Kursovik_ed

функций Бесселя (Qmn), а для магнитных – через корни производных функций Бесселя (Fmn):

k E	νmn	; k H	χmn	, m 0;1;2;..., n 1;2;3;...
	a
t		t	a

Значения первых корней функций Бесселя и их производных приведены в табл. 1 и 2.

Таблица 1. Корни функций Бесселя (Qmn)

Номер корня (n)	m = 0	m = 1	m = 2
1	2.405	3.832	5.135
2	5.520	7.016	8.417
3	8.654	10.173	11.620
Таблица 2. Корни производных функций Бесселя (Fmn)
Номер корня (n)	m = 0	m = 1	m = 2
1	3.832	1.840	3.054
2	7.016	5.335	6.705
3	10.174	8.536	9.965

Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение соб-

ственных мод круглого волновода. Индекс m входит в качестве постоянного коэффициента в аргументы функций cos(mM) и sin(mM), определяющих зависимость составляющих векторов Е и H собственных волн волновода от пространственной переменной M. Для выяснения общих закономерностей, определяющих зависимость этих составляющих от величины коэффициента m, достаточно рассмотреть одну из этих функций, например, cos(mM).

При m = 0 имеем cos(0 M)=1 и рассматриваемая составляющая не зависит от угла M (силовые линии соответствующего вектора представляют собой окружности).

При m = 1 зависимость от угла M определяется функцией cos M. В этом случае во всех точках диаметра M = r (S/2) рассматриваемая составляющая будет равна нулю. Следовательно, во всех точках диаметра M = r (S/2) будут находиться узлы (нулевые значения) этой составляющей. Поэтому данный диаметр называют «узловым». При m = 2 зависимость рассматриваемой составляющей от пространственной переменной M определяется функцией

11

cos 2M и узловых диаметров будет два (M = r (S/4), M = r (3S/4)), при m = 3 – три и т.д.

Таким образом, индекс m определяет число узловых диаметров составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода и показывает какое количество узлов этих составляющих укладывается на половине окружности в поперечном сечении волновода.

Индекс n опосредованно входит в аргументы функций Бесселя и их первых производных, которые определяют зависимость составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода от пространственной переменной r. Величина n дает информацию о числе корней этих функций, приходящихся на диапазон изменения переменной r от 0 до a.

Следовательно, величина n определяет число узлов (нулевых значений) составляющих векторов E и H, укладывающихся вдоль радиуса волновода.

При n = 1 узлы рассматриваемой составляющей будут находиться непосредственно на стенке волновода, поэтому величина (n – 1) будет определять количество «узловых окружностей» составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода (окружностей, расположенных на плоскости поперечного сечения волновода, в каждой точке которых рассматриваемые составляющие равны нулю).

Рекомендации по графическому построению силовых линий векторов E и H в поперечном сечении круглого волновода. Знакомство с уз-

ловыми диаметрами и узловыми окружностями позволяет принять следующий порядок действий при построении картины силовых линий векторов E и H:

в соответствии со значениями индексов m и n в поперечном сечении волновода наносятся контуры узловых диаметров и узловых окружностей;

вдоль полученных «направляющих» наносятся силовые линии того вектора, который для данной собственной волны имеет только поперечные составляющие;

перпендикулярно полученным силовым линиям «поперечного» вектора наносятся силовые линии другого вектора, не являющегося для данной собственной волны чисто поперечным;

12

если силовые линии вектора E выходят из стенок волновода или входят в них, то на границе раздела они должны быть перпендикулярны этим стенкам;

если силовые линии вектора H проходят вблизи стенок волновода, то на границе раздела они должны быть параллельны этим стенкам.

Рис. 6. Силовые линии векторов E и H для некоторых типов волн

1.3. Распространение электромагнитной волны в коаксиальном волноводе

Коаксиальная линия передачи состоит из круглого цилиндрического стержня, соосного с круглой цилиндрической оболочкой (рис. 3). Электромагнитные волны распространяются в пространстве между наружным и внутренним проводниками, заполненном диэлектриком. Радиус наружного проводника обозначим как a, внутреннего – b (см. рис. 8). При анализе волн распространяющихся внутри этой волноводной структуры, как и в случае круглого волновода, удобно использовать цилиндрическую систему координат, ввиду её аксиальной симметрии.

13

φ

r

2b

2a

Рис. 8. Поперечное сечение коаксиальной линии.

