б) исследование структуры аттракторов климатических мо- делей;

в) развитие теории чувствительности климатических моделей (теоремы о линейном приближении для различных моментов, чис- ленное исследование линейной теории отклика на малые возмуще- ния, оптимальные возмущения, алгоритмы построения оператора отклика);

г) теорию управления диссипативными системами (управление климатом).

2.Климатические модели, в которых необходимо:

а) развитие параметризаций физических процессов (стохасти- ческие параметризации);

б) совершенствование совместных моделей атмосферы и океана; в) разработка региональных моделей климата и методов оценки последствий изменений климата для природной среды;

г) создание моделей средней и верхней атмосферы для решения задач, связанных с «космической погодой».

3.Численные методы и параллельные вычисления, требующие: а) разработки теории аппроксимации уравнений гидротермоди- намики на аттракторах (аппроксимация аттрактора как множества и

аппроксимация меры на нем); б) аппроксимации динамики климатической системы на ат-

тракторах; в) разработку схем с заданной группой симметрий;

г) построение и использование пространственно-временных адаптивных сеток;

д) разработку вычислительных технологий, ориентированных на массивно-параллельные вычислительные системы.

Решение перечисленных проблем позволяет надеяться на со- здание в будущем национальной экспертной системы, на базе ко- торой должны осуществляться оценки и научно обоснованные прогнозы колебаний и изменений климата как в глобальном, так и региональном масштабах. При этом МОЦАО должна правильно описывать отклик на малые внешние возмущения, так как использу- ется для прогноза (экстраполяции). В основу построения современ- ных МОЦАО положен ряд следующих принципов:

–.принимается, что локально справедливы уравнения класси- ческой равновесной термодинамики;

–.предполагается, что для описания динамики атмосферы и океана справедливы уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жид-

–поскольку в современных моделях в силу, главным образом, вычислительных возможностей, используются уравнения Рей- нольдса, осредненные по некоторым пространственным и времен- ным масштабам уравнения Навье-Стокса, то считается, что суще- ствует принципиальная возможность их замыкания;

–процедура замыкания предполагает, что эффекты процессов подсеточных масштабов (масштабов меньших, чем масштаб осред- нения) могут быть выражены через характеристики процессов крупных масштабов.

–для описания крупномасштабных процессов справедливо приближение гидростатики: вертикальный градиент давления урав-

новешивается силой тяжести, что требует допущения о постоянстве радиуса Земли или пренебрежения вертикальными составляющими Кориолиса для выполнения закона сохранения энергии.

Последнее допущение позволяет перейти к вертикальным ко- ординатам, связанным с давлением в связи с чем практически во всех моделях используется σ-координата (σ = p/ps, где p – атмос-

ферное давление на любой высоте, ps –давление у поверхности

земли).

К процессам подсеточных масштабов относятся:

1)перенос излучения (коротковолновой и длинноволновой ра- диации);

2)фазовые переходы влаги и процесс локального осадкообра- зования;

3) конвекция; 4)пограничные и внутренние турбулентные слои (некоторые

характеристики этих слоев описываются явно); 5) мелкомасштабная орография;

6)волновое сопротивление (взаимодействие мелкомасштаб- ных гравитационных волн с основным потоком);

7)мелкомасштабная диссипация и диффузия;

8)мелкомасштабные процессы в деятельном слое суши.

14.2. Основные уравнения МОЦАО

Уравнения для атмосферы

В основе климатических моделей лежат системы уравнений, отражающих основные физические законы сохранения: массы рас- сматриваемых субстанций, энергии, количества движения, его мо-

мента и другие. Существуют три основных блока уравнений для

атмосферы: уравнения движения, уравнения переноса радиации и уравнения переноса влаги и примесей. К уравнениям движения от- носятся следующие:

1) Уравнение неразрывности в сферической системе координат для тонкого жидкого слоя на сферической Земле, основанное на за- коне сохранения массы переносимой субстанции:

	r				1	v		v sin 0.
t		r
				sin					(14.1)
2) Уравнение		сохранения				массы		переносимой субстанции

(водяного пара, газовых примесей в атмосфере, солей и примесей в океане и т.д.):

		r								c
c	c		1	cv			cv sin			Q	,
t	r
			sin							(14.2)

где t – время; ρ – плотность; с – концентрация; r – радиус; θ = 90 – φ – дополнение до широты φ; λ – долгота; α – радиус Земли; v – состав- ляющие скорости; Qc – сумма интенсивностей источников

истоков примесей в единице объема.

