Методические указания / до виконання завдань блоку змістових модулів 3

аналогічною побудовою знаходять точки 32, 42, .... Точки сполучають плавною кривою.

Рисунок 3.13 – Спосіб концентричних сфер

Горизонтальну проекцію лінії перетину знаходять за допомогою належності точок поверхні конуса. Так, для знаходження горизонтальної проекції точки 4 будують коло радіуса R, на П2 це коло вироджене у відрізок. Далі проводять з фронтальної проекції 42 вертикальну лінію зв'язку до перетину з горизонтальною проекцією цього кола. Точка 31, що лежить на обрисній твірній циліндра, поділяє горизонтальну проекцію лінії перетину на видиму і невидиму частини.

Сформулюємо два положення, які слід пам'ятати при розв'язанні подібних завдань:

1.Максимальний радіус дорівнює відстані від центра 02 до найвіддаленішої точки перетину обрисів, а радіус найменшої сфери – відстані від центра 02 до найвіддаленішої твірної.

2.Лінія перетину двох поверхонь обертання другого порядку, що мають спільну площину симетрії, проекціюється на площину,

19

паралельну площині симетрії у вигляді кривої другого порядку. Так, лінія перетину конуса і циліндра або двох циліндрів проекціюється у гіперболу, а циліндра і сфери – у параболу.

Спосіб ексцентричних сфер

Спосіб ексцентричних сфер полягає в тому, що допоміжні сфери проводять з різних центрів. Це дає змогу застосовувати такий спосіб не лише для тіл обертання, а й для поверхонь, що мають колові перерізи, – тора, похилого циліндра, тощо. На рисунку 3.14 способом ексцентричних сфер розв'язано завдання на перетин поверхонь обертання, з яких одна тор, а друга – зрізаний конус.

Рисунок 3.14 – Спосіб ексцентричних сфер

Застосуємо зв’язку січних площин-посередників з власним носієм, який збігається з віссю обертання тора і (і1, і2). З кресленика видно, що крайніми точками лінії перетину поверхонь будуть граничні точки А (А1, А2) і В (В1, В2), між ними розташована зв’язка січних площин ∆. Розглянемо побудову тільки однієї точки С (С1, С2) лінії перетину, інші точки будуть визначатися аналогічно.

20

Отже, у зазначених межах проведемо через вісь і (і1, і2) довільну фронтально-проекціювальну площину ∆. Вона буде перетинати тор по колу, діаметром і одночасно фронтальною проекцією якого є відрізок 1222. Середина цього відрізку – точка 92 буде фронтальною проекцією центра цього кола. Проведемо через точку 92 пряму, перпендикулярну до сліду ∆2 площини ∆ і визначимо на перетині її з віссю конуса точку 02. Отримана точка має бути фронтальною проекцією центра січної сфери-посередника, радіус якої О212, оскільки ця сфера по колу 1222 і по колу 3242 перетинає відповідно поверхню тора і конуса. Тому точка перетину фронтальних проекцій цих кіл визначатиме С2 – фронтальну проекцію точки С, що належить лінії перетину заданих поверхонь. Коло З242 на горизонтальну площину проекцій проекціюється у натуральну величину. Тому горизонтальна проекція С1 точки С визначається безпосередньо за допомогою лінії проекційного зв'язку (точок С1 буде дві внаслідок наявності площини симетрії).

Завдання 9

Розгортки криволінійних поверхонь. Загальні положення.

Якщо абстрактну математичну поверхню уявити у вигляді тонкої, гнучкої та нерозтяжної плівки, то деякі з поверхонь можна шляхом згинання сумістити з площиною без розривів та складок. Поверхні, що володіють такими властивостями, мають назву розгортних, а фігура, яка отримана внаслідок суміщення з площиною, – розгортка.

Поверхні, які не можуть бути суміщеними з площиною, мають

назву нерозгортних поверхонь.

Побудова наближених розгорток розгортних поверхонь.

Існує декілька способів побудови наближених розгорток розгортних поверхонь. Та найбільшого поширення набули спосіб тріангуляції (його можна застосовувати майже для усіх лінійчатих поверхонь), спосіб розкатки та спосіб, заснований на використанні сферичної індикатриси положень твірної лінії. Розглянемо ці способи на конкретних прикладах.

Спосіб тріангуляції полягає в тому, що задану лінійчату поверхню замінюють (апроксимують) вписаною багатогранною поверхнею з трикутними гранями.

