Ш.И._Галиев_МЛ_и_ТА_2004

Но не всякая рфн*' ешь высытзыаоющия речь, а лишь та, в которой '.одержит* втинностл или ложность чего-либо; мольба, uanpwtep, естьречь, но&iaпаистинна V нвДОЯСна.

Глава!. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Инеo&texotiwe истинуложоЮ,

чтобы*?Kj3bfffT tKMiwy, б тосримякакЗЬ:знаете.

§ 1. Высказывание. Логические операции

Выаииыымием называется люб(к локсгвоватсльное предло­ жение, которое истинно либо.о<ю««1.

Примерами иыскмыпаний в математической логика являются следующиепредложения'

2-1-2=4.

1 По Синогаяьивчу ишниго; по Восстановительному переведу tra фраза истины». Вы.тсл^ннгcedb зксь ч вчлчтр?.г*1с елглано гогласно укэданлым иеточни-

Не являются высказываниями в математической логине препло­

х о (здесьхе(-«о, ю) исчитается переменной). Закройте книгу!

Данное предложение ложно.

Какоеже у меня есть дело наЗемле?

Высказывания будем обозначать заглавными печатными латинскими буквами {А, В, С,.,.) и этими же буквами с «исковыми ин-

В логине высказываний отвдвкаютс* от содержания высказыва­ ния и интересуются истинностью либо ложностью («епиптостиыми значениями) высказывания.

Таким образом, высказываний рассматривается как величина, которая ысжет принимать два значения: «истина» либо «ложья. В дальнейшем лля краткости будем обозначать значение «истина» че­ рез И, а «ложь» - Л. Если высказывание А исгиинсе, то будем говорить, 'ггоА принимаетзначение Я (истина), и писать: А - И. Если высказываниеА ложное, то будем говорить, чтоА принимает значение Л (ложь), и писать: А = Л. Заметим, что мы не будем определять, что такое истина и что такое ложь, но считаем себя способными охарак­ теризовать игкоторые высказывания как истинные, другие - как

Из высказывании можно образовыв&ъ другое высказывания,

лом», «неверно, что 2- четное числа», «не имеет м число» ит.п. Мы будем строить отрицание дгм да> од*гим способом, шме:цйя знакотрицания 1&ередвс

Отрицание - логическая операция, с помощь» которой из дан­ ного высказывания А образуется новое высказывание, обозначаемое 14, которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно. Следоеатеяыю, имеем следующую таблицу, которая называется таблицей

Высказывание "U читается '<неА,>и логическая операция отрицания соответствует образова­ т ь нового высказывания из вмеказыгания А а

помощью частицы «не». В литературе встречаются и другие обозна­

чения для 1А: А или ~А. 01р,шание являете» одноместной логиче­ ской операцией. Другие логические операции, которые введем, - дву­ местные операции, сложное высказывание строится из дву». данных высказываниям и В.

2.Конъюнкция - логическая операция, с помощью которой

шдвух данных высказываний А и В образуется новое высказывание,

обозначаемое А&В, которое истинно тогда и только тогда, когда<4 иЯ оба истинны.

ВысказываниеАЯЛ читается «А и 5л и называется конъюнкциейЛ и В, а А и Л называются гоиыонктивылми членами. По определенно конъюньгтт имгем ытцлующуютаблицу истинности:

Для конъюнкции высказываний А и Я в ли­ тература встречаюiвя и другие обозначения, например: ААВ, А-В штгростоХВ.

Из опрезеле!ШЯ следует, что операция конъюнкция соответствует образованию нового

высказывания аз двух данных соединением их союзом "и". Выраже­ ние А&В может служить обозначением не тоиъко .щи

высказывания А а Я, но и для высказываний: «так А, так	и 5».
«А вместе с А»; «А, в то вречя как 5»; «не только А, но	н 5»,
'.‘А, хотя и 5». Очевидно, что этот список можно продолжить

Однако А&В не является моделью пля каждого случая употреб­ ления союза «Н!>. Поясним это. Согласно определению конъюнкции

истинностные значения Л&В и В&.4 едннакооы, т.е. AScB

и ВбсА понимаются как равносильное (равнозначные) высказывания. В то же врем» аыскяадгаиия «Таня проснулась и оплнце взошло над горизотои», «Сплнце взошло над горизонтам и lain проснулась» понимаются как различные. Также рвзлхшы высказываю* «Иванову стало жарко и он пошел искупаться», «Иванов пошел искупаться

и ему стало жарко».

3.Дизъюнкция - логическая операция, с помошмо которой из двух данных высказываний А а В образует:* новое, обозначаемое

А'-'В, которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказы­ ванияА ИВ.

