- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
- •§1. Матриці. Визначники другого та третього порядків
- •§2. Властивості визначників другого та третього порядків
- •§3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Крамера
- •§4. Метод Гаусса виключення невідомих
- •Розділ 2. Векторна алгебра
- •§ 1. Основні поняття векторної алгебри
- •§ 2. Лінійні операції над векторами
- •Властивості лінійних операцій над векторами
- •§ 3. Проекція вектора на вісь
- •§ 4. Лінійна незалежність
- •§ 5. Базис і координати вектора
- •§ 6. Скалярний добуток двох векторів
- •Властивості скалярного добутку
- •§ 8. Векторний добуток
- •Властивості векторного добутку
- •§ 9. Мішаний добуток
- •Властивості мішаного добутку
- •Розділ 3.Елементи аналітичної геометрії
- •§ 1. Пряма лінія на площині як алгебраїчна лінія першого порядку
- •§2 Кут між двома прямими. Ознаки паралельності і перпендикулярності прямих
- •§3 Відстань від точки до прямої
- •§4Лінії другого порядку
- •§5 Рівняння поверхні і лінії у просторі
- •§6 Різні види рівняння площини у просторі
- •§7 Різні форми рівняння прямої у просторі
- •§8 Кут між двома площинами
- •§9 Кут між двома прямими
- •§10 Кут між прямою та площиною. Умови паралельності і перпендикулярності
- •§11 Відстань від точки до площини
- •Розділ 4.Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •§1 Функція однієї змінної. Елементарна функція
- •§2 Границя функції
- •§3 Неперервність функції
- •§4 Нескінченно малі і нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих
- •§5 Деякі важливі границі
- •§6 Розкриття деяких невизначеностей при обчисленні границь
- •§7 Односторонні границі
- •§8 Точки розриву функції
- •Правила обчислення похідних
- •§10 Диференціал функції
- •§11 Основні теореми про диференційовні функції
- •§11 Правило Лопіталя
- •§11 Ознака монотонності функції.
- •§12 Екстремум функції
- •§13 Опуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину
- •§13 Асимптоти графіка функції
- •Розділ 5. Функції кількох змінних
- •§ 1. Поняття функції кількох змінних
- •§ 2. Границя і неперервність функції двох змінних.
- •§ 3. Частинні похідні
- •§ 4. Диференціал функції двох змінних
- •§ 5 Градієнт і похідна в даному напрямі
- •§ 6. Частинні похідні другого порядку.
- •§ 7. Екстремум функції двох змінних
- •§ 8. Умовний екстремум
- •§ 9. Найбільше і найменше значення функції двох змінних в замкненій обмеженій області
- •Література
Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
Конспект лекцій для студентів – заочників (частина 1)
Одеса-2013
Методичні вказівки розроблено старшими викладачами кафедри «Вища та прикладна математика» Соколовською Галиною Володимирівною та Соколовським Сергієм Юрійовичем.
Методичні вказівки схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 31 січня 2013р. (протокол №5).
Рецензенти: доктор фіз.-мат. наук, професор І.Л.Андронов;
кандидат фіз.-мат. наук, доцент Ю.О.Григор’єв.
Розділ 1. Елементи лінійної алгебри
§1. Матриці. Визначники другого та третього порядків
Матрицею розмірності називають сукупність чисел, розміщених у вигляді прямокутної таблиці із рядків та стовпців. Записують
або , ,
де - елемент матриці розташований у –тому рядку та –тому стовпці.
Якщо число рядків матриці дорівнює числу стовпців , то матрицю вважають квадратною порядку .
Розглянемо квадратну матрицю другого порядку
. (1.1)
Елементи , утворюють головну діагональ матриці, а елементи - побічну.
Визначником (детермінантом) другого порядку, що відповідає матриці (1.1), називається число, яке визначається рівністю
. (1.2)
Іншими словами, визначник дорівнює різниці між добутками елементів головної та побічної діагоналей.
Розглянемо квадратну матрицю третього порядку
. (1.3)
Елементи , утворюють головну діагональ матриці, а елементи - побічну.
Визначником (детермінантом) третього порядку, що відповідає матриці (1.3), називається число, яке визначається рівністю
. (1.4)
Зазначимо, що перші три доданки, які входять до (1.4) зі своїм знаком, є добутками елементів головної діагоналі визначника і добутками елементів, розташованих у вершинах трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі.
Останні три доданки, які входять до (1.4) із протилежним знаком, утворені аналогічно відносно побічної діагоналі.
Приклади.
1. Обчислити .
Розв’язання. За означенням .
2. Обчислити
Розв’язання. За формулою (1.4)
.
§2. Властивості визначників другого та третього порядків
Властивість 1. Значення визначника не зміниться, якщо його рядки замінити на відповідні стовпці (тобто транспонувати):
Дійсно, ,
=.
Ця властивість встановлює повну рівноправність рядків і стовпців. Тому всі наступні властивості можна формулювати та доводити і для рядків і для стовпців.
Властивість 2. При переставленні двох сусідніх рядків (стовпців) визначника змінюється тільки його знак.
Ця властивість легко доводиться безпосереднім обчисленням за правилом (1.2) або (1.4).
Властивість 3. Визначник з двома однаковими рядками (стовпцями) дорівнює нулю.
Справді, якщо однакові рядки поміняти місцями, то, з одного боку, визначник не зміниться, а з іншого, за властивістю 2 він змінить знак на протилежний. Отже, , звідки .
Властивість 4. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.
Доведення цієї властивості проведемо, наприклад, для визначника другого порядку, другий рядок якого має спільний множник :
Властивість 5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то й сам визначник дорівнює нулю.
Ця властивість випливає з попередньої.
Властивість 6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
Справді, виносячи коефіцієнт пропорційності за знак визначника, дістанемо визначник з двома однаковими рядками, який за властивістю 3 дорівнює нулю.
Властивість 7. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) визначника
є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементи вказаного рядка (стовпця)замінені відповідними доданками. Наприклад,
=.
Доведення останньої рівності проводиться безпосереднім обчисленням визначників в лівій і правій його частинах.
Властивість 8. Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) визначника додати елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільний множник, то значення визначника не зміниться.
Ця властивість випливає з властивостей 6 і 7.
Далі розглянемо визначник (детермінант)
,
що відповідає квадратній матриці порядку
. (1.5)
Мінором , що відповідає елементу матриці (1.5), називається визначник, який відповідає матриці, утвореній з (1.5) викресленням - го рядка та – го стовпця.
Алгебраїчним доповненням елемента матриці (1.5), називається відповідний мінор, взятий зі знаком плюс, якщо сума його індексів парна, і зі знаком мінус, якщо сума його індексів непарна:
.
Теорема 1.1. Значення визначника матриці (1.5) дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або довільного стовпця на відповідні алгебраїчні доповнення.
; (1.6)
. (1.7)
Приклад. Знайти визначник , розклавши Теорема зводить обчислення визначника до обчислення визначників нижчих порядків. Формули (1.6) називають формулами розкладання визначника за елементами - го рядка, формули (1.7) - формулами розкладання визначника за елементами – го стовпця.
його за елементами першого рядка.
Розв’язання. За формулою (1.6)
.