Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Materialy_k_sdache_zacheta_2_semestr_ATP

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
04.04.2019
Размер:
857.1 Кб
Скачать

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 1 из 20

I. Список вопросов к зачету

1.Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. 2.Табличные интегралы. Непосредственное интегрирование.

3.Неопределенный интеграл. Методы замены переменной и интегрирования по частям. 4.Неопределенный интеграл. Простейшие интегралы от дробно-рациональной функции. 5.Интегралы от дробно-рациональной функции. Общий случай.

6.Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Иррациональная функция. 7.Неопределенный интеграл. Методы интегрирования. Тригонометрическая функция. 8.Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.

9.Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла. 10.Методы интегрирования определенного интеграла.

11.Условия существования определенного интеграла.

12.Теоремы об оценках. Теорема о среднем значении определенного интеграла. 13.Определения и свойства несобственных интегралов.

14.Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов.

15.Критерий сходимости несобственных интегралов. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

16.Применение определенных интегралов к геометрическим задачам. Вычисление площадей. 17.Применение определенных интегралов к геометрическим задачам. Вычисление объемов. 18.Применение определенных интегралов к геометрическим задачам. Длина дуги (декартовы,

параметрические и полярные координаты).

19.Применение определенных интегралов к физическим задачам. Масса и координаты центра тяжести плоской пластины. Работа силы.

20.Определение многомерного интеграла и свойства.

21.Геометрический и физический смысл двойного и тройного интеграла (площадь, объём, масса). 22.Оценки для многомерного интеграла. Теорема о среднем.

23.Замена переменной в многомерном интеграле. Якобиан преобразования. 24.Переход от декартовых к цилиндрическим координатам в тройном интеграле. 25.Переход от декартовых к сферическим координатам в тройном интеграле. 26.Определение ряда, сходимость, остаток. Необходимый признак сходимости ряда. 27.Свойства сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Гармонический ряд.

28.Признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов: признаки сравнения, Даламбера, радикальный Коши.

29.Интегральный признак сходимости знакопостоянного ряда. 30.Знакопеременный ряд. Признак Лейбница.

31.Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Дифференцируемость и интегрируемость функционального ряда.

32.Степенные ряды. Теорема Абеля. Действительные аналитические функции. Формула Тейлора и ряды Тейлора.

33.Комплексные числа. Формула Эйлера.

34.Общие понятия теории дифференциальных уравнений.

35.Теорема Коши существования и единственности решения дифференциальных уравнений 1 порядка.

36.Методы решений дифференциальных уравнений (разделение переменных, однородные дифференциальные уравнения, линейные, уравнение Бернулли)

37.Дифференциальные уравнения второго порядка сводимые к первому. 38.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 39.Фундаментальные решения. Определитель Вронского.

40.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 41.Метод вариации произвольных констант.

42.Криволинейные интегралы первого рода на плоскости. 43.Криволинейные интегралы второго рода. Формула Грина.

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 2 из 20

II. Интеграл

II.1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение неопределенного интеграла. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность первообразных: f x dx=F x C (C - произвольная постоянная), где функция

F(x) - первообразная по отношению к f(x), если выполнено условие F'(x) = f(x). Функция f(x) назы­ вается подынтегральной функцией, выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла.

I. Дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные операции:

(1)d f x =f ' x dx = f x C

(2)d f x dx = f x dx ' dx= f x dx

 

II. Свойства линейности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

k f x dx=kf x dx , где k ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

f x g x dx=f x dx g x dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Свойство подобия: f a x b dx=

1

F a x b C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

1.

x

dx=

 

 

 

 

C ,

, ≠−1

;

 

9.

 

 

 

 

 

 

 

=arcsin

 

 

 

C

;

1

 

 

 

 

 

 

a

 

a2x2

2.

dxx =x1 dx=ln x C

;

 

 

 

 

 

10.

