- •Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
- •Розділ 1. Інтегральне числення
- •§1. Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Основні формули інтегрування
- •§2. Метод заміни змінної (підстановки) у невизначеному інтегралі
- •§3. Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •§4. Інтегрування деяких виразів, що містять квадратний тричлен
- •§5. Інтегрування деяких ірраціональних і тригонометричних виразів
- •§6. Про функції, інтеграли від яких не виражаються через елементарні функції
- •§7. Визначений інтеграл та його властивості
- •Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •Властивості визначеного інтеграла
- •§8. Інтеграл зі змінною верхньою межею
- •§9. Формула Ньютона - Лейбніца
- •§10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •§11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •§12. Невластиві інтеграли
- •1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невластиві інтеграли і роду).
- •2. Інтеграли від розривної функції (невластиві інтеграли роду).
- •§12. Застосування визначеного інтеграла
- •1. Обчислення площі плоскої фігури.
- •2. Обчислення довжини дуги.
- •2. Обчислення об’єму за площею поперечного перерізу.
- •Розділ 2. Звичайні диференціальні рівняння
- •§1. Поняття про диференціальні рівняння
- •§2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •§2. Диференціальні рівняння другого порядку. Рівняння, що допускають зниження порядку.
- •§4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.
- •Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами і спеціальним виглядом правої частини.
- •§5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Системи лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •Розділ 3. Ряди
- •§1. Властивості числового ряду.
- •Основні властивості рядів
- •§2. Ряди з додатними членами.
- •§3. Ряди з довільними членами.
- •§4. Ряди з чергуванням знаків.
- •§5. Функціональні ряди.
- •§6. Степеневий ряд.
- •§6. Розвинення функції в степеневий ряд.
Г.В. Соколовська с.Ю. Соколовський вища математика
Конспект лекцій для студентів – заочників (частина 2)
Одеса-2014
Методичні вказівки розроблено старшими викладачами кафедри «Вища та прикладна математика» Соколовською Галиною Володимирівною та Соколовським Сергієм Юрійовичем.
Методичні вказівки схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 30 січня 2014р. (протокол №7).
Рецензенти: доктор фіз.-мат. наук, професор І.Л.Андронов;
кандидат фіз.-мат. наук, доцент Ю.О.Григор’єв.
Розділ 1. Інтегральне числення
§1. Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості
Означення. Функція називається первісною функції на проміжку , якщо для будь-якого з цього проміжку виконується рівність , тобто є похідною від .
Наприклад, функція є первісною для . Дійсно . Очевидно: якщо - первісна функції на проміжку , то будь-яка функція виду , , також є первісною функції на цьому проміжку.
Теорема 1.1. Якщо та - дві первісні функції на проміжку , то .
Доведення. Введемо функцію за формулою . Як бачимо, . Доведемо, що . Зафіксуємо значення . На проміжку функція диференційовна, тому за теоремою Лагранжа маємо: для будь-якого існує таке число , що знаходиться між числами та , що виконана рівність . Отже для будь-якого . Тоді .
Таким чином, якщо - деяка первісна функції , то сукупність всіх первісних можна подати у вигляді ( - довільна стала).
Означення. Невизначеним інтегралом від функції називається сукупність всіх її первісних. Пишуть
.
Тут - яка небудь первісна функції , - довільна стала. При цьому називають змінною інтегрування, - підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом.
Властивості невизначеного інтеграла
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Властивості невизначеного інтеграла безпосередньо випливають з його означення.
Основні формули інтегрування
1) ;
2) ; 3) ;
4) ; 5) ;
6) ; 7) ;
8); 9) ;
10) ; 11) .
Довести будь-яку з цих формул можна взявши похідну від правої частини та впевнившись у тому, що вона дорівнює підінтегральній функції.
Приклади.
1)
;
2) ;
3) .
§2. Метод заміни змінної (підстановки) у невизначеному інтегралі
Теорема 1.2 Будь-яка формула інтегрування залишається вірною і в тому випадку, якщо в ній замінити змінну інтегрування на якусь диференційовну функцію.
Доведення. Нехай рівність ( - довільна стала) справедлива на проміжку . Замінимо на , де - функція, диференційовна на . Доведемо, що , або . Продиференціюємо праву частину по . Одержимо . Тобто отримали підінтегральну функцію. Теорему доведено.
Зауважимо, що при інтегруванні іноді більш доцільно використовувати заміну змінної не у вигляді , а у вигляді .
Приклади.
1)
;
2)
.
Замість функції нову змінну можна не писати. Такий спосіб оформлення підстановки називають підведенням під знак диференціалу
3) .
Розглянемо деякі застосування теореми 1.2.
1. Нехай - первісна функції . Тоді
. Отже
.
Приклади.
1) ;
2) .
2. Неважко зрозуміти:. Таким чином,
.
По аналогії можна довести, що
.