Побудова розгортки конічної поверхні розглянуто для загального випадку, що зображений на рисунку 3.15. Тут у задану конічну поверхню маємо вписати піраміду S123...8, кожна грань якої

21

є трикутник. Для побудови дійсної величини кожного бічного ребра досить скористатися його обертанням навколо осі, що перпендикулярна до П1 і проходить через вершину S(S1, S2), до положення, паралельного відносно П2. Тоді прямі S21, S22, ..., S28 є шукані дійсні величини бічних ребер. Дійсна величина основи кожного з трикутників визначається на горизонтальній проекції напрямної відповідно відрізками 1121, 2131,..., 7181. Далі на вільному місці кресленика проводимо довільну пряму а, на якій відкладаємо дійсну величину, наприклад, ребра 52121, внаслідок чого

Рисунок 3.15 – Побудова розгортки конічної поверхні (спосіб тріангуляції)

отримуємо S010. Із точки S0, як із центра, робимо засічку радіусом дійсної величини суміжного ребра S2221, а із точки 10, як із центра, – радіусом 1121. На перетині цих засічок отримуємо точку 20 і, таким чином, визначаємо перший трикутник розгортки. Послідовною прибудовою до попереднього трикутника наступного врешті-решт одержимо наближену розгортку. Звертаємо увагу, що точки 10, 20, ..., 80 треба послідовно з'єднати плавною лекальною лінією.

Розглянемо побудову розгортки піраміди в основі якої лежить рівносторонній трикутник. Піраміда має отвір у формі трикутної призми (рис. 3.16).

22

Рисунок 3.16 – Побудова розгортки піраміди

Спочатку будують проекції лінії перетину поверхонь призми і піраміди.

На рисунку 3.16 зображене знаходження натуральних величин твірних методом плоско-паралельного переміщування. Так ребра S1, S2 і S4 розташовують паралельно до площини П1. Натуральні величини цих ребер визначені на горизонтальній проекції та точки 5, 7 розташовані на цих прямих Натуральні величини твірних з точками 6, 8, 51, 61, 81 визначені аналогічно.

23

Для побудови розгортки вибирають точку S проводять промінь і відкладають на ньому натуральну величину S1 і циркулем, методом тріангуляції, будують точки 1, 2, 4, користуючись креслеником (рис. 3.16). Після цього, використовуючи натуральні величини, будуємо твірні S3, S21, S31 і відповідні точки на них. За допомогою циркуля будуємо основу піраміди, натуральні величини сторін беремо з площини П1 (рис. 3.16).

Спосіб розкатки найдоцільніше використовувати у випадках, коли пряма твірна лінія поверхні у будь-яку мить залишається паралельною сама собі, а також паралельною відносно якоїсь із площин проекцій.

Суть цього способу полягає в тому, що кожну наступну твірну обертають навколо попередньої, як навколо осі обертання, коли остання вже суміщена з певною площиною розгортання. При цьому враховують, що, по-перше, дійсна величина твірної визначена безпосередньо із заданого кресленика, по-друге, площина розгортки незалежно від вибору першої твірної, яка суміщується з нею, завжди має бути паралельною до площини проекцій, до якої паралельні твірні поверхні, по-третє, обертання будь-якої точки твірної відбувається в площині, яка має бути перпендикулярною до твірної і до площини розгортки, тобто вона є завжди певною проекціювальною площиною і володіє усіма її властивостями.

Для прикладу розглянемо побудову розгортки поверхні похилого колового циліндра, твірні якого паралельні фронтальній площині проекцій (рис. 3.17).

Позначимо на поверхні циліндра ряд положень 1, 2, 3,... твірної лінії (чим частіше, тим більш точною буде розгортка) і візьмемо за початкову твірну, що проходить через точку 1 (11, 12). Будемо також вважати, що площина розгортки проходить через цю твірну і має бути паралельною до П2. Площина обертання будь-якої точки будьякої твірної є фронтально-проекціювальною. Тому, беручи за вісь обертання твірну 1-1, повернемо навколо неї сусідню твірну 2-2 до збігу з площиною розгортки. Для цього через точку 22 перпендикулярно до 12 – 12 проведемо пряму і будемо її розглядати як фронтальну проекцію площини обертання точки 2 (21, 22). Від точки перетину цієї прямої з 12 – 12, як від центра, відкладемо відрізок, що дорівнює величині [1121], внаслідок чого визначимо точку 2. Через точку 2 проведемо пряму паралельно до твірних циліндра і відкладемо на ній дійсну величину його твірної, довжина якої [1212].

24

Цією побудовою визначається другий кінець твірної – точка 21. Отже, відрізок 2 – 21 є відображенням твірної 2 – 2 на площині розгортки.

Рисунок 3.17 – Побудова розгортки поверхні похилого циліндра (спосіб розкатки)

Беремо далі за вісь обертання пряму 2 – 21 і аналогічно попередньому обертаємо навколо неї твірну 3 – 3, одержимо 3 – 31. Таким чином, повторюючи розглянуті побудови для кожної з помічених твірних, отримуємо точки 1, 2, 3,..., 1, які визначають розгортку верхньої основи циліндра, і точки 12,21,31, ...11 – нижньої

основи циліндра. Сама розгортка визначається крайніми твірними 1 – 12, 1 – 11 і кривими 1, 2, 3, …, 1 і 12, 21, 31, …, 11.