 

 

dx

 

 

=

 

1

arctg

 

 

x

 

C

;

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

a

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

e

dx=e

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=ln x x

±a

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

4.

ax dx=

 

 

 

 

 

 

 

, где

a 0, a1

;

 

 

 

 

 

 

x

±a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ln

xa

C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

dx

 

 

=

 

 

5.

sin x dx=−cos x C

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2a2

 

2 a

x a

6.

cos x dx=sin x C

;

 

 

 

 

 

13.

 

 

dx

 

 

=ln tg

x

 

C

;

 

7.

 

 

dx

 

=−ctg x C

;

 

 

 

 

 

sin x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=ln ctg

 

C .

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

 

 

4

 

8.

 

 

 

 

=tg x C

;

 

 

 

 

 

 

cos x

 

2

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула интегрирования по частям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u d v =u vvd u

или

u v' dx=u vv u' dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

Формула «переносит» производную с одной из функций на другую.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула замены переменной:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

dt

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x= t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x dx= dx=

d

dt

=∫ f t

' t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дробно-рациональной функцией (дробью) называется выражение вида

 

 

W =

Pn x

 

 

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qm x

 

Pn x =p0 p1 x p2 x2 pn xn

 

 

Qm x =q0 q1 x q2 x2 qm xm

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

- полиномы порядков

n и m соответственно. Если

m n , то дробно-рациональная функция (дробь) W называется

 

правильной. В противном случае дробь - неправильная и может быть представлена в виде целой

 

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

 

 

стр. 3 из 20

части и правильной дроби: W =Rnm x

Pm1 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qm x

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие дробно-рациональные функции могут быть проинтегрированы:

 

1)

 

dx

=

1

ln ax b C

 

, 2)

 

 

 

dx

 

 

 

= 1 ax b n 1

C

n 1 ,

 

ax b

 

 

ax b

n

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a n 1

 

 

 

 

 

 

 

dx

2

 

 

 

2 a x b

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3)

 

 

=

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

 

C 4 a c b

,

 

 

ax2 bx c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 a cb2

 

4 a cb2

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

b

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

2 a

 

 

 

2 a

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2 n3

 

 

 

ax2 bx c n

4 a cb2 n1

ax2 bx c n1

ax2 bx c n 1

Формула 4) 1понижает степень подынтегральной функции. Последовательно применяя эту формулу можно вычислить интеграл признак произвольной степени подынтегрального выражения.

Интеграл от правильной дроби вычисляют путем разложения дроби на простейшие. Утверждается, что знаменатель любой дробно-рациональной функции может быть записан как произведение полиномов первого и второго порядков. Например,

x5 1= x 1 x22cos /5 x 1 x22cos 3 /5 x 1

x6 1= x2 1 x2 3 x 1 x2 3 x 1 , x8 2 x4 1= x2 2 x 1 2 x22 x 1 2 . После того, как знаменатель дроби представлен в виде произведения полиномов, дробь раскладывают на сумму простейших дробей (3) с помощью метода неопределенных коэффициентов.

II.3. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

II.3.1. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование - это использование свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов.

 

 

 

 

7 x

3 1

2

 

 

 

 

=−7 x3 1

 

 

 

 

 

 

 

d

1

 

 

 

1 7 x3 1

 

 

 

1.

e

 

 

 

x

dx={d =−21 x2 dx }=e

 

 

 

 

 

=−

 

 

e C

 

=−

 

e

 

C

 

 

 

 

 

21

21

21

 

 

 

 

 

9x

 

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1x2

 

1x

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

2.

 

 

 

9x 1x2

dx=

1x2

 

 

 

dx

 

 

dx=

 

 

 

 

 

 

dx 9

dx =

 

 

 

 

 

 

9x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

arcsin x

 

1/9 x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1 /9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.3.2. Интегрирование простейших дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x 7

 

 

 

=5 x26 x 3

 

 

 

=5 x26/5 x 3=5 x3/5 2 6/25

 

3.

