Тест 1 / 105 зак. сохр

105 законы сохранения.

№1

Решение: Имеем равенство масс, скоростей, радиусов однородного шара и полой сферы . Сравним моменты инерции тел, обозначив их у шара , у полой сферы – .Момент инерции I – величина, характеризующая распределение массы тела относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Вся масса полой сферы находится на расстоянии  от оси вращения, а у шара распределена равномерно вдоль радиуса сферы. Тогда <, следовательно, . Значит, полая сфера поднимется на горку выше, чем однородный шар.

Ответ: 3

№2.

Решение: Момент инерции полого цилиндра, момент инерции сплошного цилиндра У основания горки больше скорость сплошного цилиндра. Но если скорость больше, то и ускорение центра масс сплошного цилиндра больше (поскольку из кинематики известно, что, гдеl – длина горки). Поэтому для преодоления горки сплошному цилиндру потребуется меньше времени.

Ответ: 3

№3.

Решение: Кинетическая энергия твердого тела есть кинетическая энергия перемещения центра масс + энергия вращения вокруг центра масс (теорема Кенига) Так как тела катятся без проскальзывания, скорость их центра масс связана с угловой скоростью вращения простым соотношением v = ωR. Тела скатываются с одинаковой высоты и имеют одинаковую кинетическую энергию, отсюда Так как момент инерции J у полого шара больше, чем у сплошного, его скорость будет меньше, чем у сплошного.

Ответ: 1

№4.

Решение: Потенциальная энергия Eп = mgh у основания горки полностью перейдет в кинетическую энергию Eк , причем кинетическая энергия и шара, и сферы равны между собой: Eкш = Ексф = mgh . Но кинетическая энергия этих тел состоит из энергии вращательного и поступательного

mυ ² J ω ²

движения Eк = ____ + ____ . Здесь J – момент инерции тела. Когда нет

2 2

проскальзывания то то υ = ω R , R – радиус шара (и полой сферы).

mυ² Jυ ² 2 R ² mgh

mgh =_____ + __2____ . Выразим скорость тела у основания горки: υ = ________ .

2 2R mR ² + J

Все величины, входящие в это выражение, кроме J, одинаковы и для шара, и для сферы. J сф > J ш , т.к. вся масса m распределена на периферии

2mR ² 2mR ²

( Jш =_____ , J сф =_____ ). Следовательно, числитель в выражении для скорости

5 3

шара будет больше, чем для сферы.

Поэтому скорость сферы будет меньше и быстрее скатится шар.

Ответ: 1

№5.

Решение: Момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. 

По закону сохранения момента импульса получим: I1 ω1= I2 ω2 .Известно, что I = m·R2.Тогда получим:

mR12ω1 = mR22ω2. Отсюда: ω2=R12ω1/R22= ω1·(R1/ R2)2 . Так как по условию задачи R2 = 1\3R1 , то ω2 =9 ω1 .

Ответ:4

№6

Решение: Момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. 

По закону сохранения момента импульса получим: I1 ω1= I2 ω2 .Известно, что I = m·R2.Тогда получим:

mR12ω1 = mR22ω2. Отсюда: ω2=R12ω1/R22= ω1·(R1/ R2)2 . Так как по условию задачи R2 = 3R1 , то ω2 =1\9 ω1 .

Ответ:1

№7.

Решение: Момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. 

По закону сохранения момента импульса получим: I1 ω1= I2 ω2 .Известно, что I = m·R2.Тогда получим:

mR12ω1 = mR22ω2. Отсюда: ω2=R12ω1/R22= ω1·(R1/ R2)2 . Так как по условию задачи R2 = 2\3R1 , то ω2 =9\4 ω1 .

Ответ:2

№8.

Решение: Момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. 

По закону сохранения момента импульса получим: I1 ω1= I2 ω2 .Известно, что I = m·R2.Тогда получим:

mR12ω1 = mR22ω2. Отсюда: ω2=R12ω1/R22= ω1·(R1/ R2)2 . Так как по условию задачи R2 = 1\2R1 , то ω2 =4 ω1 .

Ответ:1

№9.

Решение: момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. Момент импульса твердого тела равен произведению момента инерции тела на угловую скорость: L = I ω, поэтому по закону сохранения момента импульса получим: I1 ω1= I2 ω2 . Шайбу можно рассматривать как материальную точку, момент инерции которой равен произведению массы на квадрат её расстояния до оси вращения: I = m·R2.Тогда получим:

mR12ω1 = mR22ω2. Отсюда: ω2=R12ω1/R22= ω1·(R1/ R2)2 . Так как по условию задачи R2 = 2R1 , то ω2 = ω1 /4.

Ответ:3

№10.

Решение: Момент импульса шайбы до перемещения равен моменту импульса шайбы после перемещения: L1 = L2. 

По закону сохранения момента импульса получим: I1 ω1= I2 ω2 .Известно, что I = m·R2.Тогда получим:

mR12ω1 = mR22ω2. Отсюда: ω2=R12ω1/R22= ω1·(R1/ R2)2 . Так как по условию задачи R2 = 3\2R1 , то ω2 =4\9 ω1 .

Ответ:3

№11

Решение: Учтём, что в начале движения поступательное и вращательное движения цилиндра отсутствуют, то естьυ_с0²=0, ω_с0²=0:. Угловая скорость относительно оси вращения, проходящей через центр масс цилиндра, и скорость центра масс цилиндра связаны соотношением. После подстановки имеем:, откуда модуль скорости центра масс цилиндра у основания горки равен:. Момент инерции полого цилиндра, момент инерции сплошного цилиндра

В итоге с учётом условия, что массы, начальные скорости и радиусы цилиндров совпадают:.

В итоге V_полый < V_{сплошной} т. е. больше скорость сплошного цилиндра.

Ответ:3