Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Задачи нью

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
08.02.2019
Размер:
163.05 Кб
Скачать

Занятие 24

Тема: Уравнение Шредингера. Часть 2.

Цель: Потенциальная яма. Операторное представление физических величин. Средние значения физических величин. Гармонический осциллятор. Атом водорода.

Краткая теория

Частица внутри одномерной бесконечно глубокой потенциальной ямы. Яма задает следующий вид потенциальной энергии U частицы:

U = 0 при 0 < x < l ,

U = ∞ для других значений координаты х.

Решение уравнения Шредингера позволяет найти собственные

функции частицы:

ψ n

=

2 sin nπ x

,

а также соответствующие

им

 

 

 

 

 

 

 

l

l

 

 

 

энергии En

= π

2

!

2

n 2

 

 

 

 

 

 

 

2

, где l - ширина ямы, m - масса частицы, n = 1,

2, 3, …

2ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значения L, которые может принимать физическая величина,

описывающая

некоторое

 

свойство

микрообъекта, находят

из

уравнения

"

=

 

Lψ ,

в

которое

входит квантовый оператор

Lψ

 

искомой величины. Каждой физической величине может быть сопоставлен свой оператор. Решением уравнения являются пары: волновые функции ψ 1, ψ 2, ψ 3, ... (собственные функции оператора) и

соответствующие им значения искомой физической величины L1, L2, L3, ... (собственные значения оператора).

Согласно принципу суперпозиции волновая функция произвольного состояния частицы может быть представлена в виде разложения по

собственным функциям: ψ = Cn ψ n , где в одномерном случае коэффициенты разложения Сn = ψψ n*dx. В аспекте наблюдения каждое произведение CnCn* определяет вероятность получить значение Ln искомой физической величины при измерении.

Среднее значение физической величины в состоянии,

характеризуемом волновой функцией ψ :

 

= ∫ψ Lψ dx .

 

L

 

Запись

операторов

некоторых

 

физических

величин,

характеризующих свойства частицы, имеет следующий вид.

 

Координата:

"

= x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

$

 

$

 

 

$

 

 

#

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Импульс:

P

= −

i!

 

, где

=

i

 

+

 

j

+

 

 

k

- дифференциальный

векторный оператор «набла».

 

 

 

x

 

 

 

y z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Энергия:

"

 

!

2

 

2 + U , где

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H

= −

 

 

H -

оператор, который носит название

2m

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

«гамильтониан»,

 

 

 

= ∆ =

 

+

 

 

+

 

 

 

 

 

-

оператор Лапласа,

 

 

 

y2

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

представляющий сумму вторых частных производных по координатам от стоящей за ним функции, U - потенциальная энергия

частицы. В операторном виде стационарное уравнение Шредингера

"

может быть записано как Hψ = Eψ .

Гармонический осциллятор. Потенциальная энергия частицы в

поле возвращающей силы F = − kx имеет вид U =

kx2

=

mω

2

x2 , где ω

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

циклическая

частота колебаний. Возможные

энергии

 

частицы:

En = (n +

1

)!ω

, где n = 0, 1, 2, 3, …, даже при n = 0 частица обладает

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

энергией, совершая так называемые «нуль-колебания». Собственная

функция

основного состояния:

ψ 0 = Aexp(

mω

x2 ) , где А

2!

 

 

 

 

постоянная, находимая из дополнительных условий.

• Атом водорода. Атом водорода содержит один протон и один электрон, находящийся в электрическом поле протона, что позволяет получить точное решение уравнения Шредингера и полностью описать состояния электрона. Представленное ниже решение получено в сферической системе координат, оно дает волновую функцию как произведений двух функций, первая из которых описывает зависимость от радиус-вектора r, вторая – угловую от полярного (отсчитывается от оси z) и азимутального углов θ и ϕ соответственно: ψ nlm = Rnl(r)Ylm(θ ,ϕ ), где R - радиальная часть, Y - шаровая гармоника, n, l, m - главное, азимутальное и магнитное квантовые числа соответственно. Волновая функция s-состояния, в

котором n = 1, l = 0, m = 0, имеет вид ψ

100

=

1

(

1

)

3 / 2

exp(

r

) , где

π

a0

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

=

4πε

0

!

= 0,53 нм – первый боровский радиус, а r - расстояние от

 

 

 

e

2

m

 

 

 

 

ядра. Энергия электронного состояния с главным квантовым числом

n:

En = −

 

me4

. Следует особо отметить, что энергия не

32π

2ε

0

2

!2 n2

 

 

 

зависит от квантовых чисел l и m. Такие состояния носят название «вырожденных».

Примеры решения задач

24-1. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины l, расположенной вдоль оси х. Потенциальная энергия U частицы: U = 0 при 0 < x < l , U = ∞ для других координат. Найти волновую функцию и вероятность нахождения частицы в основном состоянии в малых областях пространства ∆ l = 0,01 l вблизи стенки и в средней части ямы.