3)Уравнения горизонтального движения жидкой среды в тон- ком сферическом слое на поверхности вращающейся Земли, кото- рые отражают законы сохранения количества движения среды по

широте (θ) и долготе (λ):							1 p F ,
	dv			v2	2 cos v				(14.3)
	c g
	dt
	dv	ctg v v 2 cos v					1 p	F ,	(14.4)
	dt

и в которых

pF

pF

d

v

v

,

(14.5)

dt

t vr r

sin

ctg

r

1

sin

,

(14.6)

r

sin

sin

ctg

r

1

,

(14.7)

r

sin

164

где F –горизонтальные составляющие силы трения, выраженные че- рез тензор напряжений трения {τji}; Ω – скорость вращения

	Земли.
	4) Уравнение статики:
	p	g		1 2 v sin / g		,	(14.8)
	r

где p – давление.

В уравнении (14.8) второе слагаемое в круглых скобках сохра- няется лишь при описании экваториальных течений в океане.

В блок переноса радиации входят следующие уравнения: 1) Уравнение энергии (закон сохранения энергии):

dS	Fr	1		F			F	sin
	T				T		T	,
dt	r	sin				(14.9)

где S – энтропия; FT – составляющая мелкомасштабного переноса

тепла (энтропии); ε – интенсивность притока всех видов энергии к единице массы среды (воздуха, воды и т.п.)

2) Уравнение баланса энергии для атмосферы вне облаков:
в котором				S 1 q Sd qSv ,							(14.10)
				Sd cp ln T Rd ln pd const,							(14.11)
				Sv cpv ln T Rv ln pv const,							(14.12)
								v		v
				q v pv p			1		p		(14.13)
где S	, S	ν	– энтропии сухого воздуха и водяного пара, p – их парци-
d					,
альные		давления;
				Т – температура; q – массовая доля водяного

пара; αν = 0,622 – отношение молекулярных масс водяного пара и сухого воздуха; ср = 1000 Дж/(кг·К) и срν = 1810 Дж/(кг·К) – удельные те- плоемкости сухого воздуха и водяного пара при

постоянном давле-				нии; Rd = 287 Дж/(кг·К), Rν = 461 Дж(кг·К) – их
газовые постоянные.					S		L	S		w
		S		s
3) Уравнение баланса тепла (краевое условие на подстилаю-
	H		1 A F			I		B T	H LE H ,		(14.14)
щей поверхности):										–падающие по-
где A	– коротковолновое альбедо поверхности; F , I
S									S L

токи коротко и длинноволновой радиации; B(TS) = εσT4 – длинновол- новое излучение поверхности (σ – постоянная Стефана–Больцмана;

165

ε – коэффициент серости поверхности); H, HS –потоки тепла с по-

верхности в атмосферу и в почву, лед и воду; Е – скорость испарения с поверхности; Hw – теплота плавления или замерзания льда и снега

на поверхности.

4) Уравнения связи параметров пограничного слоя с краевым

условием:	C U 2	,	(14.15)
	H CH cp U h Ts ,		(14.16)

где τ – напряжение трения; Сτ, СН – коэффициенты трения и тепло-

обмена; h – уровень; U – скорость ветра.

Уравнения блока переноса влаги в облаках и примесей вне об- лаков следующие:

1) Уравнение состояния влажного воздуха:										(14.17)
R	d		R	v	R	d	q	T R	T ,
								d

где p – парциальное давление; Т – температура; q – массовая доля водяного пара; Rd = 287 Дж/(кг·К), Rν = 461 Дж(кг·К) – газовые по-

стоянные сухого воздуха и водяного пара. 2) Уравнение переноса водяного пара:

q

q

q

dq

Fr

1

F

F sin

dt

r

m,

sin

(14.18)

q

где Fi

– составляющие мелкомасштабного потока водяного пара;

m – удельная скорость конденсации (испарения при m < 0) водяного

пара и m = 0 вне облаков и туманов.

3) Уравнение баланса воды или льда:

w

w

w

r

dq

F

1

F

F sin

w

m n,

dt

r

sin

(14.19)

где q – удельная водность; F w – составляющие мелкомасштаб-

w

i

ного потока водности; n = əQw/ρər – скорость выпадения осадков;

Qw = –ρqwWср – плотность вертикального потока воды (снега или льда) со средней скоростью выпадения Wср, взвешенной по спектру

массы капель, снежинок или кристаллов льда.

4) Уравнение баланса влаги (краевое условие на подстилаю-

щей поверхности):	Es P E Ew,
	(14.20)

166

где ES – скорость удаления влаги с поверхности стоками или

просачи- ванием воды в почву; Р – скорость выпадения осадков; Е – скорость испарения с поверхности; Еw – масса льда и снега на

поверхности.

