Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1259 вузов, 4592 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Чистопольский (филиал «Восток» Казанского национального исследовательского технического университета имени А. Н. Туполева)
Предмет:
Вычислительная математика
Файл:

Лаба 6-7по ВМ

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
21.03.2019
Размер:
208.99 Кб
Скачать
☆

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6-7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ.

Цель работы: научиться строить интерполяционные и аппроксимационные многочлены по заданной системе точек с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1.Изучить принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, I и II интерполяционных формул Ньютона и аппроксимационного полинома.

2.На конкретном примере усвоить порядок построения указанных полиномов с помощью ЭВМ.

3.Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов второго порядка для системы из трех равноотстоящих узловых точек.

4.Сделать вывод о точности построения полиномов.

5.Составить отчет о проделанной работе.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1.Составить таблицу значений экспериментальной функции y sin x

сточностью 0.001 для равноотстоящей системы из трех узловых точек

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi 1

xi

h ,

i 0,2 на отрезке

из области допустимых значений

x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

функции, где h 4 .

2.По сформированной системе точек построить интерполяционную формулу Лагранжа, I и II интерполяционные формулы Ньютона и аппроксимационный полином второго порядка.

3.Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов для заданной системы точек.

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Таблица значений функции y sin x с точностью

0.001 для

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равноотстоящей системы из трех узловых точек xi 1

xi

h ,

i

0,1

на от-

резке

 

 

, где h

 

, имеет вид:

 

 

 

 

 

x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

0.524

1.047

1.571

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yi

0.500

0.866

1.000

 

 

 

 

 

 

133

2. Интерполяционный полином Лагранжа.

Замечание. Так как данный полином строится для произвольной системы узловых точек, то запишем этот полином для равноотстоящих узло-

вых точек:

L2 x a0 x x1 x x2 a1 x x0 x x2 a2 x x0 x x1 ,

где коэффициенты ai , i 0,2 вычисляются так:

a0

 

 

 

y0

 

 

 

0.5

 

 

0.912

;

 

 

x0

x1 x0

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0.524 1.047)(0.524 1.571)

 

 

a1

 

 

 

y1

 

 

 

0.866

 

3.159

;

x1

x0 x1

x2

(1.047 0.524)(1.047 1.571)

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

y2

 

 

 

1

 

1.824 .

 

 

 

x2

x0 x2

x1

(1.571 0.524)(1.571 1.047)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда искомый многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь

вид:

L2 (x) 0.912(x x1 )(x x2 ) 3.159(x x0 )(x x2 ) 1.824(x x0 )(x x1 ) ,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0;

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной

системе точек строится в виде:

 

 

t t 1

 

 

 

 

 

N1 t y0 t y0

 

2 y0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Здесь величины y

0

y y

0

,

2 y

0

y y

0

называются таблич-

 

 

 

1

 

 

1

 

ными разностями первого и второго порядков соответственно, t x x0 . h

II интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде:

N2 t' y2 t' y1 t' t' 1 2 y0 . 2!

Здесь величины y1 и 2 y0 вводятся аналогично случаю, рассмот-

ренному выше, t ' x x2 . h

При построении аппроксимационного многочлена методом наименьших квадратов необходимо, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена второго порядка

P2 (x) a2 x2 a1 x a0 .

Согласно алгоритму метода наименьших квадратов, для построения многочлена второй степени необходимо вычислить следующие суммы:

134

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

7.366;

x

i

3.142; x2

3.838; x3

5.168; x4

i 0

 

 

i

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

i 0

 

 

 

2

 

2.366;

2

 

 

 

2

 

3.544 ,

 

 

y

i

x

y

i

2.739; x2 y

i

 

 

i 0

 

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

и решить систему линейных алгебраических уравнений 3-го порядка вида

(m 1)a

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

x a

x 2 a

 

y ;

 

 

0

 

i

1

 

i

 

2

 

i 0

i

 

2

 

 

i 0

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

xi a0

 

xi2 a1

 

xi3 a2

xi

yi ;

(1)

i 0

 

i 0

 

 

i 0

 

 

 

i 0

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

xi2 a0

xi3 a1

xi4 a2

 

xi2 yi

 

i 0

 

i 0

 

 

i 0

 

 

i 0

 

 

относительно неизвестных коэффициентов a0 , a1, a2 . В данном случае система (1) будет выглядеть так

 

3a0 3.142a1 3.838a2 2.366;

 

 

 

 

3.838a1

5.168a2

2.739;

(2)

3.142a0

3.838a

0

5.168a

7.366a

2

3.544.

