О полной величине кинетической энергии системы

Добавил:

Substantia substantiasubstance.wordpress.com Электромеханика, теория автоматического регулирования, теоретическая механика, математика пространственных процессов Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

работе [1](стр. 39) в следующем виде:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2019

Размер:

190.23 Кб

Скачать

☆

О ПОЛНОЙ ВЕЛИЧИНЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Функция радиус-вектора точки имеет вид:

где Ñ — направляющий вектор.

	Ñ
Ñ =		(1)

С учётом того, что производная направляющего вектора есть ортогональный ему вектор его же

угловой скорости

, следует, что производная функция (1)Ñравна:

= Ñ

(2)

где:

— вектор угловой скорости

вращения направляющего вектора относительно

;

вектора

;

—

направляющего вектора

— вектор нормальной скорости точки на конце радиус-

скорости точки на конце радиус-вектора

вектор тангенциальной

Таким образом, точка на конце радиус-вектора

приобретает нормальную скорость

, а

радиус-вектор

вращения

вместе с точкой на его конце приобретает угловую скорость

относительно направляющего вектора

, причём направляющие векторы

ортогональны относительно

друг друга:

(1) равна:

Вторая

производная радиус-вектора

Ñ–Ñ

(

)

Ñ+

= Ñ

+Ñ

+ Ñ+Ñ

(3)

После преобразования вторая производная (3) приобретает вид:

+ Ñ

Ñ =

(4)

где:

— ускорение прецессии;

— ускорение тангенциальное;

— ускорение Кориолиса;

Ñ — ускорение нормальное.

Для исследования состояний движения замкнутой системы в пространстве, состоящей,например, из

двух физических точек, функции их скоростей, в соответствии с (2), представим в виде:
																																								1
																																										Ñ					=			Ñ					1							1					+			Ñ				1																																					(5)
																																																		1					1							1								1				1																																					(5)
																																																		Ñ																				Ñ
																																										Ñ								Ñ																				Ñ
																																								2										2					2							2								2				2																																					(6)
																																																		2					2							2								2				2																																					(6)

	Скалярные и векторные произведения																																									этих функций имеют вид:
	Скалярные и векторные произведения																																														=																				+
		=	Ñ			Ñ			=		‰															+								Ž		‰																					+												Ž		=
															1				1													1									2							2						2							2							2
															1				1					1					1			1									2							2						2							2							2
																																			+																															+																						+															=
							=																												+																															+																						+															=
										1		Ñ															Ñ					2							Ñ					1							2						2			Ñ			2								1				1											2															2
		=								1					1 1 2														2			2						1						1							2						2						2		) +						1				1				1 2							2					1			1 2							2						(Ñ	ÂÑ		)
		=															cos			(Ñ				ÂÑ					) +		1																			cos					(Ñ ÂÑ										) +																		cos				(Ñ			ÂÑ			) +												cos		(Ñ	ÂÑ		)	(7)
					1									2			cos			1						2					1															2				cos								1						2									1				1				2Ñ		cos								2											2			cos		1		2		(7)
			1		1		Ñ		Ñ2					2								Ñ														Ñ 2										2			Ñ									1						2					Ñ				1				1				2Ñ								1Ñ							Ñ1						2
		=	Ñ	×			Ñ			=	‰1																+2								Ž	×				‰																	2+						2								Ž	=
			1		2
																																																																												1
																1									1					1			1										2													2							2
																			×														+												×																					+														×									+							×										=
					=														×														+												×																					+														×									+							×										=
								1					Ñ					1					2					Ñ			2						1														2																				1								1				2					2				1			1									2
								1					Ñ					1		=			2					Ñ			2						1				Ñ1										2		+								Ñ										1								1	+			2					2				1			1				2					2		×Ñ
							Ñ													=			ÑÑ				×Ñ																										+				ÑÑ				×Ñ																			+		ÑÑ		×Ñ																+ ÑÑ						×Ñ					(8)
																									1 2							1												2															1			2																2							2										1		2							1		2		1		2	(8)
																					Ñ				1 2							1			Ñ		1							2					Ñ			2							1			2							Ñ1					2				2				Ñ 1			2						Ñ1				1			Ñ						1		2		1		2

В итоге сумма скалярного (7) и векторного (8) произведений представляет собой функцию не действительных, а сумму четырёх комплексных величин:

=	+	= [	Ñ		Ñ	) +	ÑÑ	×Ñ		1		2							+ 1	2	2
			(	1	Â 2		1	cos					1				2
			cos					2	Ñ	1				2
												Ñ		ÑÑ ×Ñ				1		1	2	+
							+ [ cos( 1				Â 2) +			1		2
							+ [			Â					1	2					+
								(Ñ Ñ ) + ÑÑ ×Ñ

+ )	cos	(Ñ Ñ	) + ÑÑ	×Ñ	1		2	(9)
	cos	1Â 2	1	2	1		2	(9)

Комплексная функция (9) получена в результате использования абсолютного дифференциального исчисления1.