Пыскаэыияние HA\JB» читается «Л или В», я А и В вызываются

двзыонктенши 'течами. Из определения видно, что операция днзыонкция соответствует образованию нового высказывания из дан­ ных А и £ соединением их связкой «или», гле «или» понимаете* в сиединителыюм (хотя бы одно), а не в разделительном (либо-либо)

Согласноопреипениюдизъюнкцииполучим-габяидуистинности Другие, кроне AvB, обозначения дизъюнк­

ции в литературе встречаются очень редко, например, дизъюнкцию Avli обозиачшот иногда

АиВмиА +В

4.Прежде "ем ввести следующую операцию, отмети, что

вразговорной речи, а также в литературном языке мы лривьпищ

к тому, что в высказываниях «если А, то В» между посылкой А

я заключением В имеется определенная (обычно причинная) связь. Если же такого рода связи между Ап В нет, то ке всегда ясно, истинно либо ложно высказывание «если А, то В*. Неясно, например, истин­ нымиили ложными будутвысказывания:

'4

1)если 2x2-4, та Л. Н. Толстой - автор романа «Война и мир»;

2)если 2хЪМ, то Л Н. Толстой - автор романа ((Война и мир»; 3} если 2x2*4, то А. П. Чекоеавторромана«Война и мир». Введем правила, по которым можно будет определять истин

нияА и В вне зависимости от того, существует ли между Ли В кака?

Импликация (следование) - логическая операции, с помощью кс торой из двух .данных высказываний А и В образуется новое высказь ванне, обозначаемоеAz$B, которое ложно тогдаитолысо тогда, ком

посыпкаА истинна, азаключениеВ ложно.

Высказывание Л ^В читается «если А, то В» или «из Л следуе 0» н называется импликацией А и В.

Согласноопределении импяикашиполучимтаблицуистинности:

Из определения снедает, что если посылка. лонжа, то вне зависимости, истинно или ложно I

.в следует что угодно. Таним образом, зыскаэышя 1)-3) будут считаться истинными.

противоречит обычной практике. И к о т встречается некоторое не истинностно-функциональное употребление связки «если..., то..», свяищлме с законами причинности и з так называемых условны* контрафактичегких предложения*. Но ыш будем использовать виедоинуго импликацию, только там где не чеполмугатс* oaitoitw причинности и условные контрафактическне предложения.

Другие обозначения импликации (следования): А -* В, А з В.

S. Зуоиз/ыентпость - логическая операция, при помощи кото­ рой нз двух дапных высказываний Л и В образуется новое, обоэначае-

15

мое AsB, которое истинно тогда и только тогда, когдаЛ кВ принима­ ют одинаковые истинностные значения.

Высказывание А*В читается “А тогда и только тогда, когда Я» и называется эквивалентностью А к В. Другие обозначения для А*В: А<#В,А*+В,А~В.

Из определения эквивалентности получаем следующую таблицу истикнавти:

Таким образом, для произвольных данных вы­ сказывании введены пять операций. С помощью этих операций из данных высказываний можно образовать

торых можно выяснить по таблицам истинности Можно ввести и другие операции, по доказываете»,

что этик операций достаточно, более того, сложное высказывание вы­

ражается с использованием только некоторых из введенных

операций.

Отмстим еще раз, что мы ввели операции над произвольными высказываниями без учета их смыслового содержания. При этом можно зыиснить истинностное значение полученных высказываний, не обращая внкмапня на смысловое содержание высказывания.

Например, можно образовать высказывание: «Нети Иванов - иудеит, то 1 сентября 2002 года в Воронежу шгл пожпь». и это высказывание будет ложно, когда высказывание «Иванов - студент» иегинно, а 1 сентября2002 гола а Воронеж дождя не было, в остальных случаяхбудем считать, чторассмягрива!мое предложение тетенно.

Также отметим, что привгденные контрпримеры (цп« конъюнк­

ции и -импликации) показывают, сто логика высказываний позволяет мод-лировягь не вес возможные иредмохсемя «зыка,

я только часть. Но эта часть достаточно объемна и важна. В других главах данной работы рассмотрены логики, которые расширяют воз-

мощностилогики высказываний, учитывав, например, многозначность

высказываний или их возможный нечеткий характер, зависимость от

времени и т. п.

8 2. Пропозпинональные буквы, связка и формы (формулы логики высказываний)

Символы I, &; v,=s,s наливаются пропотиционалъчъьт связками.

Заглавные буквы алфавита C4S.C,,..) ите же буквы с числовыми

индексами			называются пропозициональными
буквами.	Счтается,	что	каждая	пропозициональная

буква может принимать значениеИ либо Л.

Выражением называется коночная последовательность опредг- л*ниых енмяоло*. Напркчвр, v<4&vtf - яыражвнна, построенное из

Пропозиционаньная фирма представляет ссбой выражение, по­ лученное по некоторым правилам as пропозициональных букв с-помощью прогозмшэналъиыхсвязок.

Индуктизнос определение пропозициональной формы:

!) всепропозициональныеfiywngсутьпропозишюналыые формы;

2)если А и В пропозициональные формы, то (1л), (А/Щ, (AvB), (А-$В), (,А=В)тоже пропозициональные формы;

3)только те выражения являются пропозициональными форма-

Примеры проггозлпиональных форы: А (1 Я), ((ЛАЙ^ГС)),

(((l^)vSX ).