Так как коаксиальный волновод является двухсвязной линией передачи, в нем наряду с Е- и Н-волнами возможно распространение Т-волны. Т- мода является волной бездисперсионного типа, для которой λкр = ∞ и λв = λ0. Составляющие векторов поля Т-волны в коаксиальной линии имеют следующий вид:

E	A	e iEz
r	r
EM	Ez			0		(18)
HM			H0Hr				A	e iEz
			P0Pr r
Hr	Hz			0

Исходные выражения для компонент полей дисперсионного типа (Е- волны, Н-волны) в коаксиальной линии передачи совпадают с выражениями для круглого волновода. Общие выражения для составляющих векторов E и H магнитных волн имеют вид:

14

Er

1

iZP0Pr

wHz

wM

kt2 r

EM

iZP0Pr

wHz

kt2

wr

Hr

iEH

wHz

(19)

ktH 2

wr

HM

iEH

1 wHz

ktH 2

r

wM

Ez 0

Общие выражения для составляющих векторов E и H электрических

волн:

Er

iEE wEz

ktE 2

wr

EM

iEE

1 wHz

ktE 2

r

wM

Hr

1

iZH0Hr

wEz

(20)

ktE 2

r

wM

HM

1

iZH0Hr wEz

ktE

wr

2

Hz 0

Однако в отличии от круглого волновода, рассмотренного в предыдущем разделе, область r d b, содержащая точку r = 0, из рассмотрения исключается, так как она занята внутренним проводником. Поэтому решением уравнения (12) в виде (13), определяющем продольные составляющие Hz и Ez, следует искать в виде:

Hz	ª	H		H		º		iEH z
	«AmJm kt			r BmNm kt		a »cos(mM)e
	¬					¼		(21)
	ª	E		E		º
Ez							iEE z
	«AmJm kt		r BmNm kt		a »cos(mM)e
	¬					¼
				15

где m = 0, 1, 2, 3, …

В случае магнитных волн граничные условия на идеально проводящих поверхностях коаксиальной линии имеют вид:

wHz

r a;b

0 .

(22)

wr

Подставляя выражение для Hz из (21) в уравнение (22) получим систе-

му уравнений:

a 0;

c

H

c

H

AmJm

kt

a BmNm kt

(23)

c

H

c

H

b 0.

AmJm

kt

b BmNm kt

Отсюда следует, что:

a

b

c

H

c

H

Nm

kt

Nm

kt

, m = 0, 1, 2, …

(24)

c

H

a

c

H

b

Jm kt

Jm kt

В случае электрических волн граничные условия на идеально проводящих поверхностях коаксиальной линии принимают вид:

Ez

r a;b 0

(25)

где a и b – радиусы внешнего и внутреннего проводников (см. рис. 8). Откуда следует, что:

AmJm ktEa BmNm ktEa 0;

	AmJm ktEb BmNm ktEb 0.				(26)
или
	Nm ktEa		Nm ktEb	, m = 0, 1, 2, …	(27)
	Jm ktEa		Jm ktEb

Для расчета поперечных составляющих электромагнитного поля в коаксиальной линии необходимо решить уравнение (24) или (27) в зависимости от типа поля. Решением данных уравнений является поперечное волновое число kt. Известно, что при каждом значении m эти уравнения имеют бесчисленное множество корней. Следовательно, в коаксиальной линии может существовать бесчисленное множество дисперсионных типов волн, определяемых величиной m и порядковым номером n корня соответствующего уравнения (волны Еmn, Нmn).

16

Уравнения (24) и (27) решаются численным методом. Эти уравнения достаточно хорошо изучены и значения их корней можно найти в справочной литературе. Некоторые их значения приведены в табл. 1 и 2.

В случае полей Еmn поперечное волновое число определяется как:

k E |	Sn	, n = 1; 2; 3; …	(28)
t	a b

Отсюда видно, что значения критических частот зависят от разности (a b). Если разность (a b) мала, то критические частоты полей будут весьма высокими. На практике размеры поперечного сечения коаксиальной линии выбираются так, что поля Еmn оказываются сильно затухающими.

Поперечное волновое число Hm1 типа поля может быть определено

как:

k H |		2m	, m = 1; 2; 3;…		(29)
t		a b
А для Нmn типа поля:
k H |	S (n 1)			, n = 2; 3; 4;…	(30)
t		a b

1.4. Глубина проникновения электромагнитного поля в проводник

Рассмотрим случай, когда электромагнитная волна падает на поверхность, образованную неидеальным проводником, характеризующимся конечным значением удельной проводимости (рис. 9).

вакуум ме

EW1HW1	EW 2 HW 2

Рис. 9. Падение электромагнитной волны со стороны вакуума на неидеальный металл.