Запишем уравнение Шредингера

2ψ +

2m(E U )

ψ

=

0 для частицы

 

 

 

 

 

 

 

 

!2

 

 

 

 

 

в

яме, учтя, что

в пределах ямы

U =

0:

2ψ

+

k 2ψ

= 0 . Введено

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

обозначение k2 =

2mE

. Общее решение этого уравнения имеет вид:

2

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ

= Asin(kx + α ) , где А и α - постоянные. Волновая функция должна

удовлетворять условию непрерывности. Поскольку вне ямы частицы нет, то в этих областях пространства ψ = 0, что приводит к условию на границах ямы: ψ (0) = ψ (l) = 0.

Первое уравнение дает α = 0, из второго получаем Аsin(k l) = 0, откуда k l = ± nπ , где n = 1, 2, 3, … Постоянная А может быть найдена из условия нормировки волновой функции, достоверно находящейся в

яме: l

ψψ

*dx = A2 l

sin 2

nπ x

=

1. После вычисления интеграла

l

0

 

0

 

 

 

приходим к уравнению

A2

l

=

1, откуда A =

2 .

Для основного

 

 

2

 

 

l

 

 

 

(n = 1) состояния волновая функция принимает вид: ψ

=

2 sin π

x .

 

 

 

 

 

 

 

l

l

При расчете искомых вероятностей учтем малость заданного интервала 0,01l. Поскольку вблизи левого и правого краев ямы вероятности одинаковы, проведем рассмотрение только у левого края

х = 0. Для малых х: ψ

=

2 sin

π

x

2

π

x

. В центре ямы для х l/2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

l

 

l

 

l

 

 

ψ =

2

sin

π

x

 

2

sin

π

(l / 2)

=

 

2

 

 

 

 

 

l

l

 

l

 

l

 

l .

 

 

Используем

полученные

приближения волновой функции для вычисления искомых вероятностей.

 

0,01l

 

2

0,01l

 

 

 

2

 

 

У края ямы

P1 =

ψψ

*dx =

(π x)2 dx =

 

2π

 

(0,01l)3 = 6,6 106 .

 

l

 

3

 

 

 

0

 

 

0

l

 

 

 

3l

 

 

 

 

 

(l+

0,01l ) / 2

 

2

(l+

0,01l ) / 2

Вблизи центра ямы P2 =

 

ψψ

*dx =

 

1

dx = 0,02 .

 

l (l

 

 

 

(l

0,01l) / 2

 

0,01l) / 2

Ответ: ψ =

2 sin

π x

, Р1 = 6,610-6, Р2 = 0,02.

 

 

 

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24-2. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l. Потенциальная энергия U частицы: U = 0 при 0 < x < l , U = ∞ для других координат. Состояние частицы

описывает волновая функция ψ = Asin 2 π lx . Найти вероятность

пребывания частицы в основном состоянии, а также среднюю энергию в этом состоянии.

• Постоянную А находим из условия нормировки:

l

 

 

 

l

 

 

 

3x

 

sin 2x

 

sin 4x

 

 

l0 =

 

3l

 

 

ψψ

*

dx = A2 sin4 xdx = A2 (

+

)

 

A2

=

1, откуда

 

 

 

 

 

 

8

 

4

 

32

 

8

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

8

и ψ

=

8

sin 2 π

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3l

 

 

3l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волновая функция ψ не является собственной функцией частицы в потенциальной яме, поэтому не описывает состояние с определенной энергией. Такое состояние следует рассматривать как суперпозицию

собственных состояний, входящих в существующее с некоторым весом. Функцию ψ можно представить в виде разложения

ψ = Cnψ n по собственным волновым функциям ψ n =

2 sin nπ x .

n

l

l

Квадраты модулей коэффициентов разложения будут вероятностями Pn нахождения частицы в состояниях с соответствующими энергиями:

Pn =

 

Cn

 

 

2 =

 

ψ

n*ψ dx

 

2

. Для n = 1 (основного состояния) получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2562 .

P1 =

(

 

8

2

sin3 π x dx)2 = (

4

 

l (cos3 x

cos x))2

l0 )2 =

 

 

 

 

3l

l

0

l

 

 

l

3

π

 

 

 

 

27π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с волновой функцией ψ

Среднюю

энергию

частицы

в

состоянии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим

согласно

 

 

общему

 

выражению:

E =

ψ *Hψ dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Гамильтониан частицы в потенциальной яме (U = 0):

Отсюда

l

* "

!2

l

 

4

sin

2 π x

 

d 2

(sin

2 π x

E = ψ

Hψ dx = −

2m

l

3

l

dx

2

l

0

 

0

 

 

 

 

"

!2 d 2

H = −

 

 

 

.

2m

dx2

)dx =

 

 

 

 

=

!2

2π

2 2

4

 

l

sin 2 π

x cos 2π x dx

=

 

 

 

2m

l

l

3

0

 

 

 

l

 

l

 

 

 

=

4!2π 2

l

 

2

π x

sin

4 π x

)dx =

π 2 !2

 

l

3

3

(sin

 

l

 

l

 

3ml

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: P1 = 256/27π

2 ;

E =

π

 

2!2

 

3 ml2

 

 

 

24-3. Считая

известной

 

волновую

функцию

основного состояния

гармонического осциллятора, определить энергию этого состояния Е0.

Волновая

функция имеет вид ψ =

Aexp(ax2 ) , где a =

mω

.

 

 

 

 

 

 

 

 

ψ '= − 2Aaxexp(ax2 )

2!

 

Вычислим

две

первые

производные

и

ψ

''= − 2Aa(12ax2 )exp(ax2 ) , а затем подставим их в уравнение

Шредингера:

2a + 4a2 x2 +

 

2m

(E0 U ) =

0 . Чтобы определить

Е0,

 

2

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

воспользуемся условием минимума потенциальной энергии частицы

U(0) = 0 при x = 0:

2a +

2mE

=

0

 

E

=

a!2

=

!ω

 

!2

, откуда

m

2 .

 

 

 

 

0

 

 

Ответ: E0 =

!ω

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24-4. В атоме водорода электрон находится в основном состоянии. Зная волновую функцию ψ 100 электрона, определить его среднее

расстояние до ядра.

 

 

 

 

 

 

"

 

• Уравнение Шредингера для атома водорода

= Eψ включает в

Hψ

 

"

!

2

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

себя гамильтониан вида

H = −

 

∆ +

 

, в

котором учтено

2m

4πε 0 r

 

 

 

 

 

электрическое взаимодействие электрона и ядра - протона. Общее решение этого уравнения в сферических координатах более чем громоздко, поэтому воспользуемся частным случаем основного состояния: ψ 100 = C exp(r / a0 ) , где С - постоянная, а0 – первый

боровский радиус. Постоянную С можно найти из условия нормировки по пространству, которое занимает электрон:

ψ 100ψ 1*00dV = 1. Интегрирование производится по пространству,

поэтому

 

dV =

 

4π r 2 dr - элемент объема в сферических координатах.

Подстановка

 

 

 

волновой

функции

приводит

к

интегралу

 

 

 

 

2r

 

 

 

 

 

 

4π C2 r2 exp(

 

)dr =

1, который сводится к табличному интегралу

 

 

0

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вида xn exp(x) = n!

для n = 2. Решением полученного уравнения

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

будет C

=

π

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

a3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Для определения среднего расстояния электрона до ядра необходимо

 

 

 

* "

воспользоваться общей операцией усреднения: r = ψ

rψ dV .

Учитывая, что волновая функция ψ 100 вещественна, а применение

оператора координаты к волновой функции дает простое умножение ее на координату, получим:

 

2r

 

4

3!

 

 

 

3a

 

 

 

r

= rψ 1200 4π

r 2 dr = 4π r3 exp(

)dr =

a0

4

=

0

.

Интеграл

 

 

 

 

 

 

 

a0

3

2

4

 

4

 

0

0

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

вычислен с помощью приведенного выше табличного интеграла для n = 3.

"

=

3a0

 

Ответ: r

 

.

4

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

24-5. В одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l находится частица в состоянии с волновой функцией ψ = Ax(l x) . Определить вероятность ее пребывания в первом состоянии и соответствующую среднюю энергию.

Ответ: P1 = 960/π 6, E = 5!2 .

ml2

24-6. Вычислить средние значения координаты и квадрата координаты для частицы, находящейся в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l.

Ответ: x = l / 2π , x2 = l2 /12 .

24-7. Найти собственные функции и собственные значения оператора проекции момента импульса на ось z в сферических координатах.

Оператор имеет вид M z =

 

i!

, где ϕ

- азимутальный угол.

 

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ψ

=

1

exp( im

ϕ

) , Mz = m!, где m = 0, 1, 2, …

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24-8.

Определить

 

возможные

собственные

значения

оператора проекции момента импульса Mz и их вероятности для

системы, находящейся в состоянии с волновой функцией ψ

= Asin2 ϕ ,

где ϕ - азимутальный угол. (Необходимо разложить

волновую

функцию по собственным функциям оператора Мz, используя комплексное представление тригонометрических функций.)

Ответ: Mz = 0, ± 2 ! , P0 = 2/3 , P± 2 = 1/6.

24-9. В момент времени t = 0 волновая функция частицы имеет вид

ψ ( x ) =

A exp(

x 2 / 2 a 2 ik 0 x ) . Найти средние значения

координаты и импульса частицы.

Ответ:

x = 0 , p =

!k0 .

24-10. Частица массой m находится в основном состоянии в потенциальном поле U(x) = k x2/2. Ее волновая функция

ψ = A exp( α

x 2 ) . Найти энергию частицы.

Ответ: E =

!

k .

 

2

m

Контрольные задачи

24-11. Электрон находится на третьем уровне в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. При переходе на первый уровень длина волны излучения составляет λ . Определить ширину ямы.

24-12. Определить собственные значения оператора Mz и их вероятности для системы, находящейся в состоянии с волновой функцией ψ = A(1+ sin ϕ ) , где ϕ - азимутальный угол.

24-13. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии. Найти средний квадрат расстояния электрона от ядра.

24-14. Вычислить средние значения координаты и квадрата координаты для основного состояния гармонического осциллятора.