Надёжность / Лекция 7

Лекция 7

Применение математических методов исследования надежности. Отказ, как случайная величина, носящая вероятностный характер. Распределения вероятностей, используемые при исследовании показателей надежности.

Распределения вероятностей, используемые при исследовании показателей надежности.

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальное распределение (распределение Гаусса) используется при оценке надежности изделий, на которые воздействует ряд случайных факторов, каждый из которых незначительно влияет на результирующий эффект (нет доминирующих факторов).

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности отказов f(t) вида:

где σ – среднеквадратическое отклонение с.в. t;

– математическое ожидание с.в. t. Этот параметр часто называют центром рассеивания или наиболее вероятным значением с.в. t.

Нормальный закон – это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать и σ.

Вероятность безотказной работы при данном законе распределения определяется по формуле:

Интенсивность отказов:

λ(t)=

Закон распределения:

F(t)= ),

где Ф(x) – интеграл Лапласа

Рис.1. Плотность распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону (здесь m – математическое ожидание с.в.).

Рис.2. Графики основных показателей безотказности при нормальном распределении наработки на отказ

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла трехпараметрическое:

t≥γ

t≥γ

где

η –параметр масштаба

β –параметр формы распределения

γ – параметр положения

Интенсивность отказов при распределении Вейбулла

Рис.3. График плотности распределения Вейбулла (здесь m=β –параметр формы распределения)

Распределение Вейбулла. Модель слабейшего звена.

В соответствии с этой моделью отказов каждый элемент считается составленным из некоторых звеньев, подобно звеньям цепи. Тогда модель долговечности цепи эквивалентна модели долговечности звена, отказавшего первым, т. е. звена, оказавшегося слабейшим. В предположении, что ресурсы всех звеньев — независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же закону F(t) с плотностью f(t), ресурс цепи определяется законом распределения наименьшей порядковой статистики выборки объема N:

и

Если распределение ресурса звена подчиняется закону Вейбулла, то распределение ресурса цепи будет описываться функциями:

где

η –параметр масштаба

β –параметр формы распределения

γ – параметр положения

Другой способ записи закона и плотности распределения Вейбулла также часто встречается в литературе:

Плотность вероятности отказов этого распределения:

Вероятность безотказной работы за время t:

Интенсивность отказов:

где α и λ₀ - параметры закона распределения.

Параметр λ₀ определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При α=1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при α<1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α>1 - монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры α и λ₀, с тем, чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.

Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения - признаками износового отказа.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Это распределение иногда используется для описания надежности подшипников качения (α = 1,4 - 1,7).

Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выражения:

Значения Г (гамма-функции) табулированы.

Рис.4. Графики основных показателей безотказности при распределении Вейбулла

Экспоненциальное распределение

Это частный случай распределения Вейбулла (при параметре формы β=1)

и

где λ –параметр распределения

( - математическое ожидание

наработки или ресурса) λ- const

Вероятность безотказной работы:

Интенсивность отказов ,

т.е. совпадает с параметром λ

Рис.5. График вероятности безотказной работы при экспоненциальном законе распределения с.в. наработки на отказ

Рис.6. Сравнение интенсивности отказов: 1 – для внезапных отказов; 2 – для постепенных отказов

Важное свойство экспоненциального распределения

Если объект отработал, предположим, время τ без отказа, сохранив λ=соnst, то дальнейшее распределение времени безотказной работы будет таким, как в момент первого включения.

Таким образом, отключение работоспособного объекта в конце интервала и новое его включение на такой же интервал множество раз приведет к пилообразной кривой (см. рис.7).

Другие распределения не имеют указанного свойства. Из рассмотренного следует на первый взгляд парадоксальный вывод: поскольку за все время τ устройство не стареет (не меняет своих свойств), то нецелесообразно проводить профилактику или замену устройств для предупреждения внезапных отказов, подчиняющихся экспоненциальному закону.

Рис.7. Вероятность безотказной работы при экспоненциальном законе распределения наработки на отказ:

1 – непрерывная работа в течение t; 2 – работа с перерывами τ

Рис.8. Графики основных показателей безотказности при экспоненциальном распределении наработки на отказ