 

 

dx={ '=10 x6

3 x 7=A ' B=3/10 10 x6 7 18/10} =

5 x26 x 3

 

 

 

 

3/10 10 x6 88/10

3

 

 

 

 

 

10 x6

88

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

=

 

 

 

5 x26 x 3

 

dx=

 

 

 

 

 

 

dx 10

 

 

=

 

 

 

 

10

5 x26 x 3

5 x3/5 26/25

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

88 1

 

 

 

1

 

 

 

ln

x3 /5

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

6/25

 

 

 

 

 

=

 

 

ln 5 x

 

6 x 3 10 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

2

 

 

x3 /5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 /25

 

6/25

 

 

 

 

 

 

32 x

=2 x2 8 x 9

=2 x2 4 x 9=2 x 2 2 1/2

 

4.

 

dx={

'=4 x 8

 

32 x=A ' B=−2/4 4 x 8 3 16/ 4

} =

2 x2 8 x 9

 

 

 

1 /2 4 x 8 7

1

 

4 x 8

7

 

dx

 

=

2 x2 8 x 9

 

dx=−2

 

dx

 

 

=

 

 

2 x2 8 x 9

2

2 x 2 2 1/2

 

1 Формула 4) приводится только для сведения

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 4 из 20

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2 x2

 

8 x

 

9

 

 

7 1

 

 

 

 

1

 

arctg

 

x 2

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

1 /2

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.3.3. Интегрирование простейших иррациональностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

3 x 7

 

 

 

 

 

 

dx=

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 x6

dx

88

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x

2

6 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

6 x 3

5 x3

/5

2

/25

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2 5 x

 

6 x 3 10

 

 

 

 

 

 

 

ln x3/5 x

3 /5

6 /

25 C

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

32 x

 

 

 

 

 

 

dx=−

1

 

 

 

 

 

 

 

4 x 8

 

 

dx

7

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

2

8 x

 

 

 

 

 

 

2 x

2

8 x 9

 

 

 

 

2

1 /2

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x 2 x 2

 

2

1/2 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2

2 x

8 x 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II.3.4. Интегрирование по частям

При интегрировании по частям следует руководствоваться следующей таблицей, в которой показано, какие именно функции следует выбирать как u(x), а какие - включать в dv/dx.

[

dv/dx

u

]

 

 

xn

(4)

ex ,ax

ln x , loga x

sin x , cos x

arcsin x , arccos x

 

tg x , ctg x

arctg x , arcctg x

 

Степенная функция стоит особняком; если подынтегральное выражение содержит помимо степенной и показательную функцию, то степенная включается в u(x); если подынтегральное выражение со­ держит помимо степенной и логарифмическую функцию, то степенная включается в dv/dx .

 

 

 

 

 

 

 

4 3 x

 

 

{

 

 

 

u=2 x 5

 

 

 

du=2 dx

 

3

 

}

 

 

 

 

 

 

e43 x

 

 

e43 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

2 x 5 e

 

 

dx=

 

dv=e

4 3 x

dx v

e

43 x

dx =

e

 

 

 

 

= 2 x 5

3

 

3

2 dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 5 e43 x 2

e4 3 x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

P x ekx dx=P x e

 

 

 

 

 

P ' x e

2 P ' ' x

e

P ' ' ' x e

 

4 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

2

 

 

k

}

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u=ln x 1

du=

dx

=ln x 1

x

2

x

x

2

x

 

dx

 

9.

 

x1 ln x 1 dx=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

=

 

 

 

dv = x 1 dx v=

x2

x

2

2

x 1

 

 

{

x22 x

=

x 1 1 22 x 1 1

= x 1 4

 

 

3

 

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x 1

x2

 

1

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

2 x

2

2 3 x 3ln x 1 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

 

 

стр. 5 из 20

II.4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение определенного интеграла. Опре­

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

деленным интегралом

 

f x dx

от

 

 

 

I =

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

функции f(x) на отрезке [a; b] называется пре­

 

 

 

дел интегральной суммы

I =lim n

, если

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

этот предел существует. Интегральная сумма

 

 

 

n

 

(на рисунке площадь,

 

 

 

n =f k xk

 

 

 

k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

отвечающая интегральной сумме выделена

 

 

 

цветом), где xk {k=1,2 , n} - множе­

 

 

 

ство из n отрезков, на которые разбивается от­

 

 

 

резок [a; b], точки k xk

, диаметр раз­

 

 

 

биения

n=max x k (на рисунке все от­

 

 

 

 

k=1,n

 

 

 

 

Рисунок 1. Пример составления инте­

резки разбиения выбраны равными, в этом

гральной суммы при числе точек

случае диаметр равен длине отрезка разбие­

разбиения равном 6 (n=7).