Якщо циліндрична поверхня є прямим коловим циліндром, то її розгорткою має бути прямокутник, одна сторона якого дорівнює довжині Н твірної, а друга – довжині кола основи циліндра 2πR (R – радіус основи). Цей випадок зображено на рисунку 3.18.

25

Рисунок 3.18 – Побудова розгортки прямого колового циліндра

Побудова умовних розгорток нерозгортних поверхонь.

Найчастіше на практиці виникають задачі на побудову нерозгортних поверхонь. У цих випадках будують так звані умовні розгортки, де окрім згинання виконують також розтягування або стискування листа.

Загальний підхід до розв'язання задачі на побудову умовних розгорток нерозгортних поверхонь полягає в тому, що задану поверхню апроксимують розгортною поверхнею – відповідно граною, циліндричною або конічною.

Існують три способи побудови умовної розгортки.

1.Спосіб допоміжних трикутників (тріангуляція). (рис. 3.15)

2.Спосіб допоміжних циліндричних поверхонь.

3.Спосіб допоміжних конічних поверхонь.

Спосіб допоміжних циліндричних поверхонь використовують для побудови умовних розгорток нерозгортних поверхонь обертання. Суть його полягає в тому, що задану поверхню за допомогою мерідіональних площин ∆, ∆1 ділять на рівні частини (рис. 3.19), кожну з яких замінюють циліндричною поверхнею, що дотикається до відповідної поверхні обертання уздовж середнього меридіана, і, нарешті, будують розгортку для одержаних циліндричних поверхонь.

26

Рисунок 3.19 – Умовна розгортка сфери – нерозгортної поверхні обертання (спосіб допоміжних циліндричних поверхонь)

Напрямною таких циліндричних поверхонь є відповідний серединний меридіан, а твірною – відрізок прямої, що дотикається до певної паралелі. Довжина кожного такого відрізка визначається точками перетину дотичної прямої з площинами, що утворюють циліндричний відсік, який розглядається.

У нашому випадку поверхнею, що має бути розгорнутою, є сфера. Тому поділимо її меридіональними площинами ∆, ∆1 на рівні частини. Далі проводимо ряд паралелей l1… ln. Через точки 1, 2, ..., і, що належать серединному меридіану lS (l1S1, l2S2), проводимо дотичні до відповідних паралелей прямі і визначаємо їх відрізки 111- 111, 211-211, …. Після цього на вільному місці кресленика проводимо пряму а і відкладаємо на ній n відрізків, довжина яких дорівнює [11- 11] = [111-111]. Через середину цих відрізків перпендикулярно до прямої а проводимо прямі, що є напрямками серединних меридіанів у перетворенні. На цих прямих в обидва боки від точки 1 відкладаємо відрізки [1-2] = [12-22], [2-3] = [22-32], …, [4-5] = [42-S2], внаслідок чого отримуємо точки 1, 2, 3,.... Через ці точки проводимо прямі, паралельні до прямої а, і відкладаємо на них відповідні відрізки 11-11, 21-21, ..., з'єднуючи які лекальною кривою, отримуємо контур розгортки одного відсіку. Аналогічно мають бути побудовані розгортки інших відсіків (на рисунку 3.19 показана штриховою лінією тільки частина).

27

Спосіб допоміжних конічних поверхонь також вживається для побудови умовних розгорток нерозгортних поверхонь обертання. Тому розглянемо для прикладу розгортку поверхні сфери за цим способом (рис. 3.20).

Розіб'ємо поверхню сфери паралелями 1(12-121), 2(22-221) і т. д. на декілька сферичних поясів (чим менший між ними крок, тим

Рисунок 3.20 – Умовна розгортка сфери – нерозгортної поверхні обертання (спосіб допоміжних конічних поверхонь)

точнішою буде отримана розгортка). Кожний такий пояс замінюється зрізаною конічною поверхнею. Отже, за цими умовами на рисунку 3.20 побудовано перший конус з вершиною у точці S11 (S211). Його основою є екватор сфери 1 (12 – 121). Тому перший ланцюжок розгортки визначається дугами кіл, радіусами яких є R1 і R2 довжина твірної відповідних із конічних поверхонь, а кут φ1 = 360° r/R1.

Другий ланцюжок розгортки визначається дугами кіл, радіусами яких є R3 і R4. Але довжина твірної тут визначається відрізком R3, тому і центр цього конуса має бути у точці S1 (S21).

Отже, наступні побудови нічим не відрізняються від попередніх.

28