Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Факультет:	Аэрокосмический
Специальность:	24.05.02 Проектирование авиационных
	и ракетных двигателей
Специализация:	Проектирование авиационных двигателей
	и энергетических установок
Кафедра:	Авиационные двигатели

Дисциплина «Уравнения математической физики»

Отчёт о решении задачи №1

На тему	Нахождение градиента
радиуса произвольно заданной окружности

Студенты Гамов Антон, Петров Кирилл Олегович, Похлебаев Георгий Юрьевич

Принял:

(

доц. каф. АД Матюнин В.П.

)

Дата:

Пермь 2018 г.

ЗАДАНИЕ

Вычислить градиент в точке O, для произвольно заданной в декартовой системе координат окружности.

ВЕДЕНИЕ

Исследуемой моделью является окружность радиуса ρ с центром в точке O, представленная в декартовой системе координат (Рис. 1). Радиус ρ состоит из двух компонент: r_x и r_y. Связь между ними устанавливается с помощью уравнения Пифагора:

.

С учётом расположения центра:

Рис. 1. Произвольная окружность с радиусом p

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Прототипом данной модели в реальном мире являются, например, расходящиеся круги на воде от падения камня. Следует учесть, что для рассмотрения звуковых волн, распространяющихся в пространстве, данной модели не достаточно в полной мере.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотренную ранее физическую модель можно использовать для создания математической модели. Здесь же следует наложить ограничение, и тем самым упростить работу с ней. Во-первых, рассматриваться будет только одна плоскость распространения волны, например, плоскость поверхности воды. Так же следует отметить, что реальные волны распространяются в пространстве, то есть их радиус увеличивается со временем. Для того чтобы приблизить рассматриваемую математическую модель, следует принять что радиус окружности не зависит от времени. Сделать это можно, воспользовавшись принципом Даламбера, зафиксировав волну в воображаемом равновесии в текущий момент времени, которое будет удобно для нас.

С учетом всех ограничений и упрощений математическая модель будет описана с помощью формулы 1, то есть:

,

в ходе дальнейшего решения мы будем пользоваться именно ей.