операційне числення Слинько 2011

Елементи операційно числення

Операційне числення відіграє важливу роль при розв’язанні прикладних задач, особливо в сучасній автоматиці і телемеханіці.

Операційне числення – один із методів математичного аналізу, який дозволяє в деяких випадках звести дослідження диференціальних і деяких типів інтегральних операторів до розгляду більш простих алгебраїчних задач.

Методи операційного числення допускають реалізацію наступних умов схеми розв’язку задачі.

1.Від шуканих функцій переходять до деяких інших функцій – їх зображень.

2.Над зображенням проводять операції, відповідні заданим операціям над самими функціями.

3.Отримавши деякий результат при діях над зображеннями, повертаються до самих функцій.

В якості перетворення, яке дозволяє перейти від функції до її зображення, будемо використовувати так зване перетворення Лапласа

(Laplace).

1.Перетворення Лапласа. Оригінали та їх зображення

Головними поняттями операційного числення є поняття функції - оригіналу і функції – зображення.

Нехай f (t) – функція дійсної змінної t виду

f (t) u(t) iv(t),

де u(t) , v(t) – дійсна і уявна частина функції;

i – уявна одиниця, називається комплексною функцією дійсної змінної.

Функція f (t) називається оригіналом, якщо вона задовольняє таким умовам:

1) f (t) визначена і неперервна на осі t , t ( , ) , за винятком

можливо, скінченного числа точок розриву першого роду на кожному інтервалі скінченної довжини;

величиною може зростати не швидше деякої показникової функції . Число

S0 називається показником зростання функції .

1

Приклади

Показати, що функції є функціями – оригіналами

Розв’язання

Умова (2) виконана в силу завдання функції. Функція f (t) задовольняє умові (1). Накінець, для любих дійсних t

e2t sin 3t e2t ,

Тут в якості М в умові (3) можна взяти число ≥ 1; S0 2.

Розв’язання

Функція f(t) , є неперервною при любих кінцевих t, виконана умова (1), умова (2) виконана в силу завдання функції.

Для любих дійсних t

Розв’язання

Функція f(t)= et3 не є оригіналом, оскільки не задовольняє умові 3). Зауваження. Для фізичних процесів найменш жорсткою є умова 2),

оскільки звичайно можна вказати початок відліку часу t = 0.

Умови 1) і 3) звичайно звужують клас оригіналів. Так, функції ln1t , tgt

тощо не є оригіналами, оскільки порушується умова 1). Отже до класу функцій – оригіналів входять не всі функції.

Найпростішою функцією – оригіналом є так звана одинична функція

Хевісайда (Heavysiade)

2

задовольняє усім умовам які накладаються на функції-оригінали .

Приклади для самостійного розв’язування

Перевірити чи є дані функції функціями-оригіналами і знайти показник зростання S0

1) f (t) t 3 ;

Відповіді:

1)Да, S0 0;

2)Да, S0 0;

3)Ні.

Теорема (область визначення зображення).

Зображення визначено у тих точках комплексної площини , де

3

Re p S 0 (дійсна частина комплексного аргументу більша за показник зростання S 0 )

β

Re p S0

(необхідна умова існування зображення).

Теорема (Єдність зображення оригіналу)

Будь-якому оригіналу відповідає єдине зображення. Справедливе і обернене твердження: якщо у півплощині, де

Re p S0 ,

f ( p) є зображенням деяких двох оригіналів f1 (t) і f2 (t) , то ці оригінали тотожно рівні в точках своєї неперервності.

Розв’язання

4