Добавил:

Volokhoff Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный морской университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Ряды Фурье - Соколовська Г.В. Кусік Л.І.- 2007

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2019

Размер:

612.03 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ МОРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра «Вища та прикладна математика»

РЯДИ ФУР’Є

Типовий розрахунок

Одеса - 2007

Типовий розрахунок розроблено Соколовською Галиною Володимирівною та Кусік Людмилою Ігорівною – асистентами кафедри «Вища та прикладна математика» Одеського національного морського університету.

Типовий розрахунок схвалено кафедрою «Вища та прикладна математика» ОНМУ 23 лютого 2007 р. (протокол № 7).

Рецензент - доцент Дреков В. М.

Рядом Фур’є для визначеної та інтегровної на відрізку [ ; ] функції f (x) назвемо ряд

	a0
		(an cos nx bn
	2
		n 1

коефіцієнти якого знаходимо за формулами:

				1
		a0		1		f (
		a0				f (


	1				1
an	1	f (x) cos(nx)dx ,	bn		1
an		f (x) cos(nx)dx ,	bn

sin nx) ,

(1)

x)dx ,

f (x)sin(nx)dx , n 1,2,...

(2)

Будемо говорити, що функція f (x) задовольняє умови Діріхле на інтервалі (a,b) ,

якщо на цьому інтервалі функція :

1) рівномірно обмежена, тобто |

f (x) | M при a x b , де

M - стала;

2) має не більш, ніж скінченне число точок розриву I роду (тобто у кожній точці роз-

риву x0 функція

f (x) має скінченну ліву границю f (x0

0) lim f (x0 ) і скінчен-

ну праву границю

f (x0 0) lim f (x0 ) ( 0 );

3) має не більш, ніж скінченне число точок строгого екстремуму.

Теорема 1 (Діріхле). Якщо функція f (x)

задовольняє умови Діріхле на інтервалі

( , ) , то у кожній точці x ( , ) , в якій

f (x) неперервна, вона може бути розви-

нута в тригонометричний ряд Фур’є (1) і сума ряду S (x) дорівнює

f (x) . Якщо

x ( , ) є точкою розриву функції f (x)

, то S(x )

f (x 0) f (x 0)

. На

кінцях інтервалу у точках x і

x сума ряду дорівнює

S( ) S( )

f ( 0) f ( 0)

f ( x) f (x) ряд (1) не містить сину-

Неповні ряди Фур’є. Для парної функції

сів, тобто

f (x)dx ,

f (x) cos(nx)dx ,

n 1,2,...

(3)

Якщо

f (x) - непарна функція

f ( x) f (x) , то

an 0

( n 0,1,2,... )

f (x)sin(nx)dx ,

n 1,2,...

(4)

Функція f (x) , що є визначеною на інтервалі (0, ) , може бути продовжена на інтервал ( ,0) або як парна (коефіцієнти визначаємо за формулами (3)), або як непарна (тоді коефіцієнти обчислюємо за формулами (4)).

Ряди Фур’є періоду 2l .

f (x) задовольняє умови Діріхле на інтервалі ( l,l) (

l -

Теорема 2 . Якщо функція

додатна стала), то у кожній точці x ( l,l) , в якій

f (x)

неперервна, сума ряда S (x)

дорівнює f (x) і має місце розвинення

n x

f (x)

an cos

bn sin

(5)

n 1

де

1 l

n x

f (x) cos

dx ,

n 0,1,2,...

(6)

1 l

n x

f (x)sin

dx , n 1,2,...

Якщо x0 ( l,l) є точкою розриву функції f (x) , то

S(x )

f (x 0) f (x 0) . На кінцях інтервалу

у точках x l і x l сума

ряду дорівнює

S( l) S(l)

f ( l 0) f (l 0) .

Зауваження 1.

Для парної на

( l,l) функції

f (x) коефіцієнти ряду дорівнюють:

2 l

n x

( n 1,2,...),

f (x) cos

( n 0,1,2,... );

(7)

для непарної –

2 l

n x

( n 0,1,2,...),

f (x)sin

dx ( n 1,2,...).

(8)

Зауваження 2. В разі розвинення функції

f (x) в ряд Фур’є на довільному інтервалі

(a, a 2l) довжиною 2l границі інтегрування у формулах (6) мають бути замінені на a та a 2l відповідно.

Завдання 1. Не розкладаючи функцію y f (x) в ряд Фур’є на інтервалі ( l;l) , побудувати графік функції y S(x) , що є сумою цього ряду. Знайти S(x1) та S (x2 ) .

