Подготовка к КР задачи
.docx1.Два датчика посылают сигналы в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06; от второго – 0,03.
а) Какова вероятность получить искаженный сигнал в общем канале связи?
б) В общем канале связи получен искаженный сигнал. Какова вероятность того, что этот сигнал послан вторым датчиком?
2. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
H1 –''сбой в арифметическом устройстве'' Н2 – ''сбой в оперативной памяти'' Н3 – '' сбой в остальных устройствах'' р(H1)+p(H2)+p(H3)=1 По условию р(H1):p(H2):p(H3)=3:2:5 Пусть р(H1)=3k, p(H2)=2k, p(H3)=5k 3k+2k+5k=1 k=0,1 Значит р(H1)=0,3, p(H2)=0,2, p(H3)=0,5 Событие А – ''возникший в машине сбой будет обнаружен'' р(А/H1)=0,8 р(А/H1)=0,9 р(А/H1)=0,9 р(А)=р(А/H1)·p(H1)+р(А/H2)·p(H2)+р(А/H3)·p(H3)= =0,8·0,3+0,9·0,2+0,9·0,5=0,24+0,18+0,45=0,87 О т в е т. 0,87
3.
А - событие, состоящее в том, что вынутый шар будет белым. Когда из I в II перекладывали шары, возможны три случая: 1) пусть H1 - это событие, состоящее в том, что оба шара белые: P(H1)=P(б*б) =2/5*1/4=2/20=1/10 P(A|H1)=3/7 2) пусть H2 - это событие, состоящее в том, что один белый, один черный: P(H2)=P(б*ч) =2/5*3/4=6/20=3/10 P(A|H2)=2/7 3) пусть H3 - это событие, состоящее в том, что оба шара черные: P(H3)=P(ч*ч) =3/5*2/4=6/20=3/10 P(A|H3)=1/7 Теперь по формуле полной вероятности: P(A)=P(H1)*P(A|H1)+P(H2)*P(A|H2)+P(H3)*P(A|H3)
P(A) = 1/10*3/7+ 3/10*2/7 + 3/10*1/7 = 0,17
4. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.
Вероятность того, что корреспондент не услышит радиста при первом вызове 1-0,2 = 0,8, при втором 1-0,3 = 0,7 - и третьим 1-0,4 = 0,6
Поскольку события независимы, то вероятность равна 0,8*0,7*0,6 = 0,336
А вероятность того, что корреспондент услышит радиста хотя бы один раз равна 1 -0,336 = 0,664
5. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А — все пассажиры выйдут на четвертом этаже; В — все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже); С— все пассажиры выйдут на разных этажах.
6. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется не менее 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.
9. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий: а) только одно отделение получит газеты вовремя; б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
4.В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из
строя в течение гарантийного срока для них соответственно равны 0,3;0,2 и 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока хотя бы одна радиолампа выйдет из строя?
Решение.
Обозначим через Ai событие, состоящее в том, что i –ая радиолампа выйдет из строя ( i = 1,2,3) . Известно, чтоP (A1) = 0,3 , P (A2 ) = 0,2 , P (A3 ) = 0,4 .
Событие B = A1 + A2 + A3 означает, что хотя бы одна радиолампа в течение гарантийного срока выйдет из строя. События A1, A2 , A3 совместны. Введем противоположное событие B/ − ни одна из трех радиоламп не выходит из строя: B/ = A1/ ⋅ A2/ ⋅ A3/ . События Ai /и Ai независимы друг от друга, поэтому P (B/) = P (A1/) ⋅P (A2/ ) ⋅P (A3 /) = (1−P (A1))(1−P (A2 ))(1−P (A3 )) = (1− 0,3)(1− 0,2)(1− 0,4) = 0,7 ⋅0,8 ⋅0,6 = 0,336.
P (B) + P (B/) = 1
P (B) = P (A1 + A2 + A3) = 1−P (B/) = 1−P (A1/)P (A2/)P (A3/) = 1− 0,336 = 0,664 .
Ответ. 0,664.
