Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
44
Добавлен:
14.05.2019
Размер:
1.64 Mб
Скачать

Задача 3. Найти число молекул азота в 1 м3, если давление равно 2,69 атм, а средняя квадратичная скорость молекул равна 2400 м/с.

N2

V = 1 м3

p = 2,69 атм = 2,69 133 Па Vкв 2 = 2400 м/с

n0 – ?

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов имеет вид:

p 31 n0 m0 Vкв 2 ,

где р – давление газа, Па; n0 – количество молекул в единице объема газа, м–3; m – масса одной молекулы, кг; Vкв 2 – средняя квадратичная скорость молекул, м/с.

Масса одной молекулы m

M

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N A

 

 

где M – масса 1 моля газа, кг; NA = 6,02 1026 – число Авогадро.

 

Таким образом, получим:

 

 

 

 

n

3 pNA

 

 

3 3,69 1,01 105 6 ,02 1026

4,2 1024

м–3.

 

2

 

0

M Vкв

 

 

 

28 2,42 106

 

 

Ответ: количество молекул в единице объема газа равно 4,24 1024 м–3.

Задача 4. Газ, занимающий объем 20 л при нормальных условиях, был изобарически нагрет до 80 С. Определить работу расширения газа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

V = 20 л = 0,02 м3

 

 

 

 

 

Работа расширения газа А при изобарическом

 

 

 

 

 

p1 = p2 = 1,01 105 Па

 

 

процессе определяется по формуле:

Т1 = 273 K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

R T ,

Т2 = 80 + 273 = 353 K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

где m – масса газа, кг; M – молярная масса газа, кг/моль;

А – ?

 

 

 

 

 

 

 

 

R

универсальная

 

газовая постоянная, Дж/(кмоль К);

 

 

 

 

 

T – разница температур, К.

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

Число молей газа

определим из уравнения Менделеева – Клапейрона:

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p V

m

RT

или

 

m

 

p1V1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

M

1

 

 

M

RT1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда: A

p V

T

1,01 105 0,02

80

592

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

 

 

 

 

 

Дж.

 

 

 

 

T1

 

 

273

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: работа расширения газа равна 592 Дж.

21

Задача 5. В цилиндре под поршнем находится водород, который имеет массу 0,02 кг и начальную температуру 27 С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом.

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

Н2

 

При

адиабатном

процессе

температура и объем

 

m = 0,02 кг

 

 

T2

 

 

1

 

M = 2 кг/кмоль

связаны соотношением:

 

 

V1

 

,

 

 

 

 

T1

 

 

 

V2/V1

= 5

 

 

V2

 

 

где Т1, V1

– температура и объем газа в начале адиабатного

i = 5

 

 

процесса газа, К и м3; Т2, V2

– температура и объем газа в

T1 = 27 + 273 = 300 K

конце адиабатного процесса газа, К и м3, – показатель

 

 

А – ? T1 –?

адиабаты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cp ,

CV

где Ср – теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кг К); СV – теплоемкость при постоянном объеме, Дж/(кг К). Для водорода = 1,4.

 

 

 

 

1

 

1

 

1,4 1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражая конечную температуру: T

T

 

V1

 

 

300

 

157 К.

 

 

 

 

 

 

V2

 

 

5

 

 

Работу А1 газа при адиабатном процессе можно определить по формуле:

A1 Mm CV T1 T2 Mm 2i R T1 T2 ,

где i = 5 – число степеней свободы для двухатомного газа.

A

0,02 5 8,31 103

300 157 2,97 104 Дж.

 

 

 

 

1

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа А2 газа при изотермическом процессе можно определить по формуле:

A RT

m

ln

V2

8,31 103 157

0,02

ln

1

2,1 104 Дж.

 

 

 

 

2

2

M

V

2

 

5

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Знак «–» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними

силами. Полная работа, совершенная газом при описанных процессах, равна:

A A A

2,97 2,1 104 8,7 103

8,7 кДж.