№		f (x)		l	x1	x2
варіанта		f (x)		l	x1	x2
варіанта
1		3x 1		1	1	18
2		2 x		2	-2	17
3		2x 3		1	0,5	-15
4		x 1		1	-1	19
5		2x				17 / 2
6	x( x)					10

7		x2 2x		2	1	14
8		x3		1	1	16,5
9		1 x3		1	-1	-22
10		(x 1)2		1	1	34
11		(x 1)3		2	-2	16
12		x(x 1)		1	1	14,5

13		2x		2	-2	17
14		(1/ 2)x		1	1	-12
15		1 2x		2	1	18
16		3x		1	-1	18
17		(1/ 3)x		1	1	-24
18		1 3x		2	-2	17
19		sin x		/ 2	/ 2	13 / 4
20		cos x		/ 2	/ 4	11 / 6
	0,	3 x 0
21		0 x 3		3	3	19
	x,	0 x 3
	x,	1 x 0
22		0 x 1		1	-1	26,5
22	0,	0 x 1
	x, 2 x 0
23		0 x 2		2	2	25
	0,	0 x 2			2	25
	0,	1 x 0
24				1	1	-14,5
	2x, 0 x		1
	1, 2 x 0
				2	-2	25
25	1 x, 0 x		2

№		f (x)	l	x1	x2
варіанта		f (x)	l	x1	x2
варіанта
	2 2x, 1 x 0
26		x 1	1	1	13,5
	2, 0	x 1
	(x 2) 2, 2 x 0
27			2	-2	15
	1 x, 0 x 2
	0,	1 x 0
28			1	0	-7,5
	1 x, 0 x 1
	1, x 1;0
29					22
29		x 1;0	1	-1	22
	x,	x 1;0	1	-1

	x 1, 2 x 0
30		0 x 2	2	-2	15
	0,	0 x 2
31	x x 2 , x 2;0
31
	1 x, x 2;0		2	1	-14

Розв’язання задачі варіанта 31.

Побудуємо спочатку графік функції y f (x) .

Рис. 1

За теоремою (1 ), графік суми y S(x) ряду Фур’є для цієї функції на інтервалі (-2;2) співпадає з цим графіком в будь-якій точці інтервалу, крім точки розриву x 0 .

S(0) ( f ( 0) f ( 0))2 (0 1)2 12;

S( 2) S(2) ( f ( 2 0) f (2 0))2 (0 1)2 12.

Враховуючи, що функція y S(x) є періодичною з періодом T 2l 4, побудуємо її графік.

Рис. 2

Знайдемо S(1) та S( 14) .

S (1) f (1) 0,

S ( 14) S (2 16) S (2 4T ) S(2) 12.

Завдання 2. Записати розвинення функції y f (x) в ряд Фур’є на інтервалі

( ; )

№		f (x)				№	f (x)
варіанта		f (x)				варіанта	f (x)
варіанта						варіанта
1		x				2	2x
3	(x ) 2					4	2x 2

5	(x 1)					6	2x 3

7		3x				8	sin x 2

9	cos x				2	10	sin x 3

11	cos x				3	12	sin2 x		4

13	cos2 x				4	14	sin2 x		6

							, x 0
15	cos		2	x	6	16
	cos			x	6		x, 0 x

	x, x 0						x, x 0
17		x				18
	, 0	x					x, 0 x
	0, x 0						x, x 0
19						20
	2x, 0 x						, 0 x
21			x2			22	3x2
		x2					, x 0
		x2				24
23							x , 0 x
	x,	x 0						x
25						26		x
	,	0 x
	,	0 x

№	f (x)	№	f (x)
варіанта	f (x)	варіанта	f (x)
варіанта		варіанта
	x, x 0		2x, x 0
27		28
	x, 0 x		, 0 x
	2x, x 0		2 , x 0
29		30
	, 0 x		2 x, 0 x
31	x(x 1)

Розв’язання задачі варіанта 31.

За формулами ( 2 ) визначимо коефіцієнти ряду Фур’є.


	1			1				1			2			2x	3				2	2
															3					2
a0			x(x 1)dx		x2dx				xdx				x2dx								,
a0			x(x 1)dx		x2dx				xdx				x2dx	3				3			,
													0			0		3
													0			0
оскільки y x2 - парна функція,							а y x -непарна.
		1				1				1							2
an		1	x2 cos nx dx			1	x cos nx dx			1		x2 cos nx dx					2	x2 cos nx dx, n				1, ,
an			x2 cos nx dx				x cos nx dx					x2 cos nx dx						x2 cos nx dx, n				1, ,
																		0

через те, що функція y x2 cos nx є парною, а функція y xcos nx -непарною. Застосуємо метод інтегрування частинами

u x2 ,

du 2x dx,

cos nx dx

sin nx

xsin nx dx

dv cos nx dx,v sin nx

u x,

du dx,

xsin nx dx

dv sin nx dx, v

cos nx dx.

cos nx

cos nx dx

4( 1)n

cos n

, n 1, .

sin nx

n n

bn x2 sin nxdx

2 x cos nx

u x,

du dx

x sin nxdx

cos nx

sin nxdx, v

cos nx dx

cos n

sin nx

cos n

2 1 n

y xsin nx і непар-

, n 1, . (Тут також використано парність функції

ність

y x2 sin nx ).

