dolgih

76	Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
	172.	y y y 0.		173.			y y 0.				174.		y 2y 9y 18y 0.
	175.	yIV y 0.		176.		yVI y 0.					177. y 6y 12y 8y 0.
	178.	y y 0.		179.		yIV 2y 2y 2y y 0.
	180.	yIV 4y 8y 16y 16y 0.										181.	yIV 8y 16y 0.
	182.	yIV 2y 3y 2y y 0.										183.	yV 8y 16y 0.
	184.	yV yIV 2y 2y y y 0.
	Методом вариации произвольных постоянных решить сле-
дующие НЛДУ с постоянными коэффициентами.
	185.	y y ctg2 x 0.					186.			y	2 y y					ex							.
																4 x2
		1														ex
	187.	y y			.		188.			y		2 y y								.
			cos3	x											x2 1
		y 2 y y		x2 2x 2								y y 4									1
	189.							.	190.							x									.
					x3
																			x				x
	191.	y 4y 4y e 2x				ln x.			192.			y y			x 1			.
															x2

Определить вид частного решения НЛДУ, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f (x) – функ-

ция специального вида.

193.		1,			2	2;			f (x) x2 3.									194. 0,							2		1;		f (x) 3x2 3x 1.
	1																					1
195.			2	0;			f (x) 10x2							x 4.				196. 0,								2		3	1; f (x) x3 3.
	1																					1
197.		1,				2	2;				f (x) e x (x 10).
	1
198.		1,				2				3			4	0;			f (x) ex (x 10).
	1
199.	1	0,			2		1;				f (x) sin x cos x.
200.				2	3i,						3			4	3i,					5	1,		6	0; f (x) x2 cos 3x.
	1
201.		1 i,						2		1 i,						3			4	0, f (x) e x (x cos x sin x) .
	1
Пользуясь принципом суперпозиции, определить вид частного
решения следующих НЛДУ.
202.	y y 2y ex e 2x .																	203.				y 4y x e 4x .
204.	y y x sin x.																	205.				y 2y 2y (1 sin x)ex.
206.	y y 1 ex .																	207. y 4y e2x sin 2x.
208.	y 4y sin x sin 2x.																	209. y 4y 2 cos2 4x.

10.6. Линейные уравнения высших порядков					77
Проинтегрировать следующие НЛДУ,					найдя их частные ре-
шения методом неопределенных коэффициентов.
210. y y x2 x 1.		211.	y 4y 12x2 6x 4.
212.	y 5y 6y 3.	213.	y y 3.		214. y y 4ex .
215.	y y 4ex .	216.	y 2 y y 4ex .
217.	y 2y 3y 4ex 3.		218.	y 3y 2y 3e2x 2x2.
219.	y 3y e3x 18x.		220.	y 6y 12y 8y 3e 2x .
221.	y y 3x 1.		222.	yIV y 4ex .
223.	y y 2 sin x 4 cos x. 224.			y y 6 sin 2x.
225.	y y y 13 sin 2x.		226. y 4y sin 2x.
227.	y y ex cos x.		228.	y y cos x cos 2x.

229.y 4y ex ( 4x 4) cos x (2x 6) sin x .

230.y 2y 2y ex (2 cos x 4 sin x).

231.y y 2 sin x 4x cos x.

232.y y 4y 4y 3e2x 4 sin 2x.

233.	yIV y 4 sin x 8e x 1.		234.	yIV 2y y cos x.
235.	y y cos2 x.		236.	y 4y cos2 x.
237.	y y sin x cos 3x.		238.	y y ch x.
Найти решения НЛДУ, удовлетворяющие поставленным на-
чальным условиям.
239.	y 4y sin 2x;	y y 0	при x 0.
240.	y y x; y 1,	y 1 при x 0.
241.	y 4y 4y 3e 2x ; y y 0 при x 0.
242.	y 5y 6y (12x 7)e x ;		y y 0 при x 0.

243.y y 4x cos x; y 0, y 1 при x 0.

244.y 6y 9y 16e x 9x 6; y y 1 при x 0.

