

y2 x

1 x

dx

x

e

dx x

x

x

1

x2 .

x 1

1

x2

x2

x2

1 x2

1

1

x2

Общее решение ОЛДУ:

y

C x C

1 x2 .

2. Найдем общее ре-

oo

1

2

шение НЛДУ: а) очевидно, что y = 1 есть частное решение и по

формуле (10.59) общее решение НЛДУ: y C1x C2 1 x2 1;

б) найдем общее решение по методу вариации произвольных постоянных. Составим систему (10.61), приведя исходное уравнение к ви-

68 Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

									x			1
ду (10.53): С x С		1 x2		0;	C C								. Решим
1	2				1	2			x2			1 x2
						1

систему алгебраически: C 1,

C

x

. Интегрируя, найдем:

1

2

1

x2

C (x) x C ,

C (x) 1 x2

C

и

общее решение НЛДУ

1

1

2

C2

2

y ( x C1)x

C1x C2

1. #

1 x2

1 x2

1 x2

10.6.2.ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассматриваем уравнение (10.54), считая в нем коэффициенты

pi const (i 1, n) . Это уравнение имеет ФСР			y1(x), y2 (x), ..., yn (x) ,
определенную x ( , ) и состоящую из			степенных, показа-

тельных и тригонометрических функций. Ей соответствует общее

решение y C1 y1 C2 y2 ... Cn yn в области		x		,		y		,

y		, ...,		y(n 1)		, т.е. задача Коши однозначно решается при

любых начальных	условиях (10.41).
ФСР ОЛДУ	строится по методу Эйлера: частное решение
ОЛДУ ищем в виде
	y e x ,	(10.62)
где – некоторое постоянное число		(действительное или ком-

плексное), подлежащее определению. Для его определения составляется характеристическое уравнение

		n p n 1 ... p		p 0 .		(10.63)
		1	n 1		n
	Структура ФСР зависит от вида корней 1, 2 , ..., n уравне-
ния (10.63).
	1. Все корни характеристического уравнения (10.63) различны
и	действительны. ФСР		в этом случае		имеет вид:	y e 1x ,
						1
y	e 2x , ..., y e nx и общее решение				запишется по	формуле
2	n
(10.55): y C e 1x		C e 2x	... C e nx .
	1	2	n
	2. Все корни (10.63) различны, но среди них имеются комп-
лексные. Пусть 1		i – комплексный корень; тогда 2				i –

тоже корень (10.63). Этим двум корням соответствуют два линейно

независимых частных		решения	y e x cos x, y e x sin x . Если
			1	2
корни	1 и 2 чисто мнимые:		1, 2 i , то им соответствуют ли-
нейно	независимые	решения	y1 cos x,	y2 sin x . Корням

10.6. Линейные уравнения высших порядков	69

1, 2 i в формуле общего решения (10.55) соответствует вы-

ражение вида	e x (C cos x C sin x) , а чисто мнимым корням
		1	2
1, 2 i отвечает сумма C1			cos x C2 sin x .
3. Среди корней характеристического уравнения (10.63) име-
ются кратные корни.
а) Пусть 1 – действительный k-кратный корень. Тогда ему со-
ответствует	k	линейно	независимых	частных	решений
e 1x , xe 1x , ..., xk 1e 1x ,		а в формуле (10.55)		– выражение вида

e 1x (C1 C2 x ... Ck xk 1) .

б) Если 1 i есть комплексный корень (10.63) кратности k, то ему и сопряженному с ним корню 2 i той же кратности соответствуют 2k линейно независимых частных решений вида

e x cos x, xe x cos x, ..., xk 1e x cos x, e x sin x, xe x sin x, ..., xk 1e x sin x.

В формуле общего решения (10.55) этим корням соответствует выражение вида

e x[ C1 C2 x ... Ck xk 1 cos x Ck 1 Ck 2 x ... C2k xk 1 sin x] .

Паре чисто мнимых корней 1, 2 i кратности k отвечает сумма

(С1 С2 x ... Ck xk 1) cos x (Ck 1 Ck 2 x ... C2k xk 1) sin x .

