Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю

Розділ 1. Пряма лінія на площині

§1 Різні види рівняння прямої лінії на площині

1. Рівняння прямої, що проходить через точку M0 x0 ; y0

перпендику-

лярно заданому векторові n A; B (рис. 1) має вигляд

A x x0 B y y0 0.

1

n

l

M0

Рис. 1

Вектор n називають вектором нормалі прямої

l . Розкривши дужки в рів-

нянні 1 отримаємо загальне рівняння прямої

Ax By C 0,

2

l1

l2

x

Рис. 5

а) l || l

n

n

A1

B1

;

10

1

2

1

2

A2

B2

б) l

|| l

q

q

m1

n1

.

11

1

2

1

2

m2

n2

Умови перпендикулярності прямих

а) l1 l2 n1 n2 n1 n2 0 A1A2 B1B2 0;

12

б) l1 l2 q1 q2 q1 q2 0 m1m2 n1n2 0.

13

tg

k2 k1

,

14

1 k k

2

1

- найменший кут, на який треба повернути проти годинникової стрілки

пряму l1, щоб вона співпала з прямою l2 (рис.5).

Умови паралельності і перпендикулярності прямих

а) l1 || l2 k1 k2 ;

15

б) l1 l2 k1 k2 1.

16

2. Відстань від точки до прямої

Відстань d від точки M1 x1 ; y1 до прямої l : Ax By C 0 (рис. 6)

можна обчислити за формулою

d

Ax1

By1

C

.

17

A2 B2

лежать в одній півплощині відносно прямої.

3. Поділ відрізка в даному відношенні

Нехай

точка

M x; y

ділить

відрізок M1M 2 (де

M1 x1; y1 ,

M2 x2; y2 ) так, що

M1M

, 0 const .

MM2

Координати точки M можна знайти за формулою

x

x1 x2

; y

y1 y2

.

18

1

1

Зокрема, при 1 маємо координати середини відрізка M1M 2

x

x1 x2

;

y

y1 y2

.

19

2

2

§3 Приклади і вправи

Вправа

1.1.

Записати

рівняння

прямої, яка проходить

через точки

A 3; 7 та B 6; 2 .

AB

:

x 3

y 7

3

5

або рівносильне йому загальне рівняння AB

: 5x 3y 36 0.

Вправа 1.2. Записати рівняння прямої l1 , що проходить через точку

M0 x0 ; y0 паралельно до даної прямої.

Розв’язання.

l :3x y 5 0

1)

Нехай

пряму

задано

загальним

рівнянням

і

M0 5; 1 . Нормальний вектор прямої l

знаходимо з її загального рівняння

n 3;1 . Оскільки пряма l1

l , то її нормальний вектор n1

n . Не-

хай n1

n . Тоді, скориставшись рівнянням 1 , одержимо

l1 : 3 x 5 1 y 1 0 або l1 : 3x y 14 0 .

2) Нехай маємо точку M0 4;0 і пряму, яку задано канонічним рівнянням

l :

x 3

y 1

x 2t 3

або параметричними рівняннями l :

.

2

5

y 5t 1

Пряма

l1 || l , тоді її напрямний вектор

q1

q . Нехай

q1 q 2;5 .

Тоді, скориставшись рівняннями 3 і 4 , одержимо

l1

x 4

y

x 2t 4

:

або l1

:

.

2

5

y 5t

3) Нехай маємо точку M0 0;5 і пряму, яку задано рівнянням з кутовим

коефіцієнтом l : y 3x 2 .

Оскільки пряма l1 || l , то їх кутові коефіцієнти рівні, тобто k k1 3 .

Скориставшись рівнянням 6 , маємо

l1 : y 5 3 x 0 або l1 : y 3x 5 .

Вправа 1.3. Записати рівняння прямої l2 , яка проходить через точку

M x0 ; y0 перпендикулярно до даної прямої.

Розв’язання.

l

:x 2 y 5 0

1)

Нехай

пряму

задано

загальним

рівнянням

і

M 3;2 . Нормальний вектор прямої l

знаходимо з її загального рівняння

n 1; 2 . Оскільки пряма l2 l , то її напрямний вектор q2

n , нехай

q2 n . Тоді, скориставшись рівнянням 3 , одержимо

l

:

x 3

y 2

або

l : 2x y 4 0 .

2

1

2

2

2)

Нехай маємо точку M 1;4 і пряму,

яку задано канонічним рівнян-

ням l :

x

y 1

.

2

3

q , де q 2; 3 - на-

Оскільки l2 l , то її нормальний вектор n2

прямний вектор прямої l . Візьмемо n2

q і, скориставшись рівнянням 1 ,

одержимо l2 :2 x 1 3 y 4 0 або l2 : 2x 3y 14 0 .

3)

Нехай маємо точку M 2;3 і пряму, яку задано рівнянням з кутовим

коефіцієнтом l : y 4x 5.

Оскільки l2 l ,

то

кутові коефіцієнти цих прямих задовольняють рі-

вність

k k2

1.

Враховуюче

те,

що

k 4,

отримаємо

4k

1 k

1

. Скориставшись рівнянням 6

, маємо

2

2

4

l

: y 3

1

x 2 або l

: y

1

x

5

.

2

2

4

4

2

Вправа 1.4. Знайти координати точки K перетину двох прямих.

1)

Нехай

прямі

задано загальними рівняннями l1 :3x y 5 0

і

l2 :7x 5y 3 0 .

Розв’язання.

Прямі перетинаються, тоді і тільки тоді, якщо їх нормальні вектори не є

паралельними.

В даному випадку n 3; 1 , n 7;5

і

3

1 . Отже,

1

2

7

5

n1

n2 . Оскільки точка K перетину прямих належить і прямий l1

і прямий

l2 ,

то її координати

задовольняють рівняння

обох

прямих,

тобто

є

3x y 5 0,

розв’язком системи рівнянь

Розв’язавши систему, одержимо

7x 5y 3

0.

Отже, прямі

l1 і l2 перетинаються в точці K 1; 2 .

2) Пряма l1 :x 2t 1

, y 3 t задана параметричними рівняннями, а

пряма l2 : 3x 4 y 5 0 - загальним.

Розв’язання.

2t 1;3 t

прямої l1 в

Підставивши координати поточної точки M

загальне рівняння прямої l2

, з’ясуємо, при якому значенні параметра t точ-

ка, що

належить прямій

l1 , лежить також

на прямій

l2 . Маємо

3 2t 1 4 3 t 5 0 . Звідки t 2. Підставивши значення парамет-

ра t в рівняння прямої l1 , одержимо x 5, y 5.

Отже, прямі

l1 і l2 перетинаються в точці K 5;5 .

Вправа 1.5. Знайти кут між двома прямими.

1)

Нехай

прямі

задано

загальними

рівняннями

l1 :3x y 15 0 i l2 :2x y 7 0.

cos cos l1

, l2

cos n1

, n2

n1

n2

3

2

1 1

1

.

n1

n2

9 1

4 1

2

Тоді arccos

1

.

2

4

2)

Нехай

прямі

задано

рівняннями з

кутовими

коефіцієнтами

l1 : y 2x 1 i

l2 : y x 7 .

Розв’язання.

Запишемо кутові коефіцієнти заданих прямих k1 2, k2

1. За форму-

лою 14

маємо

tg tg l1 , l2

1 2

3. Тоді arctg3.

2 1

1

Вправа 1.6.

Знайти відстань

від точки

M 5;2 до

прямої

l : 4x 3y 17 0.

За формулою 17

маємо d

4 5 3 2 17

3

0,6 . Отже, відстань

42 3 2

5

d від точки M до прямої l дорівнює 0,6.

Вправа 1.7. Знайти площу трикутника, який відтинає від координатного

кута пряма 4x 3y 12 0 .

Розв’язання.

Запишемо для заданої прямої рівняння "у відрізках" 7

4x 3y 12

x

y

1.

3

4

Як бачимо, пряма відтинає від другого координатного кута прямокутний

трикутник з катетами

a

3

3 та

b

4

4 . Його площу обчислимо за

формулою S

1

a

b

, тоді S

1

3 4 6 кв. од.

2

2

ржимо AB :

x 2

y 3

x 2

y 3

або AB :4x 7 y 13 0.

5 2

1 3

7

4

P

B

A

Q

M