Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ОСР ответы на зачёт

.docx
Скачиваний:
84
Добавлен:
02.04.2019
Размер:
11.31 Mб
Скачать
  1. Понятие случайного процесса. Ансамбль реализаций. Понятие сечения случайного процесса. Функция распределения и плотность вероятности в заданном сечении случайного процесса, их свойства.

Случайным процессом является однопараметровое семейство случайных величин. Параметром является время t ∈ [0,T]. Обозначается: ξ(t). Ансамбль реализаций - несколько случайных процессов. Сечение случайного процесса в момент времени t1 - называется множество его значений во всех реализациях ξk(t1)={ξk(t1)}.

  1. Одномерные и многомерные функция и плотность распределения. Свойства. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях.

  1. Условная плотность распределения. Факторизация многомерной функции распределения. Условие независимости. Марковские случайные процессы.

  1. Статистическое усреднение и моментные функции случайного процесса. Начальные и центральные моменты функции. Смешанные моменты функции.

  1. Функции корреляции и ковариации и их свойства. Коэффициент корреляции. Физический смысл коэффициента корреляции. Диаграмма рассеяния. Независимость и некоррелированность случайного процесса в двух сечениях.

Среди множества функций, описывающих изменение СП во времени, особого внимания заслуживает корреляционная функция (КФ), являющаяся вторым смешанным центральным моментом:

Коэф корреляции - степень линейной зависимости 2-х величин. Он равен нулю при отсутствии зависимости.

Физический смысл и диаграмма рассеяния:

Свойства:

  1. Равенство нулю для статистически независимых значений СП. Это следует из

  2. Симметричность КФ.

  3. Ограниченность КФ.

  4. Положительная определенность. Для КФ она заключается в том, что для любой детерминированной вещественной функции g(t) имеет место неравенство

Понятие стационарности СП - означает независимость характеристик СП от выбора начала отсчетов времени.

2 СП называются некоррелированными, если КФ=0. Из независимости следует некоррелированность, но обратное не всегда.

Функция ковариации

свойства ( эти взяты из оти, а так свойства такие же, как и у корреляции)

  1. Характеристическая функция случайного процесса и ее свойства. Многомерный вариант. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях, выраженное через характеристическую функцию. Вычисление моментных функций через характеристическую функцию.

Характеристической функцией (ХФ) называют комплекснозначную функци. вещественных аргументов  , определяемую как результат усреднения:

Подобным образом может быть определена многомерная характеристическая функция:

Свойства:

Вычисление моментных функций:

Условие независимости описывается так же, как и функция распределения (вместо нее используется ХФ)

  1. Характеристическая функция случайного процесса и ее свойства. Многомерный вариант. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях, выраженное через характеристическую функцию. Кумулянты. Вычисление кумулянтов через характеристическую функцию. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Характеристической функцией (ХФ) называют комплекснозначную функци. вещественных аргументов  , определяемую как результат усреднения:

Подобным образом может быть определена многомерная характеристическая функция:

Свойства:

Условие независимости описывается так же, как и функция распределения (вместо нее используется ХФ)

Коммулянты:

Коэффициенты симметрии и асимметрии

  1. Классификация случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина для непрерывных случайных процессов. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Физический смысл.

Классификация СП:

Теорема Винера-Хинчина - энергетический спектр и корреляционная функция СП связаны преобразованием Фурье.

  1. Белый и квазибелый шум. Ковариационная функция белого шума. Тепловой шум. Ковариационная функция случайного процесса с постоянной в ограниченной полосе спектральной плотности мощности.

  1. Нормальный случайный процесс. Многомерная плотность распределения в общем виде. Матрица ковариации. Случай некоррелированных сечений. Некоррелированность и независимость. Кумулянты нормального случайного процесса.

  1.   Нормальный случайный процесс. Многомерная характеристическая функция. Одномерный случай. Случай некоррелированных сечений. Некоррелированность и независимость. Кумулянты нормального случайного процесса.

