Лабы / Метрология ЛР3

Оглавление

2

1. Теоретические сведения

1.1.Основные определения

Наблюдение - экспериментальная операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно значение из группы значений величины, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения.

Совокупность результатов наблюдений, полученных в процессе одного измерения,

называется выборкой наблюдений.

Сами результаты наблюдений могут быть получены в процессе выполнения измерения любого вида (прямые, косвенные, совокупные, совместные) как по методу непосредственной оценки, так и по методу сравнения с мерой.

Промахи - грубые погрешности, обусловленные субъективными факторами (невнимательность оператора и др.) и не являющиеся объективной характеристикой измеряемой величины.

Грубая погрешность - погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность.

Результаты измерений с многократными наблюдениями, как и сами наблюдения, являются случайными величинами, поскольку имеют погрешности, распределенные случайным образом.

Доверительные границы погрешности результата измерений - верхняя и нижняя границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью погрешность измерения.

Доверительные границы A(без учета знака) случайной составляющей погрешности результата измерения находят по формуле:

где ~ A - оценка среднего квадратичного отклонения результата измерения, tPд,n - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Pд и числа n результатов наблюдений. Рекомендуемое значение доверительной вероятности Pд = 0,95%.

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения ~[А] находится по формуле:

1.2.Методика обработки выборки

Методику обработки результатов наблюдений, полученных в процессе проведения измерений с многократными наблюдениями, определяет ГОСТ Р-8736-2011 следующим образом.

В качестве значения результата измерений принимается оценка математического ожидания результатов наблюдений - их среднее арифметическое:

3

где xi - значения наблюдений в выборке, n - количество наблюдений в выборке.

Для определения промахов используют правило «трех сигм», так как при нормальном законе распределения случайной величины вероятность нахождения ее значений вне интервала

результатов наблюдений; ~ - оценка среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений.

Среднее квадратичное отклонение результатов наблюдений - параметр функции распределения результатов наблюдений, характеризующий их рассеивание и равный корню

квадратному из дисперсии D[x] результатов наблюдения (с положительным знаком):

Чтобы определить примерный характер распределения необходимо первым делом построить гистограмму, где рациональное количество интервалов гистограммы можно оценить по формулам:

L log2 n 1 - критерий Старджеса;

L 5 lgn - критерий Брукса и Каррузера;

L n - критерий Хайнхольда и Гаеде.

Для проверки гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному

распределению, ГОСТ Р 8736-2011 рекомендует использовать критерий согласия 2 Пирсона, который основан на сравнении двух гистограмм: практической из выборки наблюдений и теоретической из предположения, что наблюдения действительно распределены по

В соответствии с критерием 2 Пирсона нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу,

если выполняется условие 2 теор(q,k) 2 2 теор(q,k), где 2 теор определяется из таблицы

распределения 2 ; q - уровень значимости выбирается равным 0,05 и 1-0,05 - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии принятия решения отвергнуть проверяемую гипотезу; k - число степеней свободы, k = L–3 для нормального распределения.

Случайная погрешность, приписываемая значению результата измерений, может быть представлена в виде доверительного интервала, в котором с доверительной вероятностью Pд находится истинное значение измеряемой величины.

4

1.3.Запись результата

Результат измерения должен быть записан в соответствии с требованиями МИ 1317-86 с учетом количества значащих цифр, заслуживающих доверие:

результат измерений представляется именованным или неименованным числом;

совместно с результатом измерений должны быть представлены характеристики его погрешности;

характеристики погрешности измерений могут быть представлены в виде границ интервала, в пределах которого погрешность измерений находится с заданной вероятностью;

характеристики погрешности измерений, представленные в виде границ интервала, должны сопровождаться указанием вероятности, с которой они получены;

характеристики погрешности выражаются числом, содержащим не более двух значащих цифр;

наименьшие разряды числовых значений результатов измерений должны быть такими же, как наименьшие разряды характеристики погрешности;

представление результатов измерений, полученных как среднее арифметическое значение результатов многократных наблюдений, должно сопровождаться указанием числа наблюдений.

Определить в результате измерения количество значащих цифр n, заслуживающих доверие можно по следующим формулам:

2 A b 10 ,1 b 10,

A ak10k ak 110k 1 ... ak m10k m, n k .

где А - это оценка истинного значения величины, которая сначала представляется в виде действительного числа от 1 до 10 кратное 10 в степени, а после разложенное в многочлен по степеням 10.

5

2. Выполнение работы

Расчёт параметров выборок производился с помощью ПО Excel и Matlab

2.1.Выборка №1

2.1.2. Проверка наличия промахов в выборке

Т.к. закон распределения предположительно нормальный, воспользуемся правилом «трёх

сигм».

~ x = 4,44501*10-5

3*~ x = 0,00013335

Новая выборка не содержит промахов.

2.1.3. Проверка гипотезы о нормальности распределения

Для проверки гипотезы предпочтительным является критерий 2 Пирсона.

Критерий согласия 2 Пирсона основан на сравнении двух гистограмм: практической и теоретической.

Определим приближённое количество интервалов гистограммы по критерию Хайнхольда и Гаеде = [√], L = 55.

За левую границу интервала примем наименьшее значение наблюдаемой выборки

(2,754749769).

Рисунок 1. Гистограмма практическая и теоретическая для выборки №1

Nj - практическое количество попаданий.

Nj - теоретическое количество попаданий.

Таблица 1. Вычисление теоретического хи-квадрат

= 73,96494185

2 теор(q,k) 2 2 теор(q,k)

36,43709324 73,96494185 ≥ 69,83216034

Таким образом, отвергаем гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения.

доверительные границы интервала случайной составляющей погрешности результата измерения.

8

[ ] = ̅= √[ ] = 7,94652E-07

A tP ,n ~[A], где t – коэффициент Стьюдента, рассчитанный при помощи калькулятора вероятностей.

t = 1,96072731016

Приняв доверительную вероятность 95%, получаем ∆ = 1,5581E-06.

Сравним полученные значения доверительного интервала с практическими:

A − ∆ = 2,754876635

Confid - 5% = 2,617134283

A +∆ = 2,754879751

Confid + 5% = 2,892622103

Значения не совпадают.

Определим количество значащих цифр, заслуживающих доверие:

2 A b 10 ;1 b 10 3,11619E-06 = ∙10

=-6;

A ak 10k ak 1 10k 1 .......

2,754878193 = 2∙10 +7∙10 + +8 10 k=0;

n=k- =6; A=2,7548778

∆ = 1,5581E-06

− ∆ = 2,754876

+∆ = 2,754879

Запись результата измерений в соответствии с МИ 1317-86:

9

A=2,7548778 1,5581E-06

Доверительная вероятность P =0,95,

Количество испытаний N=3110.

2.2.Выборка №2

Основные характеристики выборки:

Проверка наличия промахов в выборке:

Т.к. закон распределения предположительно нормальный, воспользуемся правилом «трёх сигм».

~ x = 5,95882E-05

3*~ x = 0,000178765