245.	y y 2x;	y 0,	y 1,	y 2	при x 0.
246.	yIV y 8ex ;	y 1,	y 0,	y 0	, y 0 при x 0.

78	Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения

10.7.СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

10.7.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. СВЯЗЬ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ n-го ПОРЯДКА

1 . Нормальные системы

Система обыкновенных ДУ вида

dy1

f (x, y , y

, ..., y

);

2

n

dx

1

1

dy2

f

(x, y , y

, ..., y

);

2

2

n

dx

1

(10.68)

.....................................

dyn

f

(x, y , y

, ..., y

),

n

2

n

dx

1

где

y1(x), y2 (x), ..., yn (x)

–

неизвестные (искомые) функции,

f1,

f2 , ..., fn – известные функции, заданные и непрерывные в не-

которой области, называется нормальной системой. Число n называется порядком системы (10.68).

Если правые части системы (10.68) являются линейными

функциями от yi (i 1, n) :

dy1

p (x) y

p (x) y

... p

(x) y

f (x);

2

n

dx

11

1

12

1n

1

dy2

p

(x) y

p

(x) y

... p

(x) y

f

(x);

2

n

2

dx

21

1

22

2n

(10.69)

........................................................................

dyn

p

(x) y

p

(x) y

... p

(x) y

f

(x),

nn

n

n

dx

n1

1

n2

2

то такая система называется линейной.

Совокупность n функций

y1 1(x), y2

2 (x), ..., yn n( x) ,

(10.70)

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a, b), называется решением системы (10.68) в интервале (a, b), если функции (10.70) обращают (все) уравнения системы (10.68) в тождества [на интервале (a, b)]. Кривая в (n+1)-мерном пространстве (x, y1, y2 , ..., yn ), соответствующая (10.70), называется интегральной

кривой.

Задача нахождения решения (10.70), удовлетворяющего начальным условиям

10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений										79
	y		y(0) ,		y	y(0)	, ..., y	y(0)	при x x ,	(10.71)
	1			1	2	2	n	n	0
где x , y(0)	,	y(0)		, ...,	y(0)	суть заданные числа (начальные данные),
0 1			2		n

называется задачей Коши.

Теорема (достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши). Пусть функции fi (x, y1, ..., yn ), i 1, n , в (10.68) определены и непрерывны в (n + 1)-мерной области D изменения переменных (x, y1, y2 , ..., yn ) вместе частными производ-

fi

y(0)

, y(0) ,

ными

,

i 1, n , k 1, n . Тогда для любой точки M

0

(x ,

xk

0

1

2

..., y(0) ) D

найдется интервал

x h x x h изменения x, в ко-

n

0

0

тором

существует и единственно решение нормальной

системы

(10.68), удовлетворяющее начальным условиям (10.71).

Совокупность n функций

yi

i (x, C1, ..., Cn ) (i 1, n) ,

(10.72)

определенных в

некоторой

области

изменения

переменных

x, C1, ..., Cn

и имеющих непрерывные частные производные по x,

называется общим решением (10.68) в области D изменения пере-

менных (x,

y1, y2 , ..., yn ) , в каждой точке которой имеет место су-

ществование и единственность решения задачи Коши, если система (10.72): 1) является решением системы (10.68) на некотором интервале действительной оси, где x точки (x, y1(x),..., yn (x)) D ;

2) какие бы начальные условия (10.71) ни задать, С1, C2 , ..., Cn та-

кие, что эти начальные условия будут удовлетворены.

Решение (10.70), в каждой точке которого имеет место существование и единственность решения задачи Коши, называется частным решением. Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Функция (x, y1, ..., yn ) , определенная и непрерывная вместе

с частными производными , , ... в некоторой области D

x y1 yn

изменения переменных и принимающая x (a, b) постоянное

значение при подстановке в нее произвольного решения системы, называется первым интегралом нормальной системы (10.68):

(x, y1, ..., yn) C ,

(10.73)

если y1, ..., yn – решение (10.68), а С – произвольная постоянная. Следующая теорема устанавливает условия того, что функция

(x, y1, ..., yn ) является первым интегралом системы (10.68).