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: температура газа в конце адиабатного процесс равна 157 К, работа, совершенная газом, равна 8,7 кДж.

22

Задача 6. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полезную мощность, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1 = 500 K

 

 

КПД тепловой машины, работающей по циклу

T2 = 400 K

Карно:

 

 

 

t = 1 с

 

 

 

 

 

T1 T2

или

A

 

Q = 1675 Дж

 

 

 

 

 

 

T1

Q

 

 

 

 

 

 

 

– ? N –?

где Т1 – температура нагревателя, К; Т2 – температура

 

холодильника, К, А – полезная работа, совершенная

 

машиной, Дж.

 

 

 

 

 

A Q Q

T1 T2

 

 

 

 

Из этих выражений находим:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

Произведя вычисления:

 

500 400

0,2 .

 

 

 

500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда полезная работа:

A 0,2 1675 335 Дж.

 

 

 

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полезная мощность машины:

N = A/t = 335/1 = 335 Вт.

Ответ: КПД тепловой машины равно 0,2; полезная мощность 335 Вт.

Задача 7. В центре квадрата, в каждой вершине которого находится заряд, равный 2,4 нКл, помещен отрицательный заряд qo. Найти этот заряд, если на каждый заряд в вершине действует результирующая сила, равная 0,4 мН. Сторона квадрата 1 см.

а = 1см =10–2м.

q1 = q2 = q3 = q4 = 2,4 нКл =

= 2,4 . 10–9Кл

F = 0,4мН = 0,4 . 10–3Н

q0 – ?

Решение

 

 

 

q2

+

+

q3

 

 

 

 

 

qo

 

 

 

––

 

 

 

 

 

 

F10

 

F14

 

 

 

 

 

 

+

+ q4

F13

 

q1

 

 

 

 

 

F1

 

F12

 

Рис. 1

23

Результирующая сила F, действующая на каждый из зарядов, находящихся в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вершинах квадрата, равна

F F12

F14

 

F13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

q2

,

F F

 

 

 

k

 

 

 

 

 

F 2 F 2

 

 

 

 

 

;

 

F

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

14

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

1

 

12

 

14

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F k

 

q2

 

k

 

q2

 

; F k

qq

k

2qq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2

 

 

10

 

 

r2

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2qqo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F k

 

 

 

 

 

2q2

k

 

q2

k

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2 F 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kq2 kq2 4kqq ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4kqq 2 2kq2 kq2 2a2 F;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

2 2kq2 kq2 2a2 F

1,3

10

9 Кл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4kq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: заряд равен 1,3 нКл.

Задача 8. Два заряда q1 = q и q2 = 4q находятся на расстоянии r = 10 см друг от друга. Третий заряд q3 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определите положение заряда q3, при котором он будет находиться в равновесии.

q1 = q ; q2 = –4q ;

r= 10см

х– ?

Решение

Заряд будет находиться в равновесии, если F1 F2 0.

Из рис. 1 видно, что это условие может быть выполнено лишь на рис. 1,а.

 

+

 

+

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

q3

q1

 

q2

 

F1

F2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

+

F1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q1

q3

F2 q2

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с)

 

 

 

q1

 

q2 F2 q3

F1

 

Рис. 1

24

Расстояние от меньшего по модулю заряда q1 до q3 на рис. 1,а обозначим через х. Тогда расстояние от заряда q2 до заряда q3 будет равно (r+x).

Выражая в условии равновесия силы F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим:

k

q1q3

 

k

q2q3

;

q

 

4q

;

1

 

4

;

 

r x 2

x2

r x 2

x2

r2 2rx x2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

x

r,x

 

 

2

r.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Физическому условию задачи удовлетворяет корень х1 = r .

Ответ: х = r .

Задача 9. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q1 = 30 нКл и q2=–10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определите напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r1 = 15 см от первого и на расстоянии r2 = 10 см от второго заряда.