ния). Геометрический смысл определенного

 

 

 

интеграла от знакоположительной функции -

это площадь фигуры, заключенной между осью абсцисс и графиком функции.

 

 

 

 

Свойства определенного интеграла.

 

 

 

 

 

 

I. При изменении направления интегрирования интеграл меняет знак:

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

f x dx

 

 

 

 

 

 

 

f x dx=−

 

 

 

 

 

 

ba

II.Свойства линейности:

 

b

b

 

 

 

(1)

k f x dx=kf x dx , где

k ;

 

 

 

a

a

 

 

 

 

b

b

b

 

 

(2)

f x g x dx=f x dx g x dx (аддитивность по функции);

 

 

a

a

a

 

 

 

 

 

b

с

b

III. Свойство аддитивности по мере интегрирования: f x dx=f x dx f x dx

 

 

 

a

a

с

Формула Ньютона-Лейбница. Если на отрезке [a; b] существует непрерывная первообразная F(x) функции f(x), то определенный интеграл от этой функции можно вычислить по формуле

b

 

f x dx=F x ab=F b F a

(5)

a

c [a ;b ] такое,

Теорема о среднем:. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то

b

 

что f x dx= f c ba .

 

a

 

II.5. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ К ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ.

Таблица 1.Вычисление площади

Система

Задание кри­

Площадь S

Область

координат

вой

 

 

 

 

 

 

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 6 из 20

Декартовы

y= f x

,

b

 

 

f x dx

координаты

axb

 

 

 

a

 

=

,

2

2

Полярные

 

 

d

координаты ≤ ≤

2

1

2

 

1

 

 

Параметри­

x=x t ,

,

t 2

ческое зада­

{y= y t .

 

y t dx dt

ние кривых

 

 

dt

t1tt2

 

t 1

 

 

 

Таблица 2.Вычисление длины дуги

Система

Задание кри­

 

 

Длина дуги L

 

 

Область

координат

вой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Декартовы

y= f x

,

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 f ' x

2

dx

 

 

координаты

axb

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полярные

=

,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

d

 

координаты

≤ ≤

 

 

'

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметри­

{xy==xy tt ., ,

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx 2

 

dy

2

dt

 

 

ческое зада­

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

ние кривых

t1tt2

 

t 1

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление объемов и площади поверхности тела вращения.

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 7 из 20

Рисунок 2.Вычисление объемов фигур

Вычисление объема тела с использованием определенного интеграла (рис.2(а)):

b

 

S x dx . (6)

V =

a

 

Вычисление объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции (рис.2(б)):

b

 

V т.вр.=f 2 x dx

(7)

a

 

Вычисление площади поверхности тела вращения (рис.2(б)):

b

 

Sпов. т.вр.=2 f x 1 f ' x 2 dx

(8)

a

II.6. МНОГОМЕРНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определение двойного интеграла. Рассмотрим гладкую поверхность

z= f x , y , заданную на правильной области D на плоскости Oxy.

Разобьем область D на n элементарных площадок S i , i=1,2, n . На каждой площадке выберем точку M i . Пусть d i -

наибольшее расстояние между 2 точками, при­ надлежащими одной элементарной области

S i . Тогда число

n=max {d i }

называ­

 

i=1,n

 

ется диаметром разбиения области D. Двойным интегралом от функции z= f x , y по области D называется предел интегральной

 

n

суммы

n =f M i Si при условии

 

i=1

n

и n 0 :

f x , y dx dy=

D

(9)

= f M dS =lim n

Dn

n 0

Рисунок 3. К определению двойного интеграла

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 8 из 20

Свойства двойного интеграла.

 

 

 

1. Число можно вынести за знак двойного интеграла:

 

 

k f M dS =k f M dS ,

k

 

(10)

 

D

D

 

 

 

2. Двойной интеграл аддитивен по функции:

 

 

 

f M g M dS = f M dS g M dS

(11)

 

D

D

D

 

 

3. Двойной интеграл аддитивен по мере интегрирования:

 

 

f M dS = f M dS f M dS ,

D1D2=

(12)

 

D1 D2

D1

D2

 

 

Для двойного интеграла справедливы теоремы об оценках. В частности, теорема о среднем:

Пусть

z= f x , y

- непрерывная функция, заданная на правильной области D на плоскости Oxy.

Тогда

N D ,

f M dS = f N S D , где S D

- площадь области D.

 

 

 

D

 

 

 

Геометрический смысл двойного интеграла от знакоположительной функции: определяет объем, за­ ключенный под поверхностью z= f x , y .

Определитель Якоби и его геометрический смысл. Функциональный определитель

 

D x , y

 

x

x

 

 

 

u

v

 

J x , y ;u ,v =

 

=

uy

vy

(13)

D u ,v

называется определителем Якоби. Он показывает отношение элементарных площадей при переходе

от одной системы координат к другой: dx dy= D x , y dudv D u ,v

Формула замены переменных в двойном интеграле:

 

f x , y dx dy= x=x u ,v =

 

f x u ,v , y u ,v

D x , y

dudv

(14)

 

 

 

{y= y u ,v }

 

 

 

D u ,v

D

 

 

G

 

 

 

Например, при переходе от декартовых координат к полярным,

x= cos , y= sin ,

J x , y , , =

cos

sin

 

= ,

f x , y dx dy= f cos , sin d d .

 

sin

cos

 

D

 

G

 

II.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

 

(ПЛОЩАДЬ, ОБЪЁМ, МАССА).

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить площадь плоской фигуры можно по формуле

S D = dx dy . Вычислить объем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

фигуры, заключенной между областью D на плоскости Oxy и поверхностью z = f x , y , можно

по формуле V = f x , y dxdy (Геометрический смысл двойного интеграла).

D

Масса тонкой пластинки, занимающей область D на плоскости Oxy , равна

m= x , y dx dy

, где x , y

- плотность пластинки (масса на единицу площади).

D

 

 

Масса фигуры, занимающей область D в трехмерном пространстве, может быть вычислена по

формуле m= x , y , z dx dy dz

, где x , y , z - плотность фигуры (масса на единицу

D

 

 

объема).

 

 

Положение центра масс тонкой пластинки, занимающей область D на плоскости Oxy , вычис­

 

 

 

r x , y dxdy

 

ляется по формуле

r

=

D

. В координатном представлении эта формула имеет вид

x , y dx dy

C

 

D

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 9 из 20

{ x x , y dx dy xC= D x , y dx dy

D

y x , y dx dy yC= D x , y dx dy

D

 

1

 

x x , y dx dy

 

{

 

x dx dy

 

 

1

 

x dx dy

=

 

 

xC=

D

 

=

 

 

m

 

dx dy

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

S D D

 

 

 

 

 

. Или

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y dx dy

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y x , y dx dy

 

 

 

 

1

y dx dy

=

 

 

 

yC=

D

 

 

=

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

m D

 

 

dx dy

 

 

 

S D D

если

x , y =const (плотность постоянна)

 

 

 

 

 

 

 

Для объемной или линейной фигуры формулы записываются аналогично.

 

II.8. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ. ТЕОРЕМА О НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО

 

ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

 

 

 

 

 

Определение криволинейного интеграла.

