Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
численные.docx
Скачиваний:
6
Добавлен:
19.06.2019
Размер:
352.93 Кб
Скачать

Министерство науки и образования Российской Федерации

ФГБОУ ВО Ивановский государственный химико-технологический университет

Кафедра высшей и прикладной математики

Лабораторная работа

По дисциплине: «Численные методы»

Вариант №19

Выполнил: ст. гр. 2/61 АТП и П П.А. Хавари

Проверил: доц. С.В. Кулакова

Иваново 2017

ЗАДАЧА № 1

Найти решение системы методом простой итерации с точностью 0,0001.

А = В =

Краткая теоретическая часть

Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

или где - заданные числа; .

Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.

Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и

находим первое приближение.

, (2)

Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.

В результате для k-ого приближения получаем формулу:

, (2’)

Таким образом мы получили последовательность векторов

Х(0)(1),…, Х(К), к=1,2,…

Если любая из таких последовательностей {Хi(к)} сходится некоторому пределу xik = ci , ,то данный вектор сi, является решением сист. (1)

В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→∞ при замене хi на сi.

Теорема (достаточные условия сходимости простой итерации):

Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):

а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:

б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:

в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.

Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

  1. система (1) имеет единственное решение (С1,... Сn);

  2. последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =

  3. для приближенного равенства верны оценки (x1(k),…xn(k))(C1,…Cn),

а’) если выполняется условие а), то

,

б’) если выполняется условие б), то

,

в’) если выполняется условие в), то

.

Решение:

Найти решение системы методом Зейделя с точностью 0,0001.

А = В =

Представим систему в матричной форме АХ=В

Выразим из СЛАУ хn:

Проверим, сходится ли система:

Система сходится, значит можно применять метод простых итераций.

Последовательно вычисляем:

При k=1

Х11 = -0,399*(-1,60963) + 0,0625*0,45957 + 1,019231 = 1,690195

Х21 = -0,06952*1,01923 + 0,25134*0,45957 – 1,6096 = -1,61159

Х31 = 0,01702*1,01923 – 0,05532*(-1,60963) + 0,45957 = 0,57749

Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:

При k=2

Х11 = -0,399*(-1,61159) + 0,0625*0,57749 + 1,019231 = 1,69835

Х21 = -0,06952*1,690195 + 0,25134*0,57749 – 1,6096 = -1,58252

Х31 = 0,01702*1,690195 – 0,05532*(-1,61159) + 0,45957 = 0,57602

Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:

Так как они все больше заданного числа 0,0001, продолжаем итерации до тех пор, пока значения не будут меньше 0,0001.

i

x1

x2

x3

ε

0

1,019231

-1,60963

0,459574

1

1,690257

-1,56497

0,565966

0,671026

2

1,679088

-1,58488

0,574918

0,019909

3

1,687592

-1,58186

0,575829

0,008504

4

1,686441

-1,58222

0,575806

0,001151

5

1,686584

-1,58214

0,575807

0,000143

Найдем точное решение:

Высчитываем погрешность:

Ответ: Х*=

Задание №2:

Для функции, заданной таблично, построить полиномы Ньютона и Лагранжа. Вычислить y(х* ), y(х** ).

Определить погрешность. Х*0 +0,05. Х**5 - 0,15.

i

0

1

2

3

4

5

x

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

y

4,018

4,025

4,035

4,048

4,012

4,028

Соседние файлы в предмете Численные методы