Лаб №7

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра КСУ

отчет

по лабораторной работе №7

по дисциплине «Проектирование оптимальных систем управления»

Тема: Задача максимального быстродействия. Объект 3 порядка

Вариант 1

Санкт-Петербург

2018

Решение задачи

Задание: Необходимо определить набор моментов переключения знака управляющего воздействия, который необходим для перевода объекта из состояния [10 0 0] в состояние [0 0 0], а также определить момент выключения управления.

Модуль управляющего воздействия не может превосходить 1.

Кроме определения моментов переключения необходимо построить графики зависимости состояний объекта и управления от времени, соответствующие оптимальному переходу из начального состояния в конечное.

Вариант	Объект управления
1

Решение задач управления по критерию максимального быстродействия резко усложняется с повышением порядка дифференциальных уравнений, описывающих объект управления.

Основным методом решения задачи максимального быстродействия для объектов, описываемых дифференциальными уравнениями выше второго порядка, является поиск моментов переключения. Для случая объекта 3 порядка, собственные числа которого являются вещественными (вычисление корней ХП приводится дальше в тексте работы) задача поиска может быть сформулирована следующим образом:

Требуется найти такие значения параметров , и , где и моменты переключения знака управляющего воздействия, а - момент выключения управления, при которых расстояние между изображающей точкой, соответствующей моменту и требуемым конечным состоянием объекта, было бы минимальным. Практика выполнения расчетов показывает, что зависимость точности обеспечения заданных конечных условий от набора моментов переключения носит очень сложный характер и содержит большое количество локальных экстремумов. В таких условиях существенно возрастает значение выбора начальной точки поиска.

Одним из возможных способов определения начальной точки поиска является решение промежуточной задачи максимального быстродействия для усеченного объекта 2 порядка. Возможность рассмотрения усеченной задачи обусловливается тем, что уравнения для и не зависят от .

Объект управления описывается следующими уравнениями:

где , , - состояния объекта управления, - управляющее воздействие, - момент времени перевода объекта в конечное состояние.

Собственными числами матрицы А являются корни характеристического полинома:

Характеристический полином имеет следующие корни:

Собственные числа рассматриваемого объекта являются вещественными, следовательно, в соответствии с теоремой об интервалах, для управления этим объектом управляющее воздействие должно быть максимально по модулю и менять знак 2 раза.

Очевидно, также, что оптимальной траектории с заданными граничными условиями на плоскости соответствует замкнутая кривая, на которой находятся две точки переключения.

На первом этапе решения задачи выберем первую точку переключения произвольно =10. При выбранном значении момент второго переключения и момент выключения управления могут быть однозначно определены с помощью построения линии переключения в плоскости методом обратного времени.

Порядок определения моментов следующий:

• производим построение линии переключения в фазовой плоскости методом обратного времени;

• произвольно выбираем момент переключения t_1;

• момент переключения t_2 подбираем так, чтобы соответствующая этому значению траектория прикоснулась к линии переключения (или была достаточно близка к ней);

• момент выключения управления Т подбираем так, чтобы в этот момент времени фазовая траектория пришла в требуемую конченую точку x_2=0 x_3=0

Ниже представлены MATLAB скрипты, с помощью которых организуется подбор значений времени второго переключения и времени отключения управления.

Файл main7.m:

global t1 t2 T

% Построение линии переключения в плоскости x2x3 c

% использованием обратного времени

% окончание временного интервала выбрано с учетом масштаба ФТ

[t,x] = ode45('odefun7', [0 0.5], [0 0 0]);

figure

plot(x(:,2),x(:,3),'r')

hold on

% Построение траектории из нач. состояния в прямом времени

t1 = 6.06;

t2 = 7.549;

T = 15.0;

[t,x] = ode45('odefun7_2',[0 T],[10 0 0]);

plot(x(:,2),x(:,3),'b')

xlabel('x2')

ylabel('x3')

grid

text(-1.0,0.8);

text(-1.92,0.2);