Решение

q1 = 30 нКл = 3 . 10–8 Кл

q2 = –10 нКл = –10 . 10–8 Кл d = 20 см = 0,2м

r1 = 15 см = 0,15 м r2 = 10 см = 0,1 м

Е – ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

Согласно принципа суперпозиции:

 

 

 

 

q1

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E E1

E2 .

 

E1

 

 

 

 

 

 

, E2

 

 

 

 

;

 

 

4

r 2

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o 1

 

 

 

 

o 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

E 2 E

2 2E E

cos ;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2 r 2

 

r 2

2r r cos ;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

d 2 r

2 r

2

0,25;

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2r1r2 E 16 ,7кВ/м.

.

Ответ: напряженность поля равна 16,7 кВ/м.

25

Задача 10. Заряд q = 1,5.10–8 Кл равномерно распределен по кольцу радиуса R = 0,2 м. Найдите напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии h = 0,15 м от его центра.

 

Решение

q = 1,510–9 Кл

Заряд q не является точечным, поэтому кольцо разбивается на

R = 0,2 м

элементарные части, заряд dq, которые можно считать точечными (рис. 1).

h = 0,15 м

 

 

 

E – ?

 

 

 

 

 

dqi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dqi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dqi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dE k

 

,r

 

 

R2 h2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно принципу суперпозиции:

E d Ei .

 

Вектор d Ei

можно разложить на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

составляющие dEix и dEiy. Тогда

E i dEix j

dEiy

, где

i

и j

– единичные векторы

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(орты).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что

i dEi x 0. Таким образом

E

j dEiy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

dEiy = dEi·cosα, cos

h

 

 

 

h

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

R2 h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

dq

 

cos n

 

 

 

 

q cos

 

 

qh

 

 

qh

E dEi cos cos k

 

i

k

 

 

 

 

 

 

dqi k

 

 

 

k

 

 

k

 

 

.

r2

 

r2

 

 

 

 

r2

r3

3

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

( R h ) 2

Ответ: напряженность равна E = 1,3·103 В/м.

26

Задача 11. Заряд точечный q0 = –2 10–10 Кл расположен на продолжении оси диполя, электрический момент которого ре = –1,5 10–10 Кл м, на расстоянии r = 10 см от его центра (ближе к положительному заряду диполя). Какую работу надо совершить, чтобы перенести этот заряд в симметрично расположенную точку по другую сторону диполя.

 

 

 

Решение

q0 = –2 . 10–10 Кл

 

 

ре = 1,5 . 10–10

Кл . м

 

 

 

 

r = 10 см

 

 

 

r

 

 

 

 

А*–?

 

 

 

 

 

 

 

l/2

 

 

 

l/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

Рис. 1

Работа А*, совершаемая внешними силами при перемещении заряда в электрическом поле, равна работе сил поля взятой с обратным знаком (рис. 1):

A* A qo 1 2 ,,

где и – потенциалы точек В и С.

1

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 o

r

 

 

2

4 o r

 

2

4

o

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 o

r

 

 

2

 

4 o r

 

2

4

o

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если учесть,

что

 

P q и при r

>> выражениями

 

 

 

2

в знаменателе можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пренебречь, то формулы для и принимают вид:

1

 

P

 

,

2

 

P

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

o

r 2

 

 

 

4

o

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

*

 

P

 

 

8

 

2qo

 

 

 

5,4 10

 

A

 

 

 

 

Дж.

4

o

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: работа равна А* = 54 нДж.

 

 

 

 

 

Задача 12. Тонкий стержень длиной

= 10 см равномерно заряжен зарядом

q = –3 10–9 Кл. Определите напряженность и потенциал поля в точке С, лежащей на оси стержня. На расстоянии x0 от середины стержня до этой точки (рис. 1).

x0 = 20 см

q= 3 . 10–9 Кл

= 10 см

E c – ?

c – ?