Пример 1. Найти общее решение уравнения y 3y 2y 0 .

Характеристическое

уравнение

(10.63)

имеет

вид

2

3 2 0 , откуда

1,

2

2 – действительные различные

1

числа. Общее решение (см. п. 1):

y C e x C e 2x . #

1

2

Пример 2. Проинтегрировать уравнение y 2 y y 0 .

Уравнение (10.63):

3 2 2

0

имеет корни

2

1

1, 3

0 . Корни действительные,

причем один из них:

1 –

двукратный.

Общее

решение

имеет

вид

[см.

п.

3,а)]:

y e x (C C x) C . #

1

2

3

y 2y 5y 0 .

Пример 3. Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнение

2

2 5 0

имеет корни

1 2i .

Следовательно

(см. п. 2),

функции y

e x cos 2x,

1, 2

1

y

e x

sin 2x

составляют

ФСР,

а

общее

решение

имеет

вид:

2

y e x (C cos

2x C sin 2x)

. #

1

2

Пример 4. Найти частное решение уравнения y 3y 3y y 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям:

y(0) 1,

y (0) 2,

y (0) 3 .

Характеристическое уравнение 3

3 2 3 1 0 имеет един-

ственный корень 1 кратности k =

3. ФСР имеет вид [см. п. 3,а)]:

70 Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

y ex ,	y	xex , y	x2ex ; следовательно,	y (C	C	x C x2 )ex	–
1	2	3		1	2	3

общее решение.

Для определения произвольных постоянных найдем производные:

y ex[C	C	(x 1) C (x2	2x)],		y ex[C	C (x 2) C (x2 4x 2)] .
1	2	3			1	2	3
Подставляя в y, y			и	y начальные данные, получим систему:
C1 1, C1 C2		2 , C1 2C2		2C3	3 , откуда находим		C2 1, C3 0 .
Искомое частное решение:				y (1 x)ex . #

Пример 5. Найти общее решение уравнения yV 2 yIV 2y4 y y 2 y 0 .

Характеристическое	уравнение 5	2 4 2 3 4 2	2 0
или ( 2)( 2 1)2 0 имеет	корни 2	– простой и	i –

пара двукратных мнимых корней. Общее решение [см. п. 3,б)]:

y C e2x (C		C x) cos x (C				C x) sin x . #
1	2		3		4	5
Пример 6.			Проинтегрировать уравнение					yIV 4y 8y
8y 4y 0.
Уравнение				(10.63) представимо			в виде	( 2 2 2)2 0 ,
имеет	двукратные				комплексные		корни	1 2 1 i ,
3 4	1 i		и,	следовательно, общее решение [см. п. 3,б)]:
y e x	C C x cos x C C x) sin x . #
	1	2			3	4

НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1º. НЛДУ с постоянными коэффициентами – уравнение (10.53), в котором коэффициенты pi const (i 1, n) , при помощи метода

вариации произвольных постоянных всегда может быть проинтегрировано в квадратурах от элементарных функций, ибо, как только что было показано, соответствующее ему ОЛДУ (10.54) с постоянными коэффициентами имеет ФСР, состоящую из элементарных функций.

Пример 1. Найти общее решение уравнения y y tg x .

ФСР соответствующего ОЛДУ y y 0 , полученная по методу Эйлера, состоит из функций: y1 1, y2 cos x, y3 sin x . Для

нахождения общего решения НЛДУ воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Составим систему (10.61):

C C cos x C sin x 0;
	1	2	3
	C	sin x C	cos x 0;
	2	3
	C	cos x C	sin x tg x,
	2	3
откуда алгебраическим путем определим: C tg x; C					sin x;
			1	2

10.6. Линейные уравнения высших порядков	71

C		sin2	x	. Интегрирование
3		cos x
C2 (x) cos x C2;					C3 (x) sin x ln
ние имеет вид:

дает:			C1(x) ln						cos x		C1;
			x			C3	и общее реше-
	tg
	4		2

y (C1 ln

cos x

) 1 (C2

cos x) cos x

x

C3 sin x ln

tg

sin x

4

2

C1 C2

cos x C3 sin x ln

sin x ln

x

. #

cos x

tg

4

2

2 . В некоторых случаях для НЛДУ с постоянными коэффициентами удается найти частное решение методом неопределенных коэффициентов, исходя из заранее известного вида последнего – для НЛДУ с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Укажем эти случаи и соответствующие им виды частных решений.