5) Уравнение связи параметров пограничного слоя с краевым условием: E CE U qh qs , (14.21)

где СЕ –коэффициент испарения; h – уровень; U – скорость ветра.

Уравнения для океана

Для океана рассматриваются следующие блоки уравнений: блок уравнений движения, блок уравнений энергии, блок баланса льда и блок уравнений баланса соли.

В блок уравнений движений помимо таких же как и для ат- мосферы уравнений (14.1)–(14.8) добавляется уравнение состояния

морской воды:
w w T , p, s ,	(14.22)

которое затабулировано линейной эмпирической зависимостью, имеющей следующий вид при небольших вертикальных перемеще- ниях водных объемов:

	w		w0		w0			T T	0			0		s s		,	(14.23)
						0								0

где ρw – плотность морской воды; s – соленость, которая должна

удовлетворять однородному уравнению аналогичному уравнению переноса (14.18).

В блок уравнений энергии входит уравнение для энтропии мор- ской воды:

d w	cpdT	dp ds ,		(14.24)
	T		T
где ηw(T, p, s) – энтропия морской воды; α – коэффициент термиче-
ского расширения; μ(Т) – химический потенциал морской воды.
Уравнение неразрывности для океана принимает простой вид:
	div v 0.			(14.25)

Для уравнений энергии и солености на дне и берегах океана обычно ставятся условия равенства нулю нормальных составляю- щих потоков тепла и соли, кроме устьев рек и мест отрыва айсбер- гов – источников пресной воды и тепла.

167

На поверхности океана с уравнением r = ξ(t, θ, λ) и в крупно- масштабных процессах климатическое условие «непротекания»

воды через поверхность имеет вид:

1

P E E

. w

(14.26)

vr

v

v

t

sin

w

Для описания блока баланса соли в океане применяется

уравне- ние вида (14.18) и уравнение баланса соли:

s

E E

0,

F

s P

w

r

r 0

где FrS – вертикальный поток соли в глубину.(14.27)

Для описания верхнего слоя океана с выделяемыми поверх- ностным перемешенным слоем, слоем сезонного температурного скачка и главным термоклином, так же, как и пограничный слой атмосферы, описывается системой уравнений [при подобии профи-

лей Т(r) и s(r)]:

T(r) = Ts при ξ ≥ r ≥ –h0

– глубина слоя перемешивания

s

s

1

T

0

0

1

0

1

(14.28)

T r

T

T

T

F

h

r

h

h

при h

r h

,

где h1 – глубина нижней границы сезонного термоклина; Т1 – темпе-

ратура на нижней границе термоклина.

К уравнениям динамики верхнего слоя океана следует доба- вить связанные с ним уравнения динамики морских льдов.

Для поверхности суши

Применяются два вида уравнений:

–уравнение баланса энергии поверхности типа уравнения (14.14). в которое входит помимо рельефа, распределений высоты слоя шероховатости и альбедо еще и водяной пар (на поверхности водоемов, болот и влажных почв) и теплопроводность почвы;

–системы уравнений для количественного описания движения поверхностных и подземных вод.

Уравнения для снега и морских льдов

Модель снежного покрова на материках основана на

уравнении баланса снежногоhs покрова:

t Ps E Ews , (14.29)

168

где ħ = ρshs – «водоэквивалентная»
толщина снежного покрова; ρs –
плотность снега; hs – фактическая
высота снега; Рs – интенсивность
твердых осадков; E, Ews – скоро- сти
испарения и таяния снега; Ews =
Hw/L при L = 335 КДж/кг –
удельная теплота плавления льда;	Рис. 14.1. Схема модели
Hw – затрата тепла на таяние снега,
	вертикального распределения

	которая определяется из уравнения	морского льда
	теплового баланса на подстилаю-
	дели морского льда обычно разде-
	щей поверхности (14.14).
	ляют на модель горизонтально-однородной вертикальной структу-
	Сложную задачу создания мо-
	ры льда и на модель его горизонтального распределения с учетом

полыней и разводий. Схема вертикального распределения морского льда представлена на рис. 14.1. Слой снега толщиной hs, лежащий

на поверхности льда z = 0, определяется уравнениями (14.14) и

(14.29). Вертикальный профиль температуры Tz										в слое льда 0 > z >
определяется уравнением теплопроводности:											–hi,
			ici T			Пi ,					(14.30)
			t				zi
в котором
			c k					z
		Пi z T z				s
		i i i				F		exp d ,			(14.31)
								0
где Пi – вертикальный поток тепла; ρ = 0,917 и с = 2090 Дж/(кг·К) –
плотность	и	теплоемкость				льда;			k	–	коэффициент

