Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ex3_20180528.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
10.04.2019
Размер:
172.15 Кб
Скачать

Список вопросов к экзамену по численным методам (28 мая 2018г.)

0.1Численное интегрирование

1. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную

R1

формулу для вычисления интеграла с точностью " = 10 3: 1+lnxx2 dx.

0

2. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную

1R

формулу для вычисления интеграла с точностью " = 10 2: 1+thxx2 dx.

4

3. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную

формулу для вычисления интеграла с точностью " = 10 3: 1R 2 sin2x dx.

1+x

1

4. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную

формулу для вычисления интеграла с точностью " = 10 3: R1 cos x dx.

p

x

0

5. Перечислить приёмы вычисления несобственных интегралов. Построить квадратурную

формулу для вычисления интеграла с точностью " = 10 3: 1R e x2 dx.

0

6.Устойчивость формул Ньютона-Котеса к погрешностям входных данных для различных n. Доказать, что формула трапеций устойчива к погрешностям входных данных.

7.Устойчивость формул Ньютона-Котеса к погрешностям входных данных для различных n. Доказать, что формула Симпсона устойчива к погрешностям входных данных.

8.Применение метода Рунге для оценки качества численного значения интеграла. Иллюстрировать работу метода на примере формулы Симпсона.

9.Применение метода Рунге для оценки точности численного значения интеграла. Иллюстрировать работу метода на примере формулы трапеций.

10.Применение метода Рунге для оценки точности численного значения интеграла. Иллюстрировать работу метода на примере формулы правых прямоугольников.

0.2Линейная алгебра 1

1.Опишите работу метода прогонки. Придумать невырожденную систему из трёх уравнений с трёхдиагональной матрицей. С помощью метода прогонки найти решение СЛАУ.

2.Доказать, что метод прогонки устойчив к погрешностям входных данных. Придумать трёхдиагональную матрицу A размера 3 3 и вектор f размера 3 1. Рассчитайте прогоночные коэффициенты и .

3.Перечислить прямые и итерационные методы решения СЛАУ. Придумать невырожденную систему из трёх уравнений с ненулевыми коэффициентами. Применить метод Гаусса.

4.Опишите работу метода Гаусса. Для чего в метод Гаусса добавляют выбор главного элемента? Какие есть способы выбора главного элемента? Придумать невырожденную систему из трёх уравнений с ненулевыми коэффициентами. Применить метод Гаусса с выбором главного элемента по строкам.

5.Число обусловленности квадратной матрицы. Свойства числа обусловленности. Придумайте матрицу размера 2 2. Найдите число обусловленности этой матрицы в норме

1.

6.Число обусловленности квадратной матрицы. Свойства числа обусловленности. Придумайте матрицу размера 2 2. Найдите число обусловленности этой матрицы в норме

1.

7.Число обусловленности квадратной матрицы. Вывести зависимость погрешности решения СЛАУ Ax = f в зависимости от погрешности входных данных (то есть A и f) и числа обусловленности матрицы.

8.Число обусловленности квадратной матрицы. Написать зависимость погрешности решения СЛАУ Ax = f в зависимости от погрешности округлений при арифметических операциях и числа обусловленности матрицы. Привести пример оценки погрешности для системы из 104 уравнений и числа обусловленности 103.

9.Проиллюстрируйте необходимость разработки численных методов решения задач линейной алгебры на примере вычисления определителя. Предложите метод вычисления определителя, пригодный для работы на компьютере.

10.Перечислить прямые и итерационные методы решения СЛАУ. Сколько арифметических операций требуют эти методы для получения ответа? Как зависит выбор того или иного метода в зависимости от числа уравнений в системе (ответ обосновать)?

0.3Линейная алгебра 2

1.Опишите работу метода Якоби. Придумать невырожденную систему из двух уравнений так, чтобы в матрице коэффициентов было диагональное преобладание. Сделать две итерации метода Якоби.

2.Опишите работу метода Якоби. Сформулируйте и докажите достаточное условие применимости метода Якоби.

3.Опишите работу метода Якоби. Получите канонический вид метода Якоби.

4.Опишите работу метода Зейделя. Придумать невырожденную систему из двух уравнений так, чтобы в матрице коэффициентов было диагональное преобладание. Сделать две итерации метода Зейделя.

