Функції кількох змінних
.pdfЗадача 1. Зобразити області, задані нерівностями
Варіант |
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Варіант |
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x2 y x 2 |
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0 y 4 x2 |
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x 5 2 y 3 2 9 |
4 |
4x2 9 y2 36 |
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x 5 2 y 3 2 36 |
x2 4 y2 4 |
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x2 y2 16 |
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xy 4, |
8x y 0 |
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5 |
x2 y2 |
4 |
6 |
x |
y |
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0 |
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3 |
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0 x 1 |
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2 |
x |
2 |
8 |
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x2 y x |
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cos x y 3 |
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x2 |
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y2 4 |
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1 |
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x |
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y x , |
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y 0 |
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y 0, |
y |
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5 x 1 |
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x2 y 1 x2 |
y 0, |
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3 y x 1 y |
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1 x e |
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x y |
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1 |
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ln x y x |
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3x 5y 10,5x 2 y 35 |
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x 10, |
2x y 8 |
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x 0, |
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y 0 |
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x 2 y 12, |
y 2 |
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2
Варіант |
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Область |
Варіант |
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Область |
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0 x 10, |
0 y 10 |
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1 x y 2x 2, якщо |
1 x 0 |
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x y |
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5 |
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18 |
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x y 2 2x, якщо |
0 x 1 |
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1 |
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2x x2 y 4 x2 |
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1 x y 1 x2 |
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21 |
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x2 4 y 4 x2 |
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x 10 2 y 6 2 49, y 0 |
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23 |
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1 x 2, x y 2x |
24 |
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y 0, y x3 , y 1 x2 |
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y 0, y x 2 y |
26 |
x y 2 x, 0 x 4 |
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x2 |
y2 |
4, 2 y x 2 0 |
28 |
y 0, y 16 x2 |
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y |
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1, x 0 |
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y 0, y x 1, 2 x 6 |
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x |
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Задача 2. Знайти область визначення функції |
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Варіант |
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Функція |
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Варіант |
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Функція |
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2 |
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z 1 x2 |
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y2 1 |
z |
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x2 y2 4 |
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3 |
z |
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1 |
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1 |
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4 |
z |
1 |
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4 x2 y2 |
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x y |
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x y |
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5 |
z |
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1 |
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1 |
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6 |
z |
1 |
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x 4 |
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8 y |
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ln(x |
y) |
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7 |
z ln(x y 1) |
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z ln(x y 2) |
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9 |
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x |
2 |
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y |
2 |
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z ln(9 x |
2 |
y |
2 |
) |
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z 4 |
1 |
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4 |
9 |
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11 |
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x |
2 |
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y |
2 |
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z ln y ln(x y) |
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z ln(1 |
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) |
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9 |
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4 |
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13 |
z ln x ln( y x) |
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z ln(xy) |
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z ln(4x y2 ) |
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16 |
z ln( y2 |
4x) |
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17 |
z ln(x y ) |
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18 |
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z |
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x |
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x y |
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19 |
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1 |
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1 |
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20 |
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z |
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z |
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y |
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x |
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y |
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x |
1 |
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Варіант |
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Функція |
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Варіант |
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Функція |
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1 |
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22 |
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z 5 x |
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z 4 y |
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5 y |
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x 3 |
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|||||
23 |
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1 |
|
|
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24 |
|
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|||
z |
|
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|
z y |
|
2 x |
||||||||||||||||||||||
|
ln(x y2 ) |
|
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||||||||||||
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||||||||||||||
25 |
|
|
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|
|
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|
26 |
|
|
|
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|
z x 1 y |
|
z y x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
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|
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|||||||||
27 |
z |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
28 |
z |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
1 x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
y 1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
29 |
z arcsin |
|
y |
|
|
30 |
z arccos |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
y |
|||||||
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|
|
|
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|
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|
Задача 3. Знайти частинні похідні z і z функцій
x y
Варіант |
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Функція |
|
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|
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Варіант |
Функція |
|||||||||||||||||
|
|
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||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y |
|
||
z arcsin |
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
z ln |
2 |
tg |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
4 |
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
z x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
arctg |
|||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z ln |
3 |
|
|
|
|
y |
2 |
2x |
2 |
z ln sin |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Варіант |
Функція |
Варіант |
|
Функція |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7 |
z ln sin(x y) |
8 |
z |
1 |
ln3 |
x2 y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9 |
z yln x xln y |
10 |
z arctg |
|
x y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 xy |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||
11 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
12 |
z x |
2 y |
|
|
y |
2x |
||||||||||||||||||||
|
z arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||
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|
xy |
|
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|||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
13 |
z arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
