Скачиваний:
32
Добавлен:
21.06.2019
Размер:
1.02 Mб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Факультет:

Аэрокосмический

Специальность:

24.05.02 Проектирование авиационных

и ракетных двигателей

Специализация:

Проектирование авиационных двигателей

и энергетических установок

Кафедра:

Авиационные двигатели

Дисциплина «Уравнения математической физики»

Отчет о решении задачи №4

На тему

Исследование нестационарного одномерного течения

в сжимаемой среде

Студенты

Овдеенко Дмитрий Игоревич

(

)

Попов Дмитрий Сергеевич

(

)

Шардаков Артем Александрович

(

)

Группа

АД-16-2с

Принял: _________ доц. каф. АД Матюнин В.П.

Дата: _________ 

Пермь, 2018

Задание

Исследовать нестационарного одномерного течения в сжимаемой среде.

Введение

Нестационарное одномерное течение в сжимаемой среде представляет собой течение в газовой среде (сжимаемой) с изменяющимися во времени параметрами. В силу одномерности задачи, будет рассматриваться только одно направление распространения возмущений. При движении среды будет изменяться скорость и давление среды как по времени так и по координате. Если среда сжимаема, то будет происходить изменение плотности во времени и по координате. Для исследования нестационарных одномерных течений в сжимаемой среде необходимо решить 3 уравнения, описывающих изменение необходимых физических величин:

  1. Уравнение неразрывности;

  2. Уравнение движения Эйлера;

  3. Уравнение энергии.

Этими уравнениями могут описываться движение потоков в каналах постоянных сечений, или распространение звуковых волн в воздухе в пределах какого-либо одного горизонтального слоя.

Оценивая результат совместного решения трех уравнений необходимо определить распределение характеристик в среде.

1. Физическая модель

В качестве физической модели принимается длинный канал постоянного сечения (труба). С одной стороны установлен компрессор, создающий направленное движение частиц газа в канале. На участке канала 1 – 2 создается случайное возмущение, порождающее сопротивление движущейся среде, в результате чего происходит изменение скорости, плотности, давления возмущенных слоев.

Рис. 1. Схема канала

Течение принять изоэнтропным, дозвуковым. Для определения фронта возмущений необходимо построить график распределения возмущений, строящийся на основании найденных характеристических кривых.

2. Математическая модель

Как упоминалось ранее, для исследования нестационарного одномерного течения необходимо записать 3 уравнения:

1) Уравнение неразрывности:

(1)

2) Уравнение движения Эйлера:

(2)

3) Уравнение энергии:

(3)

После чего, объединив их в систему, получается:

(4)

где неизвестные , т. е. получается, что система (4) не разрешается без дополнительных условий.

Необходимо принять, что течение энергоизолированное изоэнтропное, тогда , где – показатель адиабаты. На основании этого условия, система решается с тремя неизвестными:.

При решении системы (4) с помощью матриц, главный вектор решения будет иметь следующий вид:

(5)

3. Общее решение

Для решения системы уравнений необходимо представить ее в матричном виде. Поэтому нужно преобразовать систему в одно матричное уравнение. Чтобы исключить слагаемые, которых нет в системе, необходимо умножить их на 0 и добавить производные по оси х, т.к. задача одномерная.

(6)

Матрицы составляются на основании системы уравнений (4). В матрицу А (7) выписываются множители перед частными производными по времени, а в матрицу В (8) выписываются множители перед частными производными по оси х.

(7)

(8)

Матрицу А нужно умножить на производную вектор решения по времени:

. (9)

Матрицу В нужно умножить на производную вектор решения по координате х:

. (10)

В результате умножения матриц (7) и (8) на производные (9) и (10) соответственно получается дифференциальное уравнение (11).

(11)

Дифференциал от вектора решения:

. (12)

Для поиска характеристик решения нужно подставить дифференциал главного вектора (12) в уравнение (11):

; (13)

. (14)

Характеристическое уравнение описывает линии или поверхности, на которых решение существует, но является неопределенным. Следовательно, необходимо принять равной нулю правую часть уравнения (14). После проведения данных преобразований можно получить характеристическое уравнение (15).

. (15)

С помощью метода характеристик уравнения в частных производных приводятся к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти комплект кривых (характеристик), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Преобразование характеристического уравнения (15) с помощью подстановки значений матриц А и В:

(16)

Вычисление определителя матрицы (16):

; (17)

.

Для получения значений характеристик необходимо приравнять правую часть уравнения (17) к нулю.

Первый множитель:

– характеристика ноль . (18)

Второй множитель:

;

;

– характеристика плюс ; (19)

– характеристика минус . (20)

Таким образом, так как характеристическое уравнение имеет 3 корня оно относится к гиперболическому типу.

И сточник движется со скоростью u (рис. 2). Перемещение источника в невозмущенном потоке описывается характеристикой ноль .

Рис. 2. Схема распределения скоростей: u – скорость источника возмущений; а – скорость возмущения

Перемещение источника в невозмущенном потоке определяется выражением: .

Поток движется влево со скоростью и вправо со скоростью , если поток дозвуковой и скорость дозвуковая.

В разные стороны возмущения смещаются с разными скоростями. Против потока на меньшее расстояние, по потоку на большее.

Необходимо связать полученные характеристики с главным вектором решения. Для этого в матрице (16) третий столбец заменяем столбцом, состоящим из :

. (21)

Тогда формула (16) с подстановкой матрицы (21) будет иметь вид:

. (22)

По правилу вычисления определителя можно получить решение матрицы (22):

;

. (23)

Подставив вместо в уравнение (23) решение , можно получить результат:

. (24)

Решению, полученному в уравнении (24), соответствует - нулевое условие совместности характеристик.

Подставив вместо в уравнение (23) решения, полученные в формулах (19) и (20), можно получить результат:

;

;

. (25)

На основании уравнения (25) можно выразить два решения:

- решению соответствует - характеристика плюс;

- решению соответствует - характеристика минус.

Если течение изоэнтропическое, то выражение (25) является полными дифференциалами величин I, которые называются инвариантами Римана, выраженными формулой (26). Инварианты Римана являются решением уравнений, описывающих одномерное нестационарное движение.

(26)

При изоэнтропическом движении параметры являются определенными функциями от p, и поэтому стоящие в формуле (26) интегралы имеют определенный вид.

Т.к. рассматривается идеальный адиабатный процесс, то уравнение адиабаты будет иметь вид;

. (28)

где k – показатель адиабаты (отношение удельных теплоемкостей).

Из уравнения (28) следует, что

. (29)

Необходимо решить интеграл из уравнения (26). Для этого нужно преобразовать произведение в знаменателе .

Если скорость возмущения , то

. (30)

В выражение (30) можно подставить уравнение (29).

(31)

Вид интеграла после подстановки в него формулы (31):

(32)

Рассмотрение интеграла (32) без константы, вынесенной из него:

. (33)

Подстановка результата интеграла (33) в формулу (32):

(34)

Из уравнения адиабаты (28) можно получить отношение:

. (35)

С учетом уравнения (35), выражение (34) упрощается к виду:

. (36)

После подстановки результата интеграла , выраженного формулой (36), в уравнение (26), оно примет вид:

. (37)

Соседние файлы в папке Задачи Матюнин