% построение графиков переходных процессов

figure

plot(t, x(:,1), t, x(:,2),'.-.', t, x(:,3),'.')

grid

xlabel('t')

ylabel('x1,x2,x2')

legend('x1','x2','x3')

Файл odefun7.m:

function f = odefun7(t,x)

f = [-x(2);-x(3);x(2)+2*x(3)+1];

Файл odefun7_2.m:

function f = odefun7_2(t,x)

global t1 t2 T

if t < t1

u = -1;

elseif t < t2

u = 1;

else

u = -1;

end

if t > T

u = 0;

end

f = [x(2);x(3);-x(2)-2*x(3)+u];

Поскольку момент был выбран произвольно конечное состояние объекта управления по состоянию будет отличаться от заданного. Обозначим его .

На рисунке 1 представлена фазовая плоскость, на которой изображены линия переключения и траектория перехода объекта управления в точку промежуточного финиша [ 0 0]. На рисунке 2 изображены графики переходных процессов.

Рисунок 1 – Фазовая траектория перехода ОУ в промежуточное состояние

Рисунок 2 – Графики переходных процессов

Выполненные с помощью программы расчеты показали, что набор моментов переключения t₁=6.06, t₂=7.549 T=15.0 позволяет перевести объект в точку промежуточного финиша с координатами [-0.03587 -0.002721 -0.02901].

Полученный набор точек переключения и координаты точки промежуточного финиша использовались для уточнения набора точек переключения и координат точки промежуточного финиша методом поиска, реализованного в следующей программе.

Файл main7_2.m:

% переменная x используется для наблюдения за конечным положением ПС

global x

t0 = [6.06 7.549 15.0]

T = fminsearch('fmsfun7_2_1',t0)

Файл fmsfun7_2_1:

function f = fmsfun7_2_1(T)

global TT x

TT = T;

[t,x] = ode45('odefun7_2_1',[0 T(3)],[10 0 0]);

xf = [-0.03587 -0.002721 -0.02901];

f = (x(length(t),1)-xf(1))^2+(x(length(t),2)-xf(2))^2+(x(length(t),3)-xf(3))^2;

%plot(x(:,2),x(:,3),'b')

plot(t,x)

pause(0.1)

Файл odefun7_2_1.m:

function f = odefun7_2_1(t,x)

global TT

if t < TT(1)

u = -1;

elseif t < TT(2)

u = 1;

else

u = -1;

end

if t > TT(3)

u = 0;

end

f = [x(2);x(3);-x(2)-2*x(3)+u];

На первом шаге использовался набор точек переключения t₀ = [6.06 7.549 15.0] и точка промежуточного финиша x_f = [-0.03587 -0.002721 -0.02901] Результатом работы программы был уточненный набор точек переключения [6.06 7.549 15.0].

На втором шаге использовался набор точек переключения, полученный на первом шаге, и новые координаты точки промежуточного финиша . В результате второго шага получен набор точек переключения t = [6.06 7.5486 15.0000], обеспечивающий перевод объекта в конечную точку с приемлемой точностью.

На рисунке 3 изображены графики переходных процессов, соответствующие оптимальному переходу из начального состояния в конечное.

Рисунок 3 – Окончательные графики переходных процессов

Чтобы построить графики зависимости состояний объекта и управления от времени был написан m-файл:

Файл ut.m:

uu = [];

tt = [];

TT = [6.06 7.549 15.0]

for t = 0:0.01:10

if t < TT(1)

u = -1;

elseif t < TT(2)

u = 1;

else

u = -1;

end

if t > TT(3)

u = 0;

end

uu = [uu u];

tt = [tt t];

end

plot(tt,uu,'b')

grid on

xlabel('t'),ylabel('u');

График зависимости управляющего воздействия от времени представлен на рисунке 4.

Рисунок 4 - Зависимость управляющего воздействия от времени