z cos(arctg xy) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
z esin2 xy |
|||||||||||||||||||
z |
|
|
|
xy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17 |
z e |
sin |
y |
18 |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
2xy |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19 |
z |
cos(x2 y2 ) |
20 |
z ln |
|
x y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
y x |
|||||||||||||||||||
|
sin(x2 y2 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21 |
z tg |
|
|
2xy |
22 |
z sin |
x |
cos |
|
y |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
23 |
z arc sin |
|
|
x y |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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||||||||
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x y |
|
z sin(xy) e x |
||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
6
Варіант |
|
Функція |
|
|
|
|
Варіант |
|
Функція |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
x2 cos y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
z 3 ln(x2 |
y2 ) |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
tg(xy) |
|
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||||||||||||||
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|||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
27 |
|
z ln5 4 x2 y2 |
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
z ln sin 1 xy |
|
|
|
|
|
z ln cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|||||||
Задача 4. Знайти похідну |
dy |
функції, заданої неявно даним рівнянням |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Варіант |
|
Рівняння |
|
|
|
Варіант |
|
|
Рівняння |
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
x2 y2 exy |
|
|
|
|
2 |
|
2x y y cos x 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
x y2 tg(xy) 0 |
|
|
|
4 |
|
y2 x sin x cos y 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 |
|
2x 3y x y2 0 |
|
|
|
6 |
|
3xy sin x ln y 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7 |
|
ey x2 ctgx y 0 |
|
|
|
8 |
|
ln(x2 y2 ) 2xy 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
|
y cos |
y |
x2 2 y 0 |
|
|
|
10 |
|
x sin(xy) ln y x 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
|
|
|
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11 |
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xy tg |
y |
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2 |
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12 |
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sin |
y |
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x |
x 3 |
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x |
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x |
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y |
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||||||||||||
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7
Варіант |
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Рівняння |
Варіант |
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Рівняння |
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13 |
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24 x 3 y x y2 0 |
14 |
arctg(x y) x2 y2 5 |
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15 |
ln ex ey x y 0 |
16 |
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y exy x 2y 0 |
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17 |
y2 x2 ctg(xy) 0 |
18 |
y ln x sin y ex 0 |
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19 |
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ex y x2 y2 0 |
20 |
sin x cos y 2x y 0 |
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21 |
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e |
x2 |
y2 |
2x y 0 |
22 |
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4x y |
x y |
2 |
0 |
||||
|
|
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2x |
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23 |
arctg(x2 y) x2 2y 0 |
24 |
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arcsin(xy2 ) x 2 |
|||||||||||
|
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|
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25 |
ctg |
y |
x2 2 y 0 |
26 |
tg(xy2 ) x 2y 0 |
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|
2x |
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|||||||
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27 |
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2ln(x y) xy 0 |
28 |
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2 x x2 3y2 |
0 |
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y |
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2 |
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29 |
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30 |
sin2 (xy) cos(x y) 0 |
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ln(x y) x y2 0 |
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8 |
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Задача 5 . Знайти похідну |
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dy |
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показниково – степеневої функції: |
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dx |
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№ |
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Функція |
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№ |
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Функція |
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sin2 x |
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1 |
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1 sin3x |
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tgx |
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2 |
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x |
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y(x) |
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y(x) arctg |
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3 |
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|||||||||
3 |
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5 |
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4 |
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x |
tg2x |
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y(x) |
cos3x 7x ln |
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x |
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y(x) x arccos |
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4 |
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|||||||||||||||
5 |
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3 |
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|
x |
ctg6x |
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6 |
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5x |
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2 |
|
lg 3x |
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|
y(x) x |
|
arccos |
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y(x) e |
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|
tg |
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2 |
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|
x |
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7 |
y(x) x |
3 |
|
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|
1 tg5x |
|
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8 |
arcsin |
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2x3 x |
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|
x |
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|
|
|
sin 4x |
|
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y(x) |
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3 |
ctg 4x |
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9 |
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3 |
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cos2 x |
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10 |
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|
2 |
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arctg2x ex |
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y(x) |
ln x |
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x |
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y(x) |
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3 x |
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1 |
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||||
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|
3 |
|
|
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|
|
|
|
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|
3 |
|
tg |
|
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x |
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|||||||||||||
11 |
|
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12 |
|
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|
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y(x) 21 3x sin5 x x |
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|
y(x) cos |
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x cos x |
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1 |
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|||
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2 |
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|
tg2x |
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13 |
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14 |
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|||||||||||||||||||
x |
|
|
cos x |
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y(x) 3x sin2 4x x |
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y(x) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
3arcsin |
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|
x |
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ln(1 3x) |
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(4x 5) |
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15 |
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|
x |
|
|
|
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16 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
x |
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y(x) |
|
5 sin |
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|
y(x) arctg |
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7 |
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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x |
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3 |
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(2 ctg3x) |
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arctg |
1 |
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17 |
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x |
2 |
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18 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin |
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x |
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x |
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y(x) 7 |
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y(x) |
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cos x3 1 |
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|||||||||||||||||||||
19 |
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x |
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4 |
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arcsin2 x |
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20 |
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|
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2x |
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x cos3x |
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|
y(x) 4 |
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x |
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y(x) |
e |
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ln |
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2 |
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||||||||
21 |
y(x) 5x tg 23x (1 x) |
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22 |
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6 |
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5x 1 |
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y(x) |
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ctg2x |
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ln(sin x) |
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9
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y(x) 1 2ln 3x 4 |
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||||||||||||||||||||
23 |
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1 x |
2 |
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arctg 3x |
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24 |
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x cos x |
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y(x) |
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2 |
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||||||
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1 x |
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|||||||
25 |
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tg |
x |
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26 |
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|
x |
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2 e |
7 x |
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|||||||||||
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y(x) 5x arcsin3 |
x |
2 |
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y(x) sin |
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cos |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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|
x |
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sin5 x |
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|||||||
27 |
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y(x) 8 cos2 |
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x sin |
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28 |
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y(x) |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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7x |
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3 |
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2x 1 x |
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|||||||||||||||||||||||||||
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9 x |
ln cos 4x) |
|
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arccos3x |
|
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29 |
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|
30 |
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y(x) x |
3 |
ctg |
4 |
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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y(x) |
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||||||||||||||
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|
|
x2 |
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z |
|
z |
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2 z |
2 z |
|
2 z |
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|||||||||||||
Задача 6. Знайти частинні похідні |
x , |
|
y , |
|
|
|
, y 2 |
, |
|
функцій |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
x y |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
Варіант |
Функція |
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Варіант |
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Функція |
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Варіант |
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Функція |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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y 2 |
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|||
1 |
|
|
z |
|
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|
|
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|
2 |
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z c os(xy) |
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3 |
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z tg(x y) |
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|
x |
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|||||
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||||||||||||||
4 |
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|
z sin x sin y |
|
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5 |
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z 2x |
2 |
y |
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6 |
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z ln(xy) |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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||
7 |
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|
z ln |
y |
|
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8 |
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|
|
z |
x2 y |
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9 |
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|
z e2 xy |
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||
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x |
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2 y |
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||||||||||||||||||||||
10 |
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z yln x |
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11 |
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2 |
|
|
2 |
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12 |
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z ln x2 y |
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|||||||||||||||||||||||
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|
z |
ln |
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|
y |
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z exy2 |
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z ex2 y |
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x2 y |
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z xy2 |
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z ex2 2 y |
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z ln |
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10
Варіант |
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Функція |
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Варіант |
Функція |
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Варіант |
Функція |
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x |
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z y |
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2 |
2 |
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z ln |
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y2 3 |
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x |
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z ex2 2 y |
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z |
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xy |
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xy |
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y2 4 |
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y2 4 |
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z sin x cos y |
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z sin x y2 |
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z sin y cos x |
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Задача 7. Для функції z f (x; y) знайти градієнт і похідну за |
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напрямом вектора |
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в точці M 0 (x0; y0 ) . |
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a |
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Варіант |
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Функція |
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M |
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(x ; y |
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) |
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0 |
0 |
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a |
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0 |
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z |
y3 1 |
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4x2 |
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1 |
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(3;1) |
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4i |
j |
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z ln(2x 4) |
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2 |
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(-1;2) |
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3i |
4 j |
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z |
3x |
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2 |
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3 |
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3 |
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|
y |
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(9;3) |
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5i |
j |
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2 |
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3 |
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4 |
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z y |
x 4xy |
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(1;2) |
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4i |
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j |
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x |
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z arctg |
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(-1;1) |
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i |
j |
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||||||||||||||||||
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|
y |
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