80	Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
	Теорема. Для того чтобы функция (x, y1, ..., yn ) была пер-

вым интегралом системы (10.68), необходимо и достаточно, чтобы

было выполнено условие						yn ) 0 .			(10.73 )
		fk (x, y1, ...,
					n
		x			k 1		y
							k
Если известны n					независимых	первых интегралов 1,..., n
системы (10.68), то ее решение может быть найдено из системы
	(x, y ,..., y			) C ,
	1	1	n		1
...............................
		(x, y1,..., yn ) Cn .
n

В этом случае ни одно из уравнений не является следствием остальных.

Приведем критерий независимости системы функций fi (x1, ..., xn ), i 1, n : для ее независимости требуется, чтобы якоби-

ан			fi		0 .
			x j
			2 . Системы ДУ в симметрической форме
			Система вида
					dx1			dx2	...	dxn	(10.74)
	X1(x1, x2 , ..., xn )							X2 (x1, x2 , ..., xn )		X n (x1, x2 , ..., xn )

называется системой ДУ в симметрической форме. Если в точке (x1(0) , x2(0) , ..., xn(0) ) хоть один из знаменателей X1, X2 , ..., Xn отличен от нуля, то в окрестности этой точки систему (10.74) можно заме-

нить

нормальной

системой

из

n-1

уравнений.

Пусть

X

n

(x(0)

, ..., x(0) ) 0 . Тогда

1

n

dx1

X1

,

dx2

X 2

, ...,

dxn 1

X n 1

.

(10.75)

dxn

X n

dxn

X n

dxn

X n

Каждый интеграл (первый интеграл) системы (10.75) называется

интегралом (первым интегралом) системы (10.74). Система (10.74)

имеет не более чем n – 1 независимых интегралов. Совокупность n – 1 независимых первых интегралов системы (10.74) называют общим интегралом этой системы.

Всякую нормальную систему (10.68) можно записать в виде

(10.74)

dy1		dy2	...	dyn		dx	.	(10.76)
f1		f2		fn	1

10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений	81

3 . Канонические системы ДУ высших порядков

Система ДУ высших порядков, разрешенная относительно старших производных, называется канонической. Она имеет вид

y(mi )		(x, y , y , ...,		y(m1 1)	, ..., y , y	, ..., y(mn 1) )
	f						(i 1, n) . (10.77)
i	i		1 1	1	n n	n
Число m1 m2			... mn	называется порядком системы (10.77). Кано-

ническая система (10.77) [в частном случае – одно уравнение n-го порядка y(n) f (x, y, y , ..., y(n 1) )] приводится к соответствующей

ей нормальной системе уравнений, если принять все производные, стоящие справа, за новые неизвестные функции.

З а м е ч а н и е. Обратное, вообще говоря, неверно: не всякую систему ДУ можно свести к одному уравнению. Например, система y y; z z распадается на два независимых уравнения.

Задача Коши для канонической системы (10.77) состоит в на-

хождении	решения (10.70),	в котором искомые функции
y1, y2 , ..., yn	вместе со своими производными до порядков соответ-
ственно m1 1, m2 1, ..., mn 1		принимают наперед заданные число-

вые значения при заданном значении x. Общее решение канонической системы (10.77) содержит m1 m2 ...mn произвольных постоянных.

4 . Примеры Пример 1. Привести каноническую систему дифференциаль-

ных уравнений y 2y 3y ,					y	y			2y	к нормальному виду.
1		1		2	2			1	2
Положим	y	y ,		y	y		. Тогда данную систему можно за-
	1		3	2	4
писать в виде: y	y ;		y	y ;		y		2y 3y ;			y	y 2y , которая
1		3	2		4		3		1	2	4	1	2

и является нормальной системой четвертого порядка. # Пример 2. Привести к нормальной системе дифференциальное