Пропозициональные формы часто называют формулами логики

Жирные заглавные буква латинского алфавита (AJi.C,...) или те же буквы с числовыми индексами ,С],С>,.) упот­ ребляются для обозначения приичиппьных пропозициональных форм, тогда как обычное написание эгик букв применяется лишь ШН пропо­ зициональных букв.

Истинностной функцией от п аргументов называется ^-аргументная функция, принимающая одно нз двух значений: Я либо Л, когда ее аргументы пробегаютте х« значения.

Составное [сложное) высказывание, обраэояанное с помощью введенных операций 1, v,=s,a, будет истинным либо ложным в зависимости от значении исходных высказываний. Следовательно, полученное составное высказывание порождает некоторую истинно­ стнуюфункцию.

Как определено, каждая пропозициональная буква может при­ нимать значения И либо Л. Будем считать, что пропозициональные формы (L4), (А&В). (AvB), (А=>В) и (А=В} имеют те же таблицыис­ тинности, что и обозначаемые таким образом высказывания (см.§1). Тогда каждому распределению (истинностных) значений И и Л про­ позициональных букв, входящих в пропозициональную форму, соот­ ветствуют некоторые истинностные значения ягой пропозициональ­ ной [фирмы.

Таким образом, каждая пропозициональная форма порождает некоторую функцию, принимающую значение Л или И d зависимости от истинностных значений пропозициональных бухв, в нее входящих, следовательно, каждая пропозициональная форма порождает некото­ рую истинностную функцию.

Заметим, что пропозициональная форма не является высказыва­ ние*. По определению пропозициональная форма - это выражение, построенное ю грэпозиниональиыхбукв, те. букрА, В, С,..., At,Ai....Б<, Вг С|, с помощью пропозициональных связок согласно пра­ вилам 1), 2), 3) и ничего более. В частном случае пропозициональные буиы могут обозначать высказывания, пропозициональные связки - логические операции, тогда пропозициональная форма будет обозна-

12

wi> некоторое бысказыаанив. Истинностное значение полученного ■ысшмпкгея можно определит), спомощьютаблиц истинности.

Так как добавление каждой новой пропозициональной буквы уеэличиваег количество строк в таблице исттпшости вдвое, то пропо­ зициональная форма, содержащая к различных пропозициональных бука, имееттаблицу истинности с 2" строками. Например, для формы ((M&B)vC)=/t) имеем следующуютаблицу истинности:

Составление таблицы Исшиностч можно еикрятнт^ выписывая шаг за шагом под каждой пропозициональной связкой ииинкосгиые

значения той составлявшей пропозициональной формы, для которой применяется эта связка. Например, для той ке формы (((/1&9)\/С):эЛ)

получаю.!таблицу:

Следующий метод Построения таблиц истинности называют ал­ горитмом Кватя. D форме выбирается некоторая буква, например, 1а, которая чаще всего встречайся в рассматриваемой форме. Вибрвниой букве (для формы РНКА&Лу/С'рьЛ) ото будет буква Л)

19

приписывается значение И либо Л. Далеб проводят вычисления,гае возможно при выбранном значении этой буквы. £спи A-И, то для формы H=(((A&F/vC]^A), вне зависимости от значении букв Б и С, легко получить, что D-И ПриА-Л и С-Л получим снова, что D-И Наконец, если А-Л иС‘ И, то D-Л. В результате получвм сокращен­ ную запись таблицы истинности, содержащую всего три строки (в лзннпи случае результат не зааисет от значений буквы В, а при А--И не зависит иот значений С):

* » I С I Ю Ш )»/^)

§ 3. Упрощения в записях пропозициональных форм

Введем некоторые соглашения о So:iee экономном употребле­ ниискобок в записях форм. Этисоглашения облежат чтениесложных выражений.

Во-первых, будем опускал. в пропозициональной форме внеш­ нюю пару скобок. (В случае пропозициональной буквы этой внешней пары скобок нет по определению.)

Во-вторых, асушформа содержит вхождении только одной би­ нарной связки (т.е. &, v, => или з), to для каждого вхождения этой связки опускаются внешни? скобки у той из двух соединяемых этим вхождением форм, котораясюитслева.

Пример. Av&vCvA лииюти вместо (((AvB)vC)vA),

аfc>S=M=>(C»,Q- вместо(((г&В)=гЛ)=>(С=>Л)).

В-третьих, договоримся считать связки упорипоченнымя сле­ дующим образом: 1, v, =>, и и будем опускать во всякой пропози­ циональной форме всете пары скобок, без которых возможно восста­ новление этой формына основеследующего правила.

Каждое вхождение знака 1 относится к наименьшей пропозиципнаиьной форме, следующей за ним; после расстановки всех ско­ бок, относящихся ко всем вхождениям знака 1, каждое вхождение

20