 

M x , y L

 

 

 

 

Рассмотрим отрезок L гладкой кривой. Пусть

определены и непрерывны функции

P M

и Q M . Разобьем L на n элементарных отрезков

li

, i=1,2, n

. Обозначим

xi

и

yi проекции отрезка

li

на оси Ox и Oy соответственно. На каждом отрезке

выберем точку

M i xi ; yi

. Пусть

d i

- наибольшее расстояние между 2 точками,

 

принадлежащими одному элементарному отрезку

li . Тогда число

n=max {di }

называется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1,n

P M и

диаметром разбиения области L. Криволинейным интегралом второго рода от функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

Q M

по кривой L называется предел интегральной суммы

n =P M i xi Q M i yi

при условиях

n , n 0

, если этот предел существует:

i=1

 

 

 

 

 

 

P M dx Q M dy=P x , y dx Q x , y dy=lim n

 

 

 

 

L

 

 

L

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Криволинейный интеграл второго рода имеет те же свойства, что и определенный интеграл.

 

Свойства криволинейного интеграла.

 

 

 

 

 

 

 

I. При изменении направления интегрирования интеграл меняет знак:

 

 

P x , y dx=−P x , y dx

 

 

 

 

 

 

 

 

BA

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Свойства линейности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

k P x , y dx=k P x , y dx , где

k ;

 

 

 

 

 

 

AB

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

P x , y R x , y dx=P x , y dx R x , y dx

(аддитивность по функции);

 

 

AB

 

 

 

AB

 

 

AB

 

 

 

 

 

III. Свойство аддитивности по мере интегрирования:

 

 

 

 

P x , y dx=P x , y dx P x , y dx

, где точка C лежит на отрезке кривой AB.

AB

 

 

AC

CB

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3: Сведение криволинейного интеграла к определенному

Система координат

Задание кривой

I =P x , y dx Q x , y dy

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

b

 

y= f x ,

axb

I = P x , f x Q x , f x f ' x dx

Декартовы коорди­

 

 

 

 

a

наты

 

 

y2

 

x=g y , y1yy2

I =P g y , y g ' y Q g y , y dy

 

 

 

y1

Рисунок 4. Обозначения криволинейных интегралов по замкнутому контуру

D.S.: Материалы к сдаче зачета по математике. АТП, 2 семестр

стр. 10 из 20

Параметрическое

x =x t ,

 

t2

 

P x t , y t dx

Q x t , y t dy

 

 

, t1tt2

I =

dt

задание кривой

{y=y t .

 

t1

dt

dt

 

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру обозначается кружком на символе интегра­ ла. Как показано на рисунке, направление обхода контура против часовой стрелки считается положительным, по часовой - отрицательным.

Теорема о независимости криволи­ нейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Пусть функции P x , y и

Q x , y непрерывно дифференцируе­ мы в области D. Тогда, если справедливо одно из следующих утверждений, то спра­ ведливы и все остальные:

(1)Интеграл

P x , y dx Q x , y dy по лю­

АВ

бой кусочно гладкой кривой AB, целиком лежащей в области D, не зависит от пути интегрирова­ ния, а только от начальной и конечной точек кривой.

(2)Для любого кусочно гладкого замкнутого контура L, целиком лежащего в области D,

P x , y dx Q x , y dy=0

 

L

 

 

 

dU =Pdx Q dy

(3)

На области D существует такая дифференцируемая функция U , что

 

 

 

P

Q

 

(4)

Всюду в области D выполняется соотношение

y =

x

 

 

III. Ряды

 

 

 

 

 

III.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение ряда: Рядом называется выражение вида

an , где

{a1, a2, ... ,an ,...} – по­

 

 

Sn =a1 a2 ... an

 

n=1

 

следовательность членов ряда.

n-ная частичная сумма ряда;

 

 

 

 

 

Rn = ak=an 1 an 2 ...

– остаток ряда.

 

 

 

k=n 1

Члены знакоположительных числовых рядов – неотрицательные числа ( an0 ). Если это условие не выполняется, то числовой ряд – знакопеременный.

 

 

 

Определение сходящегося числового ряда: Ряд

A=an

 

 

n =1

 

существует конечный предел его частичных сумм:

lim S n= A 0

n

 

 

суммой ряда А.

lim an=0

 

Необходимый признак сходимости ряда А:

.

n

 

называется сходящимся, если

A . Число А называется

Критерий Коши – необходимый и достаточный признак сходимости ряда: Ряд A=an

n =1

сходится, если