1) f (x) P(x) , где P(x) – многочлен от x; в частности, это

может быть число A 0 . Тогда: а) если число 0 не является корнем характеристического уравнения (10.63), то частное решение НЛДУ можно найти в виде

yч Q(x) ,

(10.64)

где Q(x) – многочлен той же степени, что и P(x) , но с неопределен-

ными (подлежащими определению путем подстановки (10.64) в НЛДУ) коэффициентами; б) если 0 есть корень уравнения (10.63) кратности k, то

	y		xk Q(x) .		(10.64 )
	ч
2) f (x) P(x)eax . Если число a не является корнем характери-
стического уравнения (10.63), то
	y	Q(x)eax .			(10.65)
	ч
Если a – корень (10.63) кратности k, то
	y	xk Q(x)eax .			(10.65 )
	ч
3)	f (x) eax P (x) cos bx P (x) sin bx , где			P (x) и	P (x) –
	1		2	1	2

многочлены от x. Эти многочлены, в частности, могут быть числами, и один из них может быть нулем. Пусть m есть наивысшая из

степеней многочленов P (x) и		P (x) . Тогда:
	1	2
а) если число a ib не является корнем (10.63), то
y	eax Q (x) cos bx Q (x) sin bx ,		(10.66)
ч	1	2

72 Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

где Q1(x) и Q2 (x) – многочлены степени m с неопределенными коэффициентами;

б)	если	a ib есть	корень характеристического уравнения
(10.63) кратности k, то
		y xk eax Q (x) cos bx Q (x) sin bx .					(10.66 )
		ч	1	2
4)	f (x) f1(x) f2 (x) ... fm (x),			где	f1(x), f2 (x), ...,		fm (x) –
функции видов, рассмотренных в пп.				1–3. Если		y1, y2 , ..., ym есть
частные	решения, соответствующие			НЛДУ	с	правыми	частями
f1(x), f2 (x), ...,		fm (x) , то
		yч y1 y2 ... ym					(10.67)

является частным решением всего (исходного) уравнения (см. принцип суперпозиции, п.2, § 10.6.1).

	Пример 6. Проинтегрировать уравнение y y y y x2 x .
	1. Найдем общее решение соответствующего ему ОЛДУ.
Характеристическое уравнение				3 2	1 0 имеет различные
корни:		1 1, 2 i, 3 i		и общее решение		ОЛДУ:
y	C ex	C	cos x C sin x .	2. Здесь	f (x) x2 x –	многочлен
oo	1	2	3

2-й степени. Так как число ноль не является корнем характеристиче-

ского уравнения,		то частное решение	ищем в виде (10.64):
y Ax2	Bx C;	A, B, C – неизвестные,	подлежащие определе-
ч

нию коэффициенты. Подставляя y в исходное НЛДУ, получаем:Ax2 (2A B)x (B 2A C) x2 x , откуда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравне-

ний:	– A 1;	2A B 1;	B 2A C 0 . Решая	ее, находим:
A 1,	B 3,	C 1 и частное решение имеет вид:		y x2	3x 1.
				ч

По формуле (10.59) общее решение исходного уравнения имеет вид:

y C ex C		cos x C sin x x2 3x 1. #
1	2	3
Пример 7. В каком виде следует искать частое решение НЛДУ
y y 12x2 6x ?
	Характеристическое уравнение 3 2 0 имеет корни
1 2	0, 3 1. Так как число 0 есть двукратный корень характе-