5.Опишите работу метода Зейделя. Получите канонический вид метода Зейделя.

6.Опишите принцип построения итерационных методов решения СЛАУ. Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условии сходимости итерационных методов решения СЛАУ.

7.Опишите принцип построения итерационных методов решения СЛАУ. Сформулируйте теорему о необходимом достаточном условии сходимости итерационных методов решения СЛАУ.

0.4Дифференциальные уравнения 1

1.Типы задач для дифференциальных уравнений. Понятие разностной схемы. Переход от дифференциальной задачи к разностной схеме. Придумайте краевую задачу и составьте для неё разностную схему.

2.Типы задач для дифференциальных уравнений. Понятие разностной схемы. Погрешность численного решения дифференциального уравнения. Порядок погрешности решения дифференциального уравнения. Придумайте задачу Коши. Выберите шаг h. Найдите погрешность решения методом Эйлера на втором шаге.

3.Типы задач для дифференциальных уравнений. Понятие разностной схемы. Погрешность аппроксимации разностной схемы. Порядок погрешности аппроксимации разностной схемы. Когда говорят, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу? Придумайте задачу Коши. Найдите погрешность аппроксимации для метода Эйлера.

4.Типы задач для дифференциальных уравнений. Понятие разностной схемы. Классифицируйте следующую задачу:

u0(x) 2u(x) = cos x;

u(0) = 3;

x 2 [0; 1]:

Постройте разностную схему, аппроксимирующую данную задачу.

5.Типы задач для дифференциальных уравнений. Понятие разностной схемы. Классифицируйте следующую задачу:

u00(x) 2u(x) = cos x;

u(0) = 3;

u0(1) = 0;

x 2 [0; 1]:

Постройте разностную схему, аппроксимирующую данную задачу.

6.Сформулируйте теорему о взаимосвязи порядка погрешности решения дифференциальной задачи и порядка погрешности аппроксимации разностной схемы. Найдите порядок погрешности аппроксимации следующей разностной схемы:

u00 u = 2

8

y

i 1 h2i

+ y

i+1

yi = 2

( u(0) = 2; u0(0) = 3;

>

 

2y

 

 

 

y0 = 2;

 

y1 y0 = 3

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Сформулируйте теорему о взаимосвязи порядка погрешности решения дифференциальной задачи и порядка погрешности аппроксимации разностной схемы. Найдите порядок погрешности аппроксимации следующей разностной схемы:

u00 u0 = 1

8

y

i 1 h2i

+ y

i+1

 

y

i+1h

y

i

= 1

( u(0) = 2; u0(0) = 3;

>

 

2y

 

 

 

 

 

 

y0 = 2;

 

y2 y0 = 3

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Для уравнения переноса @u@t + a@u@x = f(x; t) предложить разностную схему с погрешностью аппроксимации O(h + ).

9. Для уравнения теплопроводности @u = k@2u предложить разностную схему с погреш-

@t @x2

ностью аппроксимации O(h2 + ).

@2u @2u

10.Для уравнения Пуассона @x2 + @y2 = f(x; y) предложить разностную схему с погрешностью аппроксимации O(h2 + 2).

0.5Дифференциальные уравнения в частных производных

1. Для уравнения переноса @u@t + a@u@x = f(x; t) предложить разностную схему с погрешностью аппроксимации O(h + ).

2. Для уравнения теплопроводности @u = k@2u предложить разностную схему с погреш-

@t @x2

ностью аппроксимации O(h2 + ).

@2u @2u

3.Для уравнения Пуассона @x2 + @y2 = f(x; y) предложить разностную схему с погрешностью аппроксимации O(h2 + 2).

0.6Задачи для вопроса №5

1.Вывести погрешность формулы Симпсона (обычной и составной).

2.Доказать, что формула Ньютона-Котеса порядка n, где n четное число, точна для любого многочлена степени n + 1.

Соседние файлы в предмете Численные методы

Калькулятор

Сервис бесплатной оценки стоимости работы

  1. Заполните заявку. Специалисты рассчитают стоимость вашей работы
  2. Расчет стоимости придет на почту и по СМС

Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с политикой конфиденциальности и на обработку персональных данных.

Номер вашей заявки

Прямо сейчас на почту придет автоматическое письмо-подтверждение с информацией о заявке.

Оформить еще одну заявку