Нормальный случайный процесс

формула:

Кумулянты нормального случайного процесса:

Коэффициент эксцесса: коэффициент сглаживания кривой распространения около ее моды.

Многомерная характеристическая функция:

  1. Двумерная плотность вероятности нормального случайного процесса, подробный вывод. Коэффициент корреляции, физический смысл. Случай некоррелированных сечений.

Двумерная плотность вероятности:

Немного проще и привычнее:

Коэффициент корреляции:

Физический смысл:

Иными словами: с его помощью оценивают тесноту связи между случайными величинами

Для случая некоррелированных сечений 1) для двумерной плотности вероятности:

2) для коэффициента корреляции:

Значение коэффициента корреляции близко к 0

  1. Условная плотность распределения нормального случайного процесса. Условное математическое ожидание, условная дисперсия. Изменение формы графика плотности распределения в зависимости от степени корреляции случайного процесса в двух сечениях. Некоррелированный случай. Случай абсолютной корреляции.

Условная плотность распределения нормального случайного процесса. Условное математическое ожидание, условная дисперсия.

Изменение формы графика плотности распределения в зависимости от степени корреляции случайного процесса в двух сечениях. Некоррелированный случай. Случай абсолютной корреляции.

На рисунке видно, что хотя пространство состояний обоих процессов практически одно и то же, динамика развития процессов в реализациях существенно различается. Единичные реализации коррелированных процессов в произвольный момент времени могут быть такими же случайными, как и некоррелированных, а в пределе, во всех сечениях оба процесса могут иметь один и тот же закон распределения случайных величин. Однако динамика развития по координате t (или любой другой независимой переменной) единичной реализации коррелированного процесса по сравнению с некоррелированным является более плавной, а, следовательно, в коррелированном процессе имеется определенная связь между последовательными значениями случайных величин. Оценка степени статистической зависимости мгновенных значений какого-либо процесса Х(t)в произвольные моменты времени t1 и t2 и производится функцией корреляции. По всему пространству значений случайного процесса X(t) корреляционная функция определяется выражением:

RХ(ti,tj) =x(ti)x(tj) p(xi,tj; xi,tj) dxi dxj

  1. Линейные преобразования случайных процессов. Математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса на выходе линейной системы. Стационарность случайного процесса на выходе линейной системы.

Стационарность случайного процесса на выходе линейной системы.

  1. Линейные преобразования случайных процессов. Спектральная плотность мощности случайного процесса на входе и на выходе линейной системы. Метод измерения амплитудно-частотной характеристики линейной системы.

  1. Линейные преобразования случайных процессов. Корреляция случайных процессов на входе и на выходе линейной системы. Метод измерения импульсной характеристики линейной системы.

(Про корреляцию в предыдущем пункте)

  1. Линейные преобразования случайных процессов. Нормализация случайных процессов на выходе линейной системы, - что под этим понимается; условия, при которых она выполняется; как происходит.

  1. Линейные преобразования случайных процессов. Корреляция случайных процессов на выходе линейных систем, при подаче на их вход стационарного случайного процесса. Условие некоррелированности случайных процессов на выходе двух линейных систем.

  1. Условие непрерывности случайных процессов в среднеквадратическом смысле.

Условие дифференцируемости случайных процессов в среднеквадратическом смысле.    

Свойства производной случайного процесса

Математическое ожидание производной случайного процесса

равно производной от математического ожидания самого слу-

чайного процесса:

Корреляционная функция производной случайного процесса X(t)

равна второй смешанной производной от его корреляционной

Взаимная корреляционная функция случайного процесса X(t) и

его производной X(t) равна частной производной его корреля-

ционной функции по переменной, соответствующей производ-

.

Математическое ожидание производной случайного процесса.

   

Корреляционная функция производной случайного процесса.

Взаимная корреляционная функция случайного процесса и его производной.