ристического уравнения, то частное решение следует искать по рекомендации (10.64 ):

yч x2 (Ax2 Bx C) Ax4 Bx3 Cx2 . Ответ. y C1 C2 x C3 ex x4 5x3 15x2 . #

10.6. Линейные уравнения высших порядков	73

	Пример 8. Проинтегрировать уравнение y 10y 25y 4e 5x .
	1.	Характеристическое уравнение			2 10 25 0 имеет
двукратный корень			1 2	5 , поэтому общее решение ОЛДУ
y	(C C x)e 5x .		2. Здесь	f (x) 4e 5x ,	P(x) 4 . Так как a = –5
oo	1	2

является корнем характеристического уравнения кратности k = 2, то

частное решение y				ч	НЛДУ ищем по формуле (10.65 ): y				Bx2e 5x .
								ч
Тогда	y	B(2x 5x2 )e 5x ,				y B(2 20x 25x2 )e 5x .		Подставляя
	ч					ч
y , y	и	y в исходное уравнение, получаем					2Be 5x 4e 5x , откуда
ч ч		ч
B 2	и	y	2x2e 5x .			Общее решение	исходного		НЛДУ:
		ч
y (C C x)e 5x			2x2e 5x . #
1	2
Пример 9. Найти общее решение уравнения								y 3y 2y

x sin x .

1. Характеристическое уравнение 2 3 2 0 имеет кор-

ни	1,		2	2 , поэтому	y	C e x C e 2x . 2. Здесь
1					oo	1	2

f (x) x sin x 0 cos x x sin x . Для определения частного решения используем рекомендацию (10.66). Число a ib i не является корнем

характеристического уравнения. Определим m: m sup 0; 1 1							и, та-
ким образом,	y	(A x A ) cos x (B B x) sin x . Найдем				y	и y
	ч		1	2	1 2	ч	ч
и подставим	y , y		и	y в заданное уравнение; получим,		собрав в
	ч	ч		ч

левой части отдельно члены, содержащие cosx, отдельно содержа-

щие	sinx:	[( A 3B )x 3A A				2B	3B ] cos x
		1	1	1	2	1	2

+ [( 3A	B )x 2A 3A			3B	B ] sin x 0 cos x x sin x . Срав-
1	1	1	2	1	2

нивая отдельно выражения при cosx и при sinx слева и справа, приходим к системе уравнений:

A1 3B1 0;

3A1 B1 1;

3A1 A2 2B1 3B2 0;

2A1 3A2 3B1 B2 0.

Решая, получаем

A1 3/10;

A2 17 / 50;

B1 1/10; B2 3/ 25 и ча-

3

17

1

3

стное решение

yч

x

cos x

x

sin x . Общее

10

50

10

25

решение запишется по формуле (10.59):
y C e x C e 2x				3	x	17		cos x			1	x	3	sin x . #
1	2		10							10			25
						50
Пример 10. Проинтегрировать уравнение y y sin x cos 2x .
1.	Найдем	общее			решение				соответствующего						ОЛДУ:
y y 0 ,	2 1 0 ,		i,				2	i;	y		C cos x C				sin x .
			1						oo	1				2

74	Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
2. Частное решение уравнения						y y sin x (1) следует искать
в виде (10.66 ), так как число						a ib i является простым корнем
характеристического					уравнения: y1 x(A cos x B sin x) .		Под-
ставляя	y1	в уравнение (1), получаем: 2A sin x 2B cos x sin x ,
откуда и	y		1	x cos x . Для уравнения y y cos 2x (2)			имеем
	1	2
y2 A cos 2x B sin 2x					– используем формулу (10.66), ибо здесь

a ib 2i не является корнем характеристического уравнения. Подставляя y2 в (2), находим A 13 , B 0 , так что y2 13 cos 2x .

Используя формулу (10.59) и принцип суперпозиции частных решений, запишем общее решение НЛДУ:

y C

cos x C

sin x

1

x cos x

1

cos 2x . #

1

2

2

3

Пример 11.

Найти общее

решение НЛДУ y 2y 5y

e x cos 2x .

1.