 

 

 

1

 

 

 

Для ее решения можно воспользоваться любым известным методом, например, методом Крамера. Для этого необходимо вычислить четыре определителя системы (2) вида:

 

 

2.366

3.142

3.838

 

 

 

3

2.366

3.838

 

1

 

2.739

3.838

5.168

0.008; 2

 

3.142

2.739

5.168

0.112;

 

 

3.544

5.168

7.366

 

 

 

3.838

3.544

6.366

 

 

 

3.142

2.366

 

 

 

3

3.142

3.838

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

3.142

3.838

2.739

0.035;

 

3.142

3.838

5.168

0.082.

 

 

3.838

5.168

3.544

 

 

 

3.838

5.168

7.366

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значения искомых коэффициентов вычисляются по формулам:

a

0

1

0.098; a

2

1.364; a

2

3

0.423.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:

P2 (x) 0.423x2 1.364x 0.098.

Для проверки правильности построения полиномов необходимо провести программно процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при x x0 , x2 с одинаковым шагом

табулирования.

Графики этих функций представлены на рисунке 1. Из графика видно, что искомые полиномы на отрезке практически совпадают с экспериментальной функцией и проходят через узловые точки.

135

Замечание. Аппроксимационный полином в общем случае не проходит через узловые точки и для системы из трех узловых точек может давать погрешность, превышающую погрешность построения остальных полиномов.

1,2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

sin(x)

 

 

 

 

 

 

0,8

 

 

 

 

 

L2(x)

 

 

 

 

 

 

0,6

 

 

 

 

 

N1(t)

0,4

 

 

 

 

 

N2(t')

 

 

 

 

 

 

0,2

 

 

 

 

 

P2(x)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0,52

0,68

0,84

1,00

1,15

1,31

1,47

 

 

 

 

Рис.1.

 

3. Содержание отчета.

Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод интерполяционных и аппроксимационного полиномов); графики; листинг программы; таблицу результатов; выводы о проделанной работе.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов:

1.1. Сформировать таблицу значений экспериментальной функции y f x с точностью 0.001 для равноотстоящей системы из трех узло-

вых точек xi 1 xi h , i 0,1 на отрезке x a; b из области допустимых

значений функции, где h b a . 2

1.2.Вычислить значения коэффициентов интерполяционной формулы Лагранжа ai , i 0,2 и записать непосредственно полином.

1.3.Вычислить значения табличных разностей первого и второго порядков, необходимых для построения I и II интерполяционных формул Ньютона и записать непосредственно полиномы.

1.4.Для построения аппроксимационного полинома второго порядка вычислить необходимые суммы, сформировать СЛАУ 3-го порядка, решить ее любым известным методом и записать непосредственно полином.

1.5. Осуществить процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при x x0 , x2 с одинаковым ша-

гом табулирования. Печать результатов табулирования должна осуществляться на каждом шаге в виде следующей таблицы:

136

 

xi

 

f xi

L2 xi

 

 

 

f xi L2 xi

 

 

N1 xi

 

 

 

f x

N

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N2

xi

 

f x

N

 

x

 

 

P2 xi

 

f xi P2 xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

2

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Провести вычислительные эксперименты.

3.Построить графики всех приведенных в таблице функций.

4.Составить отчет о проделанной работе.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

№ вари-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

№ вари-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

анта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

анта

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

15tg 1 2x

2

 

12

17

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

7.5e3sin x 2

 

 

 

 

 

2

12x

 

x3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17tg 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

3.2ecos x 4

 

x

3

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.1

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

4 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.5

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

5 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1.5e

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14e

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

5

 

x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18sin

 

 

 

 

 

 

 

 

8

18

2.3cos

5x 3

 

7

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

19

e x 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

x 2 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.8 e x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 cose

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

e 3 x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.3

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.3sin x e 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

137

Соседние файлы в предмете Вычислительная математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности