Втуп до аналізу. Диференціалне числення функцій однієї та кідькох змінних-Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю.-2015
.pdfГ.В. СОКОЛОВСЬКА С.Ю. СОКОЛОВСЬКИЙ
Вступ до аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та кількох змінних.
Методичні вказівки до проведення практичних занять
Одеса-2015
1
Методичні вказівки розроблено старшими викладачами кафедри «Вища та прикладна математика» Соколовською Галиною Володимирівною та Соколовським Сергієм Юрійовичем.
Методичні вказівки схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 11 лютого 2015р. (протокол №8).
Рецензенти: доктор фіз.-мат. наук, професор І.Л.Андронов; кандидат фіз.-мат. наук, доцент Ю.О.Григор’єв.
2
Вступ Даний навчальний посібник є збірником задач, який може бути викорис-
таний студентами всіх спеціальностей при вивченні курсу ”Вступ до аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та кількох змінних ”. Він містить як задачі з докладним розв’язанням, так і задачі для самостійного розв’язування. При розгляді деяких задач коротко наведено теоретичні факти та формули, для обґрунтованого розв’язування решти задач слід звернутись до підручників, конспекту лекцій та навчальних посібників, виданих в ОНМУ.
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Тема 1. Границя числової послідовності |
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Завдання 1.1 Довести, що lim |
3n 2 |
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n 2n 1 |
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Розв’язання |
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Наведемо означення границі числової послідовності. Число a називаєть- |
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ся границею числової послідовності a |
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, якщо для будь-якого (як завгод- |
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но малого) числа 0 |
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n |
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n 1 |
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існує такий номер N ( N залежить від ), що для |
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всіх членів послідовності з номерами n N , виконано нерівність |
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an a |
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Скористаємось цим означенням. |
Задамо 0 і знайдемо такий номер |
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N , що для всіх номерів n N |
виконано нерівність |
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3 |
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6n 4 6n 3 |
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1 2 |
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Перепишемо її у вигляді |
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або |
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Тоді |
n |
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2 2n 1 |
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4n 2 |
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N |
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1 2 |
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1 2 |
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Отже, |
обравши |
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(ціла частина числа |
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), матимемо: для |
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4 |
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4 |
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всіх номерів n N |
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виконується нерівність 1. 1 . |
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lim |
n 1 3 n3 |
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Завдання 1.2 Обчислити границі послідовностей: 1) |
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2n |
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n 7n2 |
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lim |
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3 n2 n 1 |
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2) lim |
; 3) |
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n2 3n |
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Розв’язання |
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1) Приведемо многочлен в чисельнику до стандартного виду. |
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n 1 3 n3 |
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n3 3n2 3n 1 n3 |
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3n2 3n 1 |
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lim |
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lim |
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Розділимо чи- |
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7n2 2n 4 |
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n 7n2 2n 4 |
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n |
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n 7n2 2n |
4 |
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сельник і знаменник на найстарший степінь знаменника n2 . Скориставшись
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теоремами про арифметичні дії над послідовностями, що мають границі, і
тим фактом, що lim |
1 |
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0 |
при |
p 0 , одержимо: |
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n n p |
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3 |
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lim |
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lim |
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n |
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n2 |
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n 7n2 2n 4 |
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n |
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2) Розділимо чисельник і знаменник на найстарший степінь знаменника |
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n |
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lim |
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n . Маємо lim |
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. Далі по аналогії з попереднім |
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n 3 |
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3 |
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прикладом одержимо: |
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n n2 |
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0 |
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lim |
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n |
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3) Помножимо і розділимо вираз, що стоїть під знаком границі на спря-
жений вираз доповнивши його до різниці квадратів. Далі застосовуємо той самий метод, що у попередніх прикладах.
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n2 3n |
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6 |
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3n n2 |
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n2 |
3n |
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n2 |
6 |
lim |
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n |
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n |
2 |
3n |
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2 |
6 |
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3n 6 |
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lim |
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lim |
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lim |
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n |
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||||||||||||
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|
n |
|
3n n |
|
6 |
|
n |
|
3n n |
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
2 |
2 |
|
|
n |
2 |
2 |
|
n |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 |
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|
1 |
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|||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
n |
n2 |
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
1,5 . |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
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|
2 |
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|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||
|
n |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
Завдання для самостійного розв’язування |
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Завдання 1.3 Довести за означенням границі числової послідовності, що |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
1 2n |
2 |
; 2) |
lim |
|
3n2 2 |
|
|
|
3 |
|
. |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n n |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 4n2 n |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||
|
Завдання 1.4 Обчислити границі послідовностей |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
3n3 2n 7 |
; 2) lim |
n4 |
2n2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2n 5 2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 3) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n 4 7n2 8n3 |
|
|
n |
|
n 3n2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3n2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
n2 2n 1 2 |
|
|
|
|
3n 1 3 7n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) |
lim |
; 5) |
lim |
|
|
|
; 6) |
lim |
4 n5 |
2 3 n2 1 |
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n n2 2n 1 2 |
|
n 9n 4 6 n n2 |
|
|
n |
|
|
|
|
n3 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
3n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
2 |
3 n 3 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3n n |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
|
; 8) |
lim |
|
n |
|
; 9) |
lim |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n 8 3 |
8n4 n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2. Границя та неперервність функції в точці
Завдання 2.1 Довести за означенням границі функції, що lim |
x2 4 |
2 . |
|
2x 4 |
|||
x2 |
|
||
Розв’язання |
|
|
Наведемо означення границі функції в точці. Число A називається границею функції f x в точці x0 , якщо функція визначена в деякому околі цієї точки (крім, можливо, самої точки x0 ) і для будь-якого числа 0 існує таке
число 0 ( |
залежить від ), |
що для всіх значень |
x , |
які задовольняють |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нерівність 0 |
|
x x0 |
|
, виконано: |
|
f x A |
|
|
|
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
Задамо як завгодно мале додатне число |
і знайдемо таке , що при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
всіх x , що задовольняють нерівність 0 |
|
x 2 |
|
, виконано: |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
x2 4 |
2 |
|
. |
|
|
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|
|
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|
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|
2.1 |
|||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
2x 4 |
|
|
|
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|||||
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|
Виконаємо |
|
|
перетворення |
останньої |
нерівності |
|
|
|
x2 4 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
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|
|
2x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
||
|
|
|
|
x2 4 4x 8 |
|
|
|
x 2 2 |
|
|
|
1 |
|
x 2 |
|
|
|
x 2 |
|
2 . |
Таким чи- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2x 4 |
|
|
2 |
x 2 |
|
|
|
2 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|||||||||||||
ном, |
обравши 2 , |
одержимо: при всіх |
x , що задовольняють умову |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x 2 |
|
, виконано нерівність 2.1 . Граничну рівність доведено. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Завдання 2.2 Довести за означенням, що функція |
f x 3x2 |
2 непере- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рвна в точці x0 1. |
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Розв’язання |
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x0 . Функція f x на- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Наведемо означення функції неперервної в точці |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зивається неперервною в точці x0 , якщо |
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||||||||||||||||||||||||
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|
1) вона визначена в цій точці і деякому її околі; |
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2) границя функції |
f x в точці x0 |
|
|
збігається з її значенням в цій точці: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
f x f x0 . |
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x x0 |
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|
5
|
|
Обчислимо |
f 1 3 12 2 5 |
|
|
і доведемо, що |
lim |
3x2 |
2 5 . |
|
Задамо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x1 |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
і |
вимагатимемо |
виконання |
нерівності |
|
|
|
|
3x2 2 5 |
|
|
або |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(оскі- |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x2 |
1 |
. Як бачимо, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вона є справедливою при |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
|
3 |
|
|
|||||||
|
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|
|
|
||||||||||||||
льки |
x 1 1, адже розглядається достатньо малий окіл точки |
|
x0 1). Отже |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знайдено таке число |
|
, що для всіх |
|
x , які задовольняють нерівність |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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3 |
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x 1 |
|
, виконується: |
|
f x f 1 |
|
. Неперервність функції в точці x0 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
доведено. |
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||||||||||
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|
Завдання 2.3 Обчислити границі 1) |
lim |
|
|
6x2 |
3x 7 |
; |
|
|
|
|
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1) |
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Можна |
скористатись |
означенням |
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границі |
функції |
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при |
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x |
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( lim f |
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) і теоремами про арифметичні дії над функціями, |
що |
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Наступні два приклади розв’язуються аналогічно. |
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9x4 |
5x 4 |
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lim |
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x2 |
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Завдання 2.4 Обчислити границі 1) lim |
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x2 1 |
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x3 5x2 8x 4 |
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x4 8x2 16 |
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6 2x |
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x3 |
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Розв’язання |
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|||||||||||||||
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1) |
|
Функція f x |
|
|
5x2 x 6 |
не визначена в точці |
|
x 1. Чисельник і |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x2 1 |
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знаменник дробу в цій точці дорівнюють нулю. Отже має місце невизначе-
ність |
0 |
. Розкладемо чисельник і знаменник на множники. Знаменник – за |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
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|
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формулою різниці |
квадратів, |
а |
|
чисельник |
– |
|
|
за |
формулою: |
|||||||||||
ax2 bx c a x x |
x x |
, де x , |
x |
- |
корені |
квадратного рівняння |
||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
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||
ax2 bx c 0 . |
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||
Маємо x2 1 x 1 x 1 , 5x2 |
|
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|
6 |
|
|
|
|||||||||
x 6 5 x 1 x |
|
|
x 1 5x 6 . |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 5x 6 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||
Тоді можна скоротити дріб |
на x 1 |
в будь – якому околі то- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
чки x 1 (крім самої цієї точки). |
x 1 5x 6 lim |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Одержимо: lim |
5x2 x 6 |
lim |
|
5x 6 |
|
11 |
5,5 . |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
2 |
|||||
|
|
x1 |
2 |
|
|
|
x1 |
|
x 1 x 1 |
x1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||
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|||
2) Для розкриття невизначеності виду |
|
0 |
|
в цьому прикладі також розкла- |
||||||||||||||||
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
демо чисельник і знаменник на множники. Знаменник розкладемо за формулами скороченого множення: x4 8x2 16 x2 4 2 x 2 2 x 2 2 . Зна-
ючи, що в розкладанні чисельника обов’язково присутній множник x 2 ,
7
другий множник знайдемо за допомогою ділення x3 5x2 8x 4 |
на x 2 . |
|||||
Маємо: |
|
|
|
|
||
x3 5x2 8x 4 |
|
x 2 |
|
|||
|
|
|||||
x3 2x2 |
|
|
|
|
||
|
x2 3x 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3x2 8x 4
3x2 6x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
5x |
2 |
8x 4 |
|
|
|
|
|
|
x 2 x |
2 |
3x |
2 |
|
x 2 |
2 |
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
Тоді lim |
|
|
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|
|
lim |
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|
|
lim |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2 x 2 2 |
x 2 2 x 2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
x4 8x2 16 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
x 1 |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3) Тут невизначеність виду |
0 |
|
|
також розкривається скороченням дробу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 , |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
на |
але спочатку |
|
звільнимось |
від |
|
ірраціональності в чисельнику. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 13 |
|
x 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
x 13 4 |
|
lim |
|
lim |
|
|
|
x 13 16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
x3 |
|
6 2x |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x 13 |
|
|
|
x3 6 |
|
|
x 13 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 x 3 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x3 |
|
x 13 |
|
x |
3 |
|
|
|
x 13 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Завдання 2.5 Обчислити границі 1) |
lim |
arcsin 3x |
; 2) lim |
1 cos10x |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x2 5x |
x 0 1 cos2 3x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3) lim |
|
|
|
e3x 1 |
|
; 4) lim |
|
|
sin x 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ln 1 |
3x |
|
22 x 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання У цих прикладах застосовується принцип заміни нескінченно малих фу-
нкцій на еквівалентні та деякі тригонометричні формули.
1) arcsin3x ~ 3x, x 0 . Тому lim |
arcsin 3x |
lim |
|
3x |
lim |
3 |
|
3 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x0 x2 5x |
x0 x x 5 |
x0 x 5 5 |
||||||||||||||
2) 1 cos10x 2sin2 5x, 1 cos2 3x sin2 3x . sin3x ~ 3x, sin 5x ~ 5x, |
x 0 . От- |
||||||||||||||||||||
же lim |
1 |
cos10x |
lim |
2sin2 5x |
lim |
2 5x 2 |
lim |
50x2 |
|
50 |
|
5 |
5 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x0 1 |
cos2 3x |
x0 sin2 3x |
x0 |
|
3x 2 |
x0 9x2 |
9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
8
3) e3x 1 ~ 3x, ln 1 3x ~ 3x, x 0 . Тоді lim |
|
|
|
|
e3x 1 |
|
|
|
lim |
|
3x |
1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 ln 1 3x |
|
|
|
x0 3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x cos |
|
|
|
2sin |
8x |
sin |
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x |
|
|
sin |
8x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
16 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
28x 2 |
|
|
|
x |
|
|
|
2 e 8x ln 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
8x ln 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
8 |
|
. |
|
При розв’язуванні цього приклада було застосовано формули |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 3 ln 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
loga b |
|
b , cos cos 2sin |
|
sin |
|
, а також еквівалентність функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8x |
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
цій: sin |
|
~ |
, e 8x ln 2 1 ~ 8x ln 2 при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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В інших прикладах маємо невизначеність виду 1 , яку розкриємо за до- |
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помогою другої визначної границі lim 1 |
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|
|
|
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lim e x 2 e |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) lim |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
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x2 |
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x |
2 |
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|
x2 |
|
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|
Завдання для самостійного розв’язування
9
Завдання 2.7 Обчислити границі
1) |
lim |
|
x2 3x 5 |
|
|
; 2) lim |
3x 1 2 9x2 |
5 |
; 3) lim |
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x5 1 |
; |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 2x 3x2 |
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|
|
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5x2 2x |
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|
|
4 5x2 |
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
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x |
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x |
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x 1 x 2 |
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||||||||||||||||||||||
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2x 1 |
5 |
3x 1 |
|
2 |
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|
|
|
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3 |
|
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|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; 5) |
|
lim |
|
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|
|
|
|
|
|
x ; 6) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
4 5x |
|
x |
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
4 x4 3 5 x4 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
4x2 |
|
3 |
|
|
7 x 4x2 |
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
|
|
|
; 8) |
lim |
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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|
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|
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x |
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2 |
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|
2 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9) |
lim |
x |
x x 5 ; 10) |
lim |
3 x |
2 |
|
3 x |
|
3 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
Завдання 2.8 Обчислити границі |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
5x 1 |
; 2) lim |
|
x2 3x 4 |
|
; 3) |
lim |
3x2 x 10 |
; 4) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
8 |
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
2 x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 14 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 x2 1 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 5x2 7x 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
lim |
; 6) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; 7) |
|
lim |
|
|
5x 1 3x 7 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x4 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
9 x2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
8) |
lim |
|
1 3x x 1 |
|
; 9) lim |
|
|
|
|
|
|
x 5x 4 |
|
|
; 10) |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
x2 8 |
|
|
7x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Завдання 2.9 Обчислити границі |
|
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|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim arcsin5x ctg7x ; 2) |
lim |
sin 2x tgx |
; |
3) lim |
1 cos 4x |
|
; |
4) lim |
cos x cos3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 arctg2 3x |
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
x sin5x |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
tg2 5x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) |
lim |
|
|
1 cos x |
|
; 6) |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; 7) lim |
|
|
e |
|
|
1 |
|
|
; 8) |
lim |
tgx tg3x |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x0 ln 1 2x2 |
|
|
|
|
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|
|
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|
x0 |
sin x |
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 arcsin 6x |
|
|
|
|
|
|
x0 |
e3x ex |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9) lim |
|
x e |
; 10) lim |
|
|
1 sin x |
|
|
; |
11) lim |
ln x ln |
; 12) |
|
|
lim |
|
x ln x a ln x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x e ln x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання 2.10 Обчислити границі
;
.
|
3x 2 4 x7 |
; 2) lim |
|
2 5x |
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1) lim |
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x |
3x 1 |
x0 |
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2 3x |
x1 |
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x 2 |
5x1 |
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x |
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lim |
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; 3) |
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; |
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3x 1 |
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x |
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x2 |
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4) lim |
1 sin 2x ctg3x |
; 5) lim |
3x 8 3 x . |
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x0 |
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x3 |
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10