Характеристическое

уравнение

2 2 5 0

имеет

корни

1 2i , так

что

y

(C

cos 2x C sin

2x)e x .

1, 2

oo

1

2

2. Здесь

f (x) e x (1 cos 2x 0 sin

2x) и так как число a ib 1 2i

является простым корнем характеристического уравнения, частное

решение надо искать в виде (10.66 ): y x(A cos		2x B sin 2x)e x ;
	ч
				x
				,
тогда yч [ A Ax 2Bx cos 2x B Bx 2Ax sin 2x]e
y [( 2A 3Ax 4B 4Bx) cos 2x ( 2B 3Bx 4A 4Ax) sin			2x] e x .
ч
Подставляя y , y	и y в исходное уравнение и сокращая		на	e x ,
ч ч	ч
получаем 4A sin	2x 4B cos 2x cos 2x , откуда	A 0,	B 1/ 4

и yч 0, 25xe x sin 2x . Общее решение НЛДУ:

y (C1 cos 2x C2 sin 2x)e x 0, 25xe x sin 2x . #

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на линейную зависимость в области их совместного определения системы функций.

124.	x, ln x . 125. 1, 2, x, x2.	126.	ex , xex , x2ex .			127. x, 0, ex .
128.	sin x, cos x, cos 2x .	129.	5, cos2 x, sin2 x .
130.	cos x, cos(x 1), cos(x 2) .		131. ex , ex 1 .
132.	1, arcsin x, arccos x .	133.	2 , arctg	x		, arcctg	x	.
				2
							2

10.6. Линейные уравнения высших порядков			75
В задачах 134–139 найти определитель Вронского для указан-
ных систем функций.
134.	1, x . 135. 1, 2, x2.	136. e x , xe x . 137. ex ,	2ex , e x .
138.	2, cos x, cos 2x.	139. ex sin x, ex cos x .

По заданной ФСР ОЛДУ составить уравнение.

140.	1, e x .	141.	e2x cos x, e2x sin x.	142. x3 , x4.
143.	1, x, ex .	144.	1, sin x, cos x.	145. 2x, x 2,	ex 1.
146.	e3x , e5x .	147.	e2x , sin x, cos x .

Найти общее решение ОЛДУ, если известно одно частное решение.

148.	y 6y 5y 0,	y ex .			149. y 2y 3y 0, y			e x .
		1					1
150.	xy 2y xy 0, y1		sin x	.	151. (1 x2 )y 2xy 2y 0,			y1 x .
			x
152.	x2 (ln x 1) y xy y 0,				y	x.
					1
153.	y (tg x 2 ctg x) y 2 ctg2						x y 0, y sin x.
							1
154.	y tg x y cos2 x y 0,				y		cos(sin x).
					1

В приведенных ниже НЛДУ, зная одно частное решение y1 соответствующего ОЛДУ и угадав некоторое частное решение y2 НЛДУ либо применив метод вариации произвольных постоянных, найти общее решение.

155.	x2 y xy 3y 5x4 , y1	1	.		156. (x 1)y xy y (x 1)2 ex ,							y1 ex.
		x
157.	y y e 2x y e 3x , y				cos e x .
	1
158.	(x4 x3 ) y (2x3 2x2			x) y y				(x 1)2	, y	1	.
								x	1	x
159.	y y ye2x xe2x 1,				y	sin ex .
					1
160.	x(x 1) y (2x 1) y 2y x2 (2x 3), y x2.
								1
В уравнениях 161–165 частным решением									ОЛДУ является
y1 1. Найти их общие решения.
161.	xy (1 2x2 ) y 4x3ex2 .					162.	y 2y tg x 1.
163.	x ln x y y ln2 x.					164.	xy (2x 1) y 4x2.
165.	y y tg x cos x ctg x .

Проинтегрировать следующие ОЛДУ с постоянными коэффициентами.

166.	y 6y 8y 0.	167.	y 2y 0.
168.	y 2y y 2y 0.	169.	y 13y 12y 0.
170.	yV 10y 9y 0.	171.	y 2y 2y 0.