Таким чином, розвинення функції y x(x 1) в ряд Фур’є на ( ; ) має вигляд:

4( 1)

2( 1)

cos nx

sin nx

n 1

або

							1	2			n 2cos nx					sin nx
							1	2	2 ( 1)		n 2cos nx					sin nx
																	.
							3						n	2		n	.
							3		n 1				n			n
	Завдання 3. Записати розвинення функції														y f (x) в ряд Фур’є на інтервалі
(0;l) у варіантах		1-15, 31за косинусами, 16-30, 32за синусами.

	№			f (x)						l			№				f (x)		l
	варіанта			f (x)						l		варіанта					f (x)		l
	варіанта											варіанта

	1		sin 2x										2				sin 3x
	3		sin 4x										4				sin x 2

	5		sin			x 3							6			2 x,		0 x 1,	2
	5												6					1 x 2	2
																1,		1 x 2
		1,			0 x 1,											x,		0 x 1,
	7		x , 1 x 2							2			8				x , 1 x 2		2
		2	x , 1 x 2													2	x , 1 x 2
		2x,		0 x 1,												1 x,		0 x 1,
		2x,		0 x 1,
	9									2			10						2
	9			1 x 2						2			10			2(x 1), 1 x 2			2
		2,		1 x 2
		x 1,				0 x 1,											2(x 1)
	11									2			12				2(x 1)		1
		4 2x , 1 x 2
	13				x					1			14				1 x		1
	15			x									16				2x 1		2
	17		cos 2x										18				cos 4x
	19		cos3x										20				cos x 2

			cos x				3									2 x,		0 x 1,
	21		cos x				3						22					1 x 2	2
																1,		1 x 2
		1,			0 x 1,											x,		0 x 1,
	23		x , 1 x 2							2			24				x , 1 x 2		2
		2	x , 1 x 2													2	x , 1 x 2
	25				x					1			26				1 x		1

№	f (x)	l	№			f (x)	l
варіанта	f (x)	l	варіанта			f (x)	l
варіанта			варіанта

27	x		28			x
29	2x 1	1	30			2x
				1 x, 0 x 1,
31	sin x		32		0,	1 x 2	2
					0,	1 x 2

Розв’язання задачі варіанта 31.

Ряд Фур’є для функції y sin xза умовами задачи має складатися лише з косинусів і його сума повинна співпадати з цією функцією на інтервалі (0; ) . Розглянемо функцію:

f1 (x)

що є парним продовженням функції зображено на рисунку 3.

sin( x),	x 0,
	0 x ,
sin x ,	0 x ,

y sin x, x (0; ) , на інтервалі ( ; ). Її графік

Рис. 3

Тепер слід розвинути f1 (x) в ряд Фур’є на ( ; ). За формулами (3) маємо:

	1			2						2				0				2					4
a0			f1 (x)dx		sin x dx						cos x										( 1 1)			;


					0
	1							2									2
an	1		f1 (x)cos nx dx					2	f1 (x)cos nx dx								2		sin x cos nx, n						1,	.
an			f1 (x)cos nx dx						f1 (x)cos nx dx										sin x cos nx, n						1,	.
									0									0
Обчислимо окремо a1 :
	2					1							1							0 0.
a1		sin x cos xdx					sin 2x dx								cos 2x

												2

		0					0

Для будь-якого n 2, маємо:
	1		sin(n 1)x sin(n 1)x dx										1			cos(n 1)x						cos(n 1)x
	1												1			cos(n 1)x						cos(n 1)x
an																											=
an																		n 1						n 1			=
		0																n 1						n 1			0
		0																									0

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
06.06.20192.56 Mб20Методичка.doc
#
06.06.2019486.7 Кб7Неопределенный интеграл - Звекова Н.П. Полетаева Л.О. 2009.pdf
#
06.06.2019657.71 Кб6операційне числення Слинько 2011.pdf
#
06.06.2019764.21 Кб4Операційне числення. ТР.pdf
#
06.06.2019620.65 Кб5Ряды - Мазур Н.А. - 2003.pdf
#
06.06.2019612.03 Кб8Ряды Фурье - Соколовська Г.В. Кусік Л.І.- 2007.pdf
#
06.06.2019428.59 Кб4Сист-лін-рівн-ТР-Семіренко-к2.pdf
#
06.06.2019269.52 Кб3Статистичний ряд - Мазур..pdf
#
06.06.2019814.81 Кб11Т.Р . 1999 Вступ до аналізу. Похідна.pdf
#
06.06.20192.04 Mб7Т.Р . 1999 г. Неопределенный интеграл k1.doc
#
06.06.2019497.21 Кб23Т.Р . 2005 Елем. аналітичної геом..pdf