5. Пловца в команду принимают следующим образом. Сначала он должен проплыть 100 м за определенное время. Если справится, то 400 м за определенное время. Если и с этим справится, тогда километровую дистанцию за определенное время. Два спортсмена претендуют на место в команде, причем первый вовремя преодолевает соответствующие дистанции с вероятностями 0,7, 0,9 и 0,8, а второй – с вероятностями 0,9, 0,8 и 0,6 соответственно. Какова вероятность того, что в команду будет принят один из них.
Первого примут, если он пройдет все три дистанции.
а) P(1)=0,7*0,9*0,8=0,504.
И не примут с вероятностью Q(1)=1-P(1)=0,496
Второго примут с вер-тью P(2)=0,9*0,8*0,6=0,432.
И не примут с Q(2)=1-P(2)=0,568.
Их обоих не примут с вер-тью Q(3)=Q(1)*Q(2)=0,496*0,568=0,282
б) Примут хоть одного с вер-тью
P(3)=1-Q(3)=1-0,282=0,718
в) Примут обоих с вер-тью
P(4)=P(1)*P(2)=0,504*0,432=0,218
Вер-сть, что 1 примут, а 2 нет
p1=P(1)*Q(2)=0,504*0,568=0,286
Вер-сть, что 2 примут, а 1 нет
p2=P(2)*Q(1)=0,432*0,496=0,214
г) Вер-сть, что примут только одного
P(5)=p1+p2=0,286+0,214=0,5
6. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,4. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по три выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что приз получит первый стрелок.
Из тетради
1.Игрок А поочередно играет по две партии с игроками В и С. Вероятности выигрыша первой партии для Ви С равны 0.1 и 0.2 соответственно; вероятность выиграть во второй партии для В равна 0.3, для С равна 0.4. Определить вероятность того, что а) первым выиграет В; б) первым выиграет С
Всего играется 4 партии. Возможно несколько взаимоисключающих исходов: 1) В первой партии выиграет В (т. о. , В выиграет первым) ; 2) В первой партии выиграет А, во второй выиграет С (т. о. , С выиграет первым) ; 3) В первой и второй партиях выиграет А, в третьей выиграет В (т. о. , В выиграет первым) ; 4) В первой, второй и третьей партиях выиграет А, в четвертой выиграет С (т. о. , С выиграет первым) ; 5) Все партии выиграет А. Других исходов быть не может, т. е. сумма вероятностей исходов 1-5 равна единице. Вероятность того, что А выиграет в 1-ой партии Р1=1-0.1=0.9 Вероятность того, что А выиграет в 2-ой партии Р2=1-0.2=0.8 Вероятность того, что А выиграет в 3-ей партии Р3=1-0.3=0.7 Вероятность того, что А выиграет в 4-ой партии Р4=1-0.4=0.6 Выигрыш в каждой партии - событие независимое. Т. о. , по закону умножения вероятностей, - вероятность исхода 1: 0.1 (дано в условии) - вероятность исхода 2: 0.9*0.2=0.18 - вероятность исхода 3: 0.9*0.8*0.3=0.216 - вероятность исхода 4: 0.9*0.8*0.7*0.4=0.2016 - вероятность исхода 5: 0.9*0.8*0.7*0.6=0.3024 В сумме, как легко проверить, единица. Таким образом: вероятность того, что первым выиграет В - это сумма вероятностей исходов 1 и 3, а вероятность того, что первым выиграет С - это сумма вероятностей исходов 2 и 4. В случае исхода 5 не выиграет первым ни В, ни С. Находим для В: 0.1+0.216=0.316 Для С: 0.18+0.2016=0.3816.
2.Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 75 % небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.
Решение.
Пусть событие A={выбранное изделие небракованное}, событие B={небракованное изделие удовлетворяет требованиям первого сорта}, событие C={выбранное наудачу изделие первосортное}. Событие C предоставляет собой произведение событий A и B: C=AB. По условию Р(А) = 1-0,04 = 0,96, Р(В/А) = 0,75. Тогда по теореме умножения вероятностей (см. 2.1) искомая вероятность
Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А)= 0,96*0,75=0,72.