ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Случайные процессы в статических и динамических объектах управления

1. Теоретическая часть

При управлении динамическими объектами возникает необходимость адекватного описания характеристик объектов и свойств сигналов на их входах и выходах. Для динамического объекта характерно непрерывное изменение выходного сигнала во времени как некоторой динамической реакции на изменение входных сигналов и посторонних помех.

В условиях нормального функционирования объектов входные сигналы и помехи имеют случайные флуктуации. Поэтому, хотя характеристики самих объектов являются вполне детерминированными (определенными), полное описание происходящих явлений требует привлечения теории случайных процессов.

В рамках данной работы студенты должны овладеть следующими понятиями:

• способы описания линейных динамических объектов,

• способы описания случайных сигналов,

• трансформация сигналов и их характеристик при прохождении через линейный динамический объект.

Модели объекта

Определение 1. Объект является линейным, если

1. при наличии двух входных сигналов реакция объекта на сумму этих сигналов равна сумме реакций на каждый из них;

2. изменение входного сигнала ведет к пропорциональному изменению выходного сигнала.

Определение 2. Объект является динамическим, если на каждое импульсное возмущение объект отвечает переходным процессом. Если выходной сигнал устанавливается мгновенно (длительность переходного процесса равна нулю), то соответствующий динамический объект является безинерционным.

Помимо динамических свойств объекты характеризуются так называемым статическим коэффициентом усиления, который для линейных объектов показывает, во сколько раз установившееся (после переходного процесса) изменение выходного сигнала больше, чем изменение входного.

При рассмотрении моделей объекта чаще всего используют описание связи “вход-выход” в виде:

1. интегральное уравнение типа свертки;

2. дифференциальные и разностные уравнения;

3. амплитудно-фазовые частотные характеристики.

Следует сразу отметить, что для перехода в частотную область, например, с использованием преобразования Фурье, необходимо интегрирование по времени в бесконечных пределах, что вносит недопустимые задержки при управлении в реальном времени. С другой стороны, усечение интервала наблюдения приводит к искаженным частотных характеристик; дополнительное усечение в частотной области при обратном интегрировании также вносит свои искажения. Поэтому данный способ описания характеристик объектов ниже не рассматривается.

Связь “вход-выход” в виде уравнения типа свертки

Для линейных динамических объектов связь между входным и выходным сигналами всегда может быть установлена в виде уравнения типа свертки

где k - статический коэффициент усиления, h(t) - весовая функция.

Отметим, что весовая функция обладает свойством нормированности:

что обеспечивает неизменность среднего значения сигнала, если k=1.

Весовая функция объекта является реакцией объекта на входной сигнал в виде -функции.

x(t) = (t)  h(t)  y(t) = h(t)

Напомним, что -функция Дирака определяется как предел для импульсной функции x(t):

^t _{(t) = lim x(t)}

^{-d 0 d d0}

и имеет свойства:

 при t=0 (t) =  0 при t0

Если -функция - один из сомножителей под знаком интеграла, то она “раскалывает” этот интеграл, извлекая из-под него вторую функцию. Например,

y(t)  x(t)=(t)

При моделировании на ЭВМ объекта, описываемого уравнением свертки, переходят к дискретному представлению сигналов и весовой функции объекта. Тогда

Модель объекта в виде уравнения свертки пригодна для описания любых линейных динамических объектов и любых сигналов (как детерминированных, так и случайных). Иногда такую модель со “спрятанной внутри” весовой функцией неизвестной физической природы называют “черным ящиком”. Платой за такую универсальность является большой объем вычислений, связанных с необходимостью представления всей характеристики объекта по точкам (по отдельным ординатам весовой функции), и с тем, что большое число отсчетов сигнала участвует в расчете каждого отдельного значения выходного сигнала.

Связь “вход-выход” через дифференциальные и разностные уравнения

Иногда, исходя из физических соображений о сущности процессов, протекающих в объекте, связь сигналов на его входе и выходе может быть представлена с помощью дифференциальных уравнений.

Простейший динамический объект описывается дифференциальным уравнением 1-го порядка

где (1)

x(t), y(t) - входной и выходной сигналы,

Т₁ - постоянная времени,

k - статический коэффициент усиления.

Это уравнение легко решается методом разделения переменных, причем результат описывает экспоненциально затухающий переходный процесс с постоянной времени Т₁:

 1 e^t/T1 при t0

y(t)  =  Т₁

x(t)=(t) 0 при t<0

Такой объект часто называют апериодическим звеном 1-го порядка. При моделировании на ЭВМ от исходных дифференциальных уравнений (1) переходят к разностной форме путем замены

dy на y,

dt на t,

T= Т₁ /t,

y[n]=y[n] - y[n-1]

После соответствующих подстановок получаем рекуррентное соотношение

Для тестирования модели такого объекта в качестве сигнала x[n] принимают дискретный аналог -функции:

1 при n=0

[n] = 

0 при n0

и полагают, что y[n]=0 при n<0.

Использование такого сигнала позволяет в явном виде установить связь описаний объекта с помощью дифференциального уравнения и с помощью описания в виде “черного ящика”, т.к. в этом случае на выходе объекта возникает переходный процесс, совпадающий с весовой функцией объекта.

Достоинством описания объекта с помощью разностного уравнения является компактность вычислений, производимых на каждом шаге. Действительно, для вычисления y[n] требуется лишь предыдущее значение выходного сигнала и текущее значение входного (для сравнения напомним, что вычисление каждого значения выходного сигнала по методу “черного ящика” требует учета всех коэффициентов весовой функции и соответствующего количества прошлых значений входного сигнала).