А поскольку мы исследуем комплексную функцию, описывающую общее состояние движения замкнутой системы, состоящей из двух идентичных физических точек в пространстве относительно друг друга, то естественно полагать, что однородные физические величины равны друг другу, а все направляющие векторы взаимно ортогональны, в результате чего все косинусы углов между ними равны нулю и в итоге (9) принимает вид:

		×Ñ2		2		2		×Ñ2								×Ñ2		2	(10)
Ñ = ÑÑ1							+ 2 ÑÑ1								+ ÑÑ1

А теперь, умножив обе части (10) на массу физической точки, получаем функцию полной кинетической энергии системы, но уже в несколько уточнённой форме, учитывающей составляющие кинетических энергий по направлениям распределения скоростей поступательного, вращательного и кориолисова движений физических точек в пространстве:

(11)

Ñ Σ

ÑÑ1×Ñ2

В результате

преобразований (11) получаем наиболее общий вид функции кинетической энергии

замкнутой системы:

Ñ2

(12)

Ñ1

Ñ2

Ñ1

Ñ1 Ñ2

энергия×вращательного×

движения;

где:

— кинетическая Ñ

риолисова движения;

— направляющий

2 — кинетическая энергия поступательного движения;

вектор, характеризующий векторное произведение векторов скоростей

вращательного движения физи-

ÑÑ

×Ñ

ческих точек; 1

2 — направляющий вектор, характеризующий векторное произведение векторов ско-

ростей

ÑÑ

×Ñ

— направляющий вектор,

поступательного и вращательного движения физических точек;

характеризующий векторное произведение векторов скоростей

поступательного движения физических

ÑÑ

×Ñ

точек.

Особый вид многовекторной функции (12) кинетической энергии замкнутой системы взаимодействующих физических точек позволяет объяснить, почему до сих пор энергию представляли только исключительно скалярной величиной без учёта тех взаимосвязанных её внутренних процессов, которые определяются не только скалярными величинами, но и направлениями возможных изменений скоростей поступательного, вращательного и кориолисова движения входящих в её состав масс этих физических точек.

Зависимость, аналогичная (12), но не в векторной форме записи, ранее уже была представлена в

Теорема Эйлера гласит: «Произвольное перемещение твёрдого тела вокруг неподвижной точки можно осуществить тремя последовательными вращениями тела вокруг трёх осей, проходящих через неподвижную точку», но только тогда будут наименьшими потери энергии при перемещении твёрдого тела относительно оси вращения, когда любая выбранная точка тела перемещается по кратчайшему пути,

1«Современная механика основывается на ряде закономерностей, установленных в форме, независимой от коор-

динатных систем, применяемых при получении и исследовании упомянутых закономерностей. Такая форма называется инвариантной. Математическим аппаратом, который позволяет находить основные соотношения механики в инвариантной форме, является тензорное, или абсолютное дифференциальное исчисление.» [Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. (Кинематика, статика, динамика точки). М., 1972, 456 стр. с илл. (стр. 25)]

лежащему в плоскости, к которой ось вращения перпендикулярна, и этой плоскости принадлежат неподвижная точка и начальное и конечное положения выбранной точки, что отражено теоремой Эйлера

— Даламбера, гласящей: «Произвольное перемещение твёрдого тела вокруг неподвижной точки можно осуществить одним поворотом вокруг соответствующим образом избранной оси вращения, проходящей через эту точку».

Список литературы

1.Й. Виттенбург. Динамика систем твёрдых тел. Перевод с английского В. Н. Рубановского, В. С. Сергеева и С. Я. Степанова под редакцией В. В. Румянцева: Издательство «Мир», Москва, 1980, 294 стр. с илл.

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
04.03.2019332.92 Кб5О нефундаментальности.pdf
#
04.03.2019190.23 Кб5О полной величине кинетической энергии системы.pdf
#
04.03.20192.37 Mб10Основные положения теоретической механики.pdf
#
04.03.2019170.32 Кб5Размерность сил и моментов.pdf
#
04.03.20191.63 Mб10Семь доказательств.pdf
#
04.03.2019129.83 Кб7Сила и момент - не являются векторными величинами.pdf