Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Факультет Аэрокосмический 

Специальность 24.05.02 Проектирование авиационных 

и ракетных двигателей 

Специализация Проектирование авиационных двигателей 

и энергетических установок 

Кафедра Авиационные двигатели 

Дисциплина «Уравнения математической физики» Отчёт о решении задачи №3

На тему	Нахождение градиента и дивергенции вектора скорости
Несжимаемого потока в расширяющемся двумерном канале

Студенты	Гамов Антон Сергеевич	(		)
	Петров Кирилл Олегович	(		)
	Похлебаев Георгий Юрьевич	(		)
Группа	АД-16-2с

Принял

(

доц. каф. АД Матюнин В.П.

)

Дата:

Пермь 2018 г.

ЗАДАНИЕ

Найти градиент и дивергенцию вектора скорости:

(1)

(2)

ВВЕДЕНИЕ

Для решения данной задачи нужно определить физическую модель, выбