Лаба 8 по ВМ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель работы: научиться решать обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) методами Эйлера и Рунге-Кутта с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1.Изучить методы Эйлера и Рунге-Кутта для приближенного решения ОДУ.

2.На конкретном примере усвоить порядок решения ОДУ указанными методами с помощью ЭВМ.

3.Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс приближенного решения ОДУ указанными методами.

4.Сделать вывод о точности используемых методов.

5.Составить отчет о проделанной работе.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание.

1. Аналитически решить задачу Коши вида:

	dy	f x, y x4 y,	(1)
	dx
	y x0 y 1 y0 1.		(2)

2. Записать рабочие формулы метода Эйлера и метода Рунге-Кутта 4

порядка точности для численного решения системы (1) при начальном условии (2) на отрезке

x x0 , xn 1,1.8 .

(3)

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные процессы.

Решение.

1. ОДУ (1) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его аналитическим решением являются интегральные

x5

кривые вида y x, c ce 5 , где постоянная c определяется из начального

1

условия (2) и равна c e 5 . Таким образом, решением задачи Коши (1)-(2)

1 x5

является интегральная кривая y x e 5 e 5 .

2. Для построения рабочих формул методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка точности разделим отрезок (3) на n равных частей и сформируем

систему равноотстоящих точек xi 1 xi h , i 0, n 1, где x0 1, xn 1.8,

138

шаг интегрирования h xn x0 0.8 . n n

Рабочая формула метода Эйлера в общем случае имеет вид:

yi 1 yi hf xi , yi , i 0, n 1.

Для поставленной задачи данная формула запишется так:

yЭйлер y

Эйлер

hx4 y

Эйлер , i

0, n 1

(4)

i 1

i

i

i

Для вычислений по методу Рунге-Кутта 4 порядка необходимо пред-

варительно вычислить 4 коэффициента:

k1i hf xi , yi

,

h

k

k

hf x

, y

1i

,

2i

i

i

2

2

h

k

2i

k

hf x

, y

,

3i

i

i

2

2

k4i hf xi

h, yi

k3i ,

а рабочая формула имеет вид:

y

1

k

2k

2k

k

, i

y

i 1

i

2i

3i

4i

0, n 1.

(5)

6

1i

Для рассматриваемого примера коэффициенты запишутся так:

k

1i

hx4 y Рунге Кутт ,

i

i

h

4

k

1i

k2i

h xi

yiРунге Кутт

,

2

2

.

(6)

4

h

k

2i

k3i

h xi

yiРунге Кутт

,

2

2

k

4i

h x

i

h 4

y Рунге Кутт k

3i

.

i

Итерационные процессы, заданные формулами (4), (5) и (6), можно начать, задав начальное условие (2). Процессы заканчиваются при достижении конца отрезка (3). В этом случае построенные интегральные кривыеxi 1, yi 1 являются приближенными решениями задачи Коши (1)-(2) на от-

резке (3) рассматриваемыми методами.

3.Блок-схема построения приближенного решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта приведена на рисунке 1.

Решение: результаты решения сформулированной задачи в виде графиков приведены на рисунке 2.

4.Содержание отчета.

Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг программы; таблицу результатов; графики, выводы о проделанной работе.

139

1. Задать параметры метода: n, i 0, x xo , y y0 , xn , h xn x0 .

n

2.Вычислить xi 1 xi h и очередное приближение yi 1 по формулам (4) (или (5)-(6)).

3.Проверить условие окончания процесса: x xn .

нет		да
4. Распечатать приближенное значение xi 1, yi 1 .		6. Останов

5. Обновить начальное приближение x xi 1 , y yi 1

и i i 1.

Рис.1

37

y=y(x)

32

y=y Рунге-Кутт (x)

27

y=y Эйлер (x)

22

17

12

7

2

-3	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8

Рис.2

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Аналитически решить задачу Коши (1)-(2).

2.Записать рабочие формулы методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка для приближенного решения сформулированной задачи на отрезке

(3).

3.Используя блок-схему (Рис.1), составить программу на любом языке программирования, реализующую метод Эйлера и метод РунгеКутта для задачи Коши. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:

i	xi	y xi	yЭйлер		y x	yЭйлер		yРунге Кутт		y x	yРунге Кутт
			i		i	i		i		i	i

4.Провести вычисления при h h /10 .

5.Построить графики точного решения и двух приближенных (мето-

140

ды Эйлера и Рунге-Кутта).

6. Составить отчет о проделанной работе.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

	№ варианта					Задача Коши	Отрезок
	1.			dy		x2 y, y 1 1	1,0
				dx
	2.			dy		x 1 y, y 1 1	1,2
				dx
	3.			dy		x 2 y, y 1 1	1,0
				dx
	4.			dy		x y 1 , y 1 1	1,2
				dx
	5.			dy		x2 y 1 , y 0 0	0,1
				dx
	6.			dy		x2 y 2 , y 1 0	1,2
				dx
	7.			dy		y cos x, y 0 1	0,1
				dx
	8.			dy		xy, y 0 1	0,1
				dx
	9.			dy		x 1 y, y 2 2	2, 1
				dx
	10.			dy		x3 y, y 2 2	2, 1
				dx
	11.			dy		x y 2 , y 2 1	2,3
				dx
	12.			dy		x2 y 1 , y 1 0.1	1,2
				dx
	13.			dy		y sin x, y 2 1	2,3
				dx
	14.			dy		y cos2x, y 0 2	0,1
				dx
	15.			dy		y2 x, y 1 2	1,1.3
				dx
	16.			dy		x 2 y, y 1 1	1,0
				dx

141

	17.			dy	x y 1 , y 1 0	1,2
				dx
	18.			dy	x y 2 , y 1 1	1,0
				dx
	19.			dy	x2 y 2 , y 0 2.2	0,1
				dx
	20.			dy	y sin 2x, y 0 1	0,1
				dx
	21.			dy	x y 3 , y 0 1	0,1
				dx

142