17

Электромагнитная волна может проникать на небольшую глубину в проводник и быстро в нем затухает. На глубине l = GCK амплитуда напря-

женности поля затухает в е раз. Параметр GCK принято называть скиновой глубиной, или глубиной проникновения волны в проводник. Толщина скинслоя является функцией частоты:

	GCK			2		.	(31)
				ZP0V
	В табл. 3 приведены значения удельной проводимости некоторых ме-
	таллов.
	Таблица 3. Удельная проводимость некоторых материалов
	Материал						V, 1/(Ом м)
	Ag						6.25 107
	Cu						5.72 107
	Au						3.57 107
	Al						2.62 107

2.Задание

Всоответствии с вариантом задания (табл. 4):

2.1.Рассчитайте размеры волновода для заданного типа электромагнитного поля с учетом заданного диапазона рабочих частот волновода с воздушным заполнением.

2.2.Постройте силовые линии векторов заданного типа электромагнитного поля и силовые линии токов в поперечном и продольном сечениях волновода.

2.3.Исследуйте спектр мод, распространяющихся в волноводе рассчитанного размера с воздушным заполнением в заданном диапазоне рабочих частот. Рассчитайте критические частоты мод, распространяющихся в волноводе в диапазоне рабочих частот. Постройте на одном графике дисперсион-

ные кривые (в координатах Бриллюэна (Z E)) для всех мод, попадающих в диапазон рабочих частот.

2.4. Исследуйте влияние материала диэлектрического заполнения волновода на его волновое сопротивление. Рассчитайте и постройте частотную

18

зависимость волнового сопротивления волновода для заданного типа поля и заданного диэлектрика.

2.5.Исследуйте влияние диэлектрического заполнения на фазовую скорость и длину волны в волноводе, пренебрегая потерями в стенках волновода. Постройте на одном графике зависимость фазовой скорости волны от частоты в волноводе с воздушным заполнением и с заданным диэлектрическим материалом. Постройте аналогичные графики зависимости длины волны в волноводе от длины волны в вакууме.

2.6.Исследуйте проникновение поля в стенки волновода. Постройте на одном графике частотные зависимости толщины скин-слоя для двух заданных материалов покрытия стенок волновода.

Таблица 4. Варианты заданий к курсовой работе

			Диапазон ра-		Материал по-
Вариант	Тип волновода	Тип поля	бочих частот,	Диэлектрик	крытия стенок
			ГГц		волновода
1	Круглый	E11	1-15	LaAlO3	Ag, Au
2	Круглый	H11	2-12	поликор	Au, Cu
3	Круглый	E01	0.5-10	MgO	Al, Cu
4	Круглый	H01	30-40	сапфир	Ag, Cu
5	Круглый	E02	2-10	LaAlO3	Al, Ag
6	Круглый	H02	1-10	поликор	Au, Cu
7	Круглый	E12	20-30	MgO	Al, Au
8	Круглый	E21	6-12	сапфир	Ag, Au
9	Круглый	H12	4-16	LaAlO3	Au, Cu
10	Круглый	H21	15-25	поликор	Al, Cu
11	Прямоугольный	H20	5-15	MgO	Ag, Cu
12	Прямоугольный	E12	1-15	сапфир	Al, Ag
13	Прямоугольный	H03	2-12	LaAlO3	Au, Cu
14	Прямоугольный	E21	0.5-10	поликор	Al, Au
15	Прямоугольный	H12	30-40	MgO	Ag, Au
16	Прямоугольный	H21	2-10	сапфир	Au, Cu
17	Прямоугольный	H22	1-10	LaAlO3	Al, Cu
18	Коаксиальный	E01	20-30	поликор	Ag, Cu
19	Коаксиальный	H11	6-12	MgO	Al, Ag

19

3. Содержание отчета

3.1.Результаты расчета размеров поперечного сечения направляющей системы с точностью до 0.1 мм.

3.2.Распределение силовых линий электромагнитного поля и токов в поперечном и продольном сечениях направляющей системы.

3.3.Дисперсионные кривые в координатах Бриллюэна (Z E) для всех мод, распространяющихся в волноводе с воздушным заполнением в диапазоне рабочих частот, размер которого рассчитан в п. 3.1.

3.4.График частотной зависимости волнового сопротивления волновода с идеально проводящими стенками с воздушным заполнением и с диэлектриком для заданного типа поля.

3.5.График зависимостей фазовой скорости волны от частоты в структуре с воздушным заполнением и с заданным диэлектрическим материалом. График зависимости длины волны в структуре от длины волны в вакууме для структуры с воздушным заполнением и с заданным диэлектрическим материалом.

3.6.График частотной зависимости глубины проникновения электромагнитного поля в стенки волновода с заданными покрытиями.

3.7.Выводы.

20