Решение

Заряд не является точечным, поэтому стержень разбивается на элементарные отрезки dx, заряд dq на которых можно считать точечным.

y

 

 

dx

 

 

 

 

 

Ec C

x

0

 

 

 

 

 

 

 

xo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

r

 

 

Рис. 1

 

Потенциал поля, создаваемый в точке С зарядом dq, равен:

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

dq

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

4

o

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

r xo x,

 

dq

q

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потенциал поля, создаваемый в точке С всем стержнем, находится

интегрированием

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

o

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( q )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

2

 

 

dx

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

xo 2

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

138B.

4

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

o

2

 

x

o

x

 

o

 

x

o

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряженность поля вдоль оси OX равна

 

 

 

d

 

q

 

1

 

1

 

E

 

 

 

 

 

.

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

dx 4 o x 2

 

 

 

 

 

d

 

q

 

1

 

1

 

Отсюда

E

 

 

 

 

720 В/м.

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

dx 4 o x 2

 

 

Ответ: φc= 138 В; Ec= 720 В/м.

Задача 13. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью V = 2 107 м/c, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d = 2 см, длина пластин конденсатора = 5 см, разность потенциалов между пластинами U = 200 В.

 

Решение

V0 = 2 . 10–7 м/с

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

d = 2 см = 2 . 10–2 м

Vo

= 5 см

 

E

U = 200 В

S

m = 9,1 . 10–31 кг

 

e = 1,6 . 10–19 Кл

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

y

 

 

Рис. 1

S – ?

 

 

Движение электрона вдоль оси ОХ является равномерным, вдоль оси ОУ равноускоренным (рис. 1).

S at 2 , 2

где a – ускорение, приобретаемое электроном под действием силы F = eE.

 

 

E

U

,

t

 

,

eE ma,

a

eE

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

Vo

 

 

 

m

Отсюда

S

 

eE 2

 

 

eU 2

 

5,5 10 3 м 5,5 мм.

 

2mV

2

 

2mdV

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

Ответ: S = 5,5 мм.

29

Задача 14. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластины S, равной 500 см2, подключен к источнику тока, ЭДС которого равен 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d1 = 1 см до d3 = 3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключенными к нему.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

S = 500 см2= 5 . 10–2 м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа

 

 

 

внешних

сил

равна изменению энергии

U = 300 B

 

 

 

 

конденсатора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1 = 1 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А = W2 W1 .

 

 

d3 = 3 см

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Заряд на обкладках конденсатора остается

 

 

 

 

 

постоянным, так как конденсатор отключен от источника:

 

 

 

 

 

 

q = C1 φ const, где φ равна ЭДС источника U.

А – ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

2

 

 

 

 

 

 

q

2

 

 

 

 

 

q

2

 

1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2C2

 

 

 

2C1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

C1

C2

 

 

 

 

C

 

 

o S

 

,C

 

 

o S

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

2

 

 

d2

 

 

 

 

d

 

 

 

 

q

2

d2 d1 3,98 10

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дж.

2

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

2

 

 

S

 

 

 

 

 

 

o

 

 

o

S

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Пластины остаются подключенными к источнику тока, и система не является изолированной. Заряд с пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи. В этом случае остается неизменной разность потенциалов между пластинами φ U,

поэтому энергию конденсатора удобно представить в виде: W

CU 2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

тогда

A W W

U 2

C

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

2

 

oS

oS

 

 

U

2

oS

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1,33·10 6

Дж.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

d2

d1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d1

 

d2

 

 

 

 

Ответ: 1) А = 3,98·10–6 Дж; 2) A = 1,33·10–6 Дж.

Задача 15. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U = 1,8 кВ. Диэлектрик стекло. Определите диэлектрическую восприимчивость χ стекла и поверхностную плотность связанных зарядов на поверхности стекла.

30

Соседние файлы в папке методички