уравнение y k 2 y 0 .
Положим y z ; тогда	y z	и уравнение приводится к
нормальной системе уравнений:	y z,	z k 2 y . #
Пример 3. Свести систему y y z,			z 4y z (1) к одному
уравнению и найти решение системы.
Найдем z из первого уравнения:			z y y . Отсюда имеем

z y y . Подставив значения z и z во второе уравнение системы, получим уравнение y 2y 3y 0 – ОЛДУ с постоянными коэф-

фициентами; его общее решение: y C1e x C2e3x . Из равенства

82	Г л а в а	10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
z y y находим: z 2C e x 2C e3x и				C , C система функций
		1	2	1	2
y C e x C e3x ,		z 2C e x 2C e3x (2)		является решением исход-
1	2	1	2
ной системы. #
Пример 4. Показать, что решение (2) системы (1) (см. при-
мер 3) является общим решением.
1. Подставляя функции			y(x, C1, C2 ) и		z(x, C1, C2 )	из (2) в
систему (1), убеждаемся, что система функций (2) C1, C2						являет-

ся решением системы (1) (превращает каждое уравнение в тождество по x, справедливое C1 и C2 ). 2. Проверим выполнение усло-

вия 2) определения (10.72). В качестве области D системы (1) можно взять область D: x, y, z ; при этом x0 , y0 , z0 выполнены

условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Подставив x0 , y0 , z0 в систему (2), получим алгебраическую систему для определения постоянных:

C e x0		C e3x0	y ;
	1	2	0	(3)
	2C e x0 2C e3x0 z
				.
	1	2	0

Определитель этой системы 4e2x0 0 при x0 и, следовательно, y0 и z0 можно получить любое частное решение задачи Коши

для системы (1). # Пример 5. Найти частное решение системы (1) (пример 3),

удовлетворяющее начальным условиям: y 0, z 4 при x 0 .

Подставляя начальные данные x 0, y 0, z 4 в систему (3), получаем: C1 C2 0, 2C1 2C2 4 . Решая ее, находим C1 1, C2 1. Искомое частное решение y e x e3x , z 2e x 2e3x . #

Пример 6. Показать, что функция

(x, y, z)

z

y , опреде-

x

ленная в области D : x R, x 0; y; z ,

является первым

интегралом системы уравнений

y

1

y ,

z y

1

z (1).

x

x

Дифференцируем:

z

z

y

y

z

z

y

0 . Следовательно,

x

x

x2

x

x2

x2

x

(x, y, z) C const , если y(x)

и z(x) – решения системы (1). #

10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

83

Пример 7. Показать, что функция

(x,

y, z) arctg

y

x (3)

z

является первым интегралом системы уравнений y

y2

, z

z2

(1).

z

y

В данном

случае

f (x, y, z)

y2

, f

(x,

y,

z)

z2

(2).

2

1

z

x

Найдем

частные производные данной

функции

(3):

1;

x

z

;

y

(4).

y

z

y2

z2

y2

z2

Подставляя (2) и (4)

в левую

часть

(10.73 ),

получаем

f

f

1

y2

z

z2

y

1 1 0 в об-

x

y

2 z

y2 z2

y2 z2

1

z

y

ласти D : x , y 0,

z 0 и функция (3) есть первый инте-

грал системы (1): arctg

y

x C ,

где С –

произвольная посто-

z

янная. #

10.7.2.МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Вобщем случае мы располагаем очень ограниченными возможностями интегрирования систем в квадратурах. Для линейных систем эти возможности несколько шире; но фактически всегда уда-

ется найти в квадратурах общее решение или общий интеграл лишь в случае, когда коэффициенты линейной системы являются постоянными.

СВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДУ К ОДНОМУ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Одним из методов решения систем ДУ является метод исключения неизвестных, который сводит систему уравнений к одному или нескольким уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом (см. пример 3, разд. 10.7.1). Это приведение системы n-го порядка к одному уравнению n-го порядка [если оно возможно (см. замечания в п. 3 , разд. 10.7.1)] достигается последовательным дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных функций, кроме одной (метод исключения). Проинтегрировав полученное уравнение, находят общее решение данной системы уже без новых квадратур. Заметим также, что во многих случаях этим методом удается проинтегрировать каноническую систему (10.77).

84	Г л а в а 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
	Пример 1. Для системы y 1	1	,	z	1	(1) найти общее
		z			y x

решение и выделить решение, удовлетворяющее начальным услови-

ям: y(0) 1, z(0) 1.

Найдем общее решение системы (1) методом исключения. По этому методу дифференцирование начинают с того уравнения, которое содержит производную сохраняемой функции. Пусть мы хотим получить уравнение для функции z. Дифференцируем второе

уравнение (1): z

1

( y 1) . Для исключения y и y из полу-

( y x)2

ченного уравнения заменим в нем

1

и y 1 их значениями из дан-

y x

ной системы. Получим

z z 2

1

– уравнение второго порядка,

до-

z

пускающее понижение порядка.

Подстановкой

z p(z),

z p

dp

dz

уравнение сводится к

z 0 и

dp

p

, откуда

z C и

z C z

и,

dz

z

1

таким образом, z C eC1x . Функцию y определим из второго урав-
			2
нения (1): y x		1	, y x	e C1x				y x	e C1x
						, откуда					. Общее ре-
		z		C C					C C	2
				1	2				1
шение системы (1)		имеет вид:			y x		e C1x	, z C eC1x		. Решим по-
							C1C2	2

ставленную задачу Коши. Подставляя в общее решение вместо x, y и z их начальные значения 0, –1 и 1, получаем систему для опреде-

	ления постоянных:		1	1,	C2 1 , откуда C1	1, C2 1 , так что
		С1С2
	искомым решением		будет		y x ex , z e x .	Других решений,

удовлетворяющих заданным начальным условиям, нет. #

МЕТОД ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

По этому методу решения из системы (10.68) выделяют такое уравнение (интегрируемую комбинацию), которое можно проинтегрировать и получить первый интеграл системы. В таком случае удается понизить порядок системы. Если для системы, состоящей из n уравнений, найдено n независимых первых интегралов, то тем самым найден и общий интеграл этой системы и ее интегрирование окончено.

10.7. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений	85

Для нахождения интегрируемых комбинаций иногда бывает полезно предварительно переписать данную систему в симметрической форме (10.74) и использовать свойство равных отношений: ес-

ли

u1

u2

...

un

, то ,

, ...,

имеет место соотношение:

2

n

v1 v2

1

vn

1u1 2u2

... nun

.

(10.78)

1v1 2v2

... nvn

Числа 1, 2 , ..., n подбираются обычно таким образом, чтобы

числитель в (10.78) был полным дифференциалом или же знаменатель был равен нулю, или же это отношение давало интегрируемую комбинацию.

Пример 2. Проинтегрировать систему dxdt y, dydt x (1).

Найдем общий интеграл методом интегрируемых комбинаций и понижения порядка системы. Умножая почленно уравнения системы (1) соответственно на x и y и складывая полученные урав-

нения, получаем интегрируемую комбинацию x dxdt y dydt 0 , отку-

да x2 y2 C12 .

Заметим, что этот же первый интеграл можно найти из интег-

рируемой комбинации dydx xy , которая получается из (1) делени-

ем уравнений системы. Пользуясь найденным первым интегралом,

понизим порядок

системы (1): y

C2 x2

и подставим это зна-

1

dx

чение y в первое из уравнений системы (1):

C2

x2

– имеем

dt

1

уравнение первого порядка, интегрируя

которое,

находим

arcsin

x

t C – еще один первый интеграл системы (1). Эти ин-

C1

2

тегралы независимы. #

Пример 3. Решить систему

dy

z

,

dz

y

(1).

(z y)2

y)2

dx

dx

(z

Для нахождения

интегрируемых

комбинаций

перепи-

шем

(1)

в симметрической

форме

dy

dz

dx

или

z

y

1

(z y)2

(z y)2

dy

dz

dx

. Одна из интегрируемых комбинаций:

dy

dz

,

(z y)2

z

y

z

y

откуда y2 z2 C12 . Используя свойство пропорции (10.78), нахо-