теплопроводности льда; χ – коэффициент поглощения солнечной радиации в слое льда не покрытого снегом

Краевые условия для решения задачи:

–на границе с атмосферой должно выполняться уравнение ба- ланса (14.14);

–на границе между снегом и льдом непрерывны температура и потоки тепла;

–на неизвестной и подвижной нижней границе льда (z = –hi)
T / z h Twi 271,8 K	П	h	i	П	h		L	(14.32)
выполняются два условия:		i			w	i

Ewi , 169

где Пw(–hi) – поток тепла из океана к границе льда, который должен

быть известен из динамики океана или задан.

Таким образом, вертикальный профиль температуры T(z) в слое снег–лед–вода определяется из решения краевой задачи Стефана для уравнения теплопроводности (14.30), когда на нижней границе решения z = –hi задаются два краевых условия (14.32).

Отдельно рассматривается модель крупномасштабных гори- зонтальных движений и распределений полей полярных морских льдов с их разводьями и полыньями, которые определяют не только количество радиации, поглощенной подстилающей поверхностью, но и теплообмен между полярной атмосферой и океаном, интенсив- ность которого в разводьях на 1–3 порядка выше, чем через лед. По- этому даже для площадей полыней, составляющих лишь проценты от общей площади морских полярных льдов, потоки тепла от от- крытой поверхности океана дают решающий вклад в тепловой ба- ланс полярной атмосферы. При моделировании крупномасштабно- го движения морского льда с учетом его торошения и образования разводий, учитывается воздействие ветрового дрейфа льда, морских течений и взаимодействия между льдинами. Используемая система модельных уравнений является громоздкой и требует знания мно- гих параметров, что создает необходимость ее упрощения и опреде- ления лишь общую площадь льдов и разводий.

Уравнения для материковых льдов
Для гидродинамического моделирования эволюции массивов
	dv	1	F ,	(14.33)
материковых льдов используется уравнение				горизонтального дви-
	p
	dt
жения вида (14.3) и (14.4), но без адвективных и кориолисовых
ускорений, имеющее вид:	dv	1	F ,	(14.34)
	p
	dt

а также упрощенное уравнение статики, полученное из (14.8):

p	(14.35)
r g.

В связи с тем, что лед не сжимаем, то его движение в основном сдвиговое и в правые части уравнений вида (14.13) и (14.14) для

170

составляющих скорости движения льда ui (i = 1, 2, 3) вводят сдви- говые элементы тензора скоростей деформаций:

ij			u	2, i, j 1,	2, 3.
				(14.36)
	xj		xi
Связь между элементами тензора скоростей деформации (εij) и
	ui		j
тензора напряжений (τij) задается соотношением как для псевдопла-
стичной жидкости:			f T , ij ij		(14.37)
		ij

где ρ – гидростатическое давление; δ = 1 при i = j и δ = 0 при i ≠ j.

Уравнение энергии ,вида (14.9), определяющее поле температу- ры в массе льда, приводится к уравнению теплопроводности с при- током тепла от вязкой диссипации кинетической энергии движения льда. Уравнение неразрывности вида (14.1) упрощается при усло- вии несжимаемости льда ρi = const. При этом имеют место следую-

щие краевые условия:

–для уравнений динамики на поверхности ложа ледника долж- ны выполняться условия прилипания;

–для ледников со слоем талой воды на дне должна обращаться в нуль лишь нормальная к поверхности составляющая скорости;

–на поверхности ледника выполняется кинематическое усло- вие «непротекания льда» через поверхность.

Отдельное уравнение баланса воды иногда используется для описания стока талой воды с ложа ледника и определения вклада стока в баланс тепла. Это уравнение используется также в нижнем краевом условии для уравнения энергии. Краевым условием на по- верхности ледника для этого уравнения служит уравнение теплово- го баланса (14.14).

Получаемая система уравнений динамики материковых льдов существенно нелинейна и в большинстве моделей упрощается, на- пример, характеристики потока льда усредняются по сечениям ле- дового щита, их вертикальные профили описываются простыми функциями от высоты или длины.

В итоге можно сформировать схему взаимодействий основных уравнений динамики атмосферы и океана и условий на их границах, как показано на рис. 14.2. Из схемы следует, что взаимодействие между атмосферой и океаном осуществляется за счет поверхност- ного трения, переноса радиации и тепла, а между атмосферой и су- шей – за счет испарения и осадков.