ОСР ответы на зачёт
.docx-
Понятие случайного процесса. Ансамбль реализаций. Понятие сечения случайного процесса. Функция распределения и плотность вероятности в заданном сечении случайного процесса, их свойства.
Случайным процессом является однопараметровое семейство случайных величин. Параметром является время t ∈ [0,T]. Обозначается: ξ(t). Ансамбль реализаций - несколько случайных процессов. Сечение случайного процесса в момент времени t1 - называется множество его значений во всех реализациях ξk(t1)={ξk(t1)}.
-
Одномерные и многомерные функция и плотность распределения. Свойства. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях.
-
Условная плотность распределения. Факторизация многомерной функции распределения. Условие независимости. Марковские случайные процессы.
-
Статистическое усреднение и моментные функции случайного процесса. Начальные и центральные моменты функции. Смешанные моменты функции.
-
Функции корреляции и ковариации и их свойства. Коэффициент корреляции. Физический смысл коэффициента корреляции. Диаграмма рассеяния. Независимость и некоррелированность случайного процесса в двух сечениях.
Среди множества функций, описывающих изменение СП во времени, особого внимания заслуживает корреляционная функция (КФ), являющаяся вторым смешанным центральным моментом:
Коэф корреляции - степень линейной зависимости 2-х величин. Он равен нулю при отсутствии зависимости.
Физический смысл и диаграмма рассеяния:
Свойства:
-
Равенство нулю для статистически независимых значений СП. Это следует из
-
Симметричность КФ.
-
Ограниченность КФ.
-
Положительная определенность. Для КФ она заключается в том, что для любой детерминированной вещественной функции g(t) имеет место неравенство
Понятие стационарности СП - означает независимость характеристик СП от выбора начала отсчетов времени.
2 СП называются некоррелированными, если КФ=0. Из независимости следует некоррелированность, но обратное не всегда.
Функция ковариации
свойства ( эти взяты из оти, а так свойства такие же, как и у корреляции)
-
Характеристическая функция случайного процесса и ее свойства. Многомерный вариант. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях, выраженное через характеристическую функцию. Вычисление моментных функций через характеристическую функцию.
Характеристической функцией (ХФ) называют комплекснозначную функци. вещественных аргументов , определяемую как результат усреднения:
Подобным образом может быть определена многомерная характеристическая функция:
Свойства:
Вычисление моментных функций:
Условие независимости описывается так же, как и функция распределения (вместо нее используется ХФ)
-
Характеристическая функция случайного процесса и ее свойства. Многомерный вариант. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях, выраженное через характеристическую функцию. Кумулянты. Вычисление кумулянтов через характеристическую функцию. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Характеристической функцией (ХФ) называют комплекснозначную функци. вещественных аргументов , определяемую как результат усреднения:
Подобным образом может быть определена многомерная характеристическая функция:
Свойства:
Условие независимости описывается так же, как и функция распределения (вместо нее используется ХФ)
Коммулянты:
Коэффициенты симметрии и асимметрии
-
Классификация случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина для непрерывных случайных процессов. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Физический смысл.
Классификация СП:
Теорема Винера-Хинчина - энергетический спектр и корреляционная функция СП связаны преобразованием Фурье.
-
Белый и квазибелый шум. Ковариационная функция белого шума. Тепловой шум. Ковариационная функция случайного процесса с постоянной в ограниченной полосе спектральной плотности мощности.
-
Нормальный случайный процесс. Многомерная плотность распределения в общем виде. Матрица ковариации. Случай некоррелированных сечений. Некоррелированность и независимость. Кумулянты нормального случайного процесса.
-
Нормальный случайный процесс. Многомерная характеристическая функция. Одномерный случай. Случай некоррелированных сечений. Некоррелированность и независимость. Кумулянты нормального случайного процесса.
Нормальный случайный процесс
формула:
Кумулянты нормального случайного процесса:
Коэффициент эксцесса: коэффициент сглаживания кривой распространения около ее моды.
Многомерная характеристическая функция:
-
Двумерная плотность вероятности нормального случайного процесса, подробный вывод. Коэффициент корреляции, физический смысл. Случай некоррелированных сечений.
Двумерная плотность вероятности:
Немного проще и привычнее:
Коэффициент корреляции:
Физический смысл:
Иными словами: с его помощью оценивают тесноту связи между случайными величинами
Для случая некоррелированных сечений 1) для двумерной плотности вероятности:
2) для коэффициента корреляции:
Значение коэффициента корреляции близко к 0
-
Условная плотность распределения нормального случайного процесса. Условное математическое ожидание, условная дисперсия. Изменение формы графика плотности распределения в зависимости от степени корреляции случайного процесса в двух сечениях. Некоррелированный случай. Случай абсолютной корреляции.
Условная плотность распределения нормального случайного процесса. Условное математическое ожидание, условная дисперсия.
Изменение формы графика плотности распределения в зависимости от степени корреляции случайного процесса в двух сечениях. Некоррелированный случай. Случай абсолютной корреляции.
На рисунке видно, что хотя пространство состояний обоих процессов практически одно и то же, динамика развития процессов в реализациях существенно различается. Единичные реализации коррелированных процессов в произвольный момент времени могут быть такими же случайными, как и некоррелированных, а в пределе, во всех сечениях оба процесса могут иметь один и тот же закон распределения случайных величин. Однако динамика развития по координате t (или любой другой независимой переменной) единичной реализации коррелированного процесса по сравнению с некоррелированным является более плавной, а, следовательно, в коррелированном процессе имеется определенная связь между последовательными значениями случайных величин. Оценка степени статистической зависимости мгновенных значений какого-либо процесса Х(t)в произвольные моменты времени t1 и t2 и производится функцией корреляции. По всему пространству значений случайного процесса X(t) корреляционная функция определяется выражением:
RХ(ti,tj) =x(ti)x(tj) p(xi,tj; xi,tj) dxi dxj
-
Линейные преобразования случайных процессов. Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса на выходе линейной системы. Стационарность случайного процесса на выходе линейной системы.
Стационарность случайного процесса на выходе линейной системы.
-
Линейные преобразования случайных процессов. Спектральная плотность мощности случайного процесса на входе и на выходе линейной системы. Метод измерения амплитудно-частотной характеристики линейной системы.
-
Линейные преобразования случайных процессов. Корреляция случайных процессов на входе и на выходе линейной системы. Метод измерения импульсной характеристики линейной системы.
(Про корреляцию в предыдущем пункте)
-
Линейные преобразования случайных процессов. Нормализация случайных процессов на выходе линейной системы, - что под этим понимается; условия, при которых она выполняется; как происходит.
-
Линейные преобразования случайных процессов. Корреляция случайных процессов на выходе линейных систем, при подаче на их вход стационарного случайного процесса. Условие некоррелированности случайных процессов на выходе двух линейных систем.
-
Условие непрерывности случайных процессов в среднеквадратическом смысле.
Условие дифференцируемости случайных процессов в среднеквадратическом смысле.
Свойства производной случайного процесса
Математическое ожидание производной случайного процесса
равно производной от математического ожидания самого слу-
чайного процесса:
Корреляционная функция производной случайного процесса X(t)
равна второй смешанной производной от его корреляционной
Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и
его производной X’(t) равна частной производной его корреля-
ционной функции по переменной, соответствующей производ-
.
Математическое ожидание производной случайного процесса.
Корреляционная функция производной случайного процесса.
Взаимная корреляционная функция случайного процесса и его производной.