Moi_zadachi_po_KMSF

Задачи по квантовой механике.

Задача 1.

Оценить промежуток времени , за который равномерно движущийся вокруг ядра атома водорода по окружности радиуса r₀=0.5310^-8 см., упал бы на ядро из-за потери энергии на излучение.

Ответ:

()

Задача 2.

Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с длинами волн де Бройля ₁ и ₂. Найти длины волн этих частиц в системе их центра масс.

Ответ:

Задача 3.

Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером

Ответ: (при условии )

Задача 4.

Частица находится в одномерной потенциальной яме шириной с бесконечно высокими “стенками”. Оценить силу давления частицы на стенки при минимально возможном значении её энергии Е_мин.

Ответ: = 2Е_мин/, (при условии ).

Задача 5.

Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.

Ответ: , = 0.53 (при условии ).

Задача 6.

Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию в поле U(x) = ax (a>0).

Ответ:

Задача 7.

Найти собственное значение оператора , принадлежащее волновой функции .

Ответ: A=4

Задача 8.

Найти наиболее вероятное расстояние электрона от ядра атома водорода в состоянии 2р.

Ответ: ₀ = 4a₀ (, , – первый боровский радиус)

Задача 9.

Определить энергию электрона атома водорода в стационарном состоянии:

, где A, b и α – некоторые постоянные.

Решение.

Так как волновая функция зависит только от r, то уравнение Шредингера в сферической системе координат имеет вид

, (1.1)

где . Удобно представить волновую функцию в виде

(1.2)

В результате получаем уравнение

(1.3)

(1.4)

Приравнивая коэффициенты при степенях r, получаем:

(1.5a)

(1.5b)

k = 0 (1.5c)

Из первого равенства следует, что

(1.6)

А) Если b=0, то из (1.5c) мы получаем энергию основного состояния

(= - 13.6 eV) (1.7)

Б) Если b≠0, то

(1.8)

Значение , отвечающее условию b≠0 находится из решения квадратного уравнения (1.5b). Постоянная , а энергия (отвечающая значению n=2) в соответствии с (1.6) равна

(1.9)

Задача 10.

Найти возможные значения энергии частицы массы m, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме (U(r)=0 при r < r₀ и U(r) = ∞ при r > r₀) для случая, когда волновая функция зависит только от r.

Ответ: (Указание: воспользоваться подстановкой и учесть, что волновая функция должна оставаться конечной при ).

Задача 11.

Волновая функция частицы в сферически-симметричном центральном поле имеет вид , где a - некоторая постоянная. Найти

Ответ:

Задача 12.

Частица находится в сферически-симметричном центральном поле в состоянии , где r – расстояние от центра, a- некоторая постоянная. Найти

Ответ:

Задача 13.

Частица в момент времени t=0 находится в состоянии , где A и a- некоторые постоянные. Найти: .

Ответ: .

Задача 14.

Найти вероятность D прохождения частицы с массой и энергией Е сквозь потенциальный барьер .

Ответ:

Задача 15.

Определите среднее значение координаты электрона в одномерной яме шириной с бесконечно высокими “стенками”.

Ответ:

Задача 16.

Найти среднее значение кинетической энергии K электрона в одномерной яме шириной с бесконечно высокими “стенками”, если волновая функция имеет вид

.

Ответ:

Задача 17.

Найти плотность состояний электрона в двумерной яме с размерами и b с бесконечно высокими “стенками”.

Ответ:

Задача 18.

Найти максимально возможный полный механический момент и спектральный символ терма атома с электронной конфигурацией 1s²2p3d

Ответ: ³F₄

Задача 19.

Найти кратность вырождения основного терма атома с единственной незаполненной подоболочкой d⁶ .

Ответ: J = 4, 2J+1 = 9

Задача 20.

Вычислить модуль магнитного момента атома в состоянии с квантовыми числами

S=1, L=2 и фактором Ланде g =4/3.

Ответ:

Задача 21.

Вычислить фактор Ланде для термов: а) ³P₀ ; б) ⁴D_1/2 ; в) ⁶F_1/2; г) ⁵P₁.

Ответ: а) g = 0/0; б) g = 0; в) g = - 2/3; г) g = 5/2.

Элементы квантовой статистики

Задача 1

Покажите, что при очень малом параметре вырождения распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в распределение Максвелла-Больцмана.

Задача 2

Определите значение функции распределения для электронов, находящихся на уровне Е для случая E - E_F << kT, пользуясь: а) статистикой Ферми-Дирака; б) статистикой Максвелла-Больцмана.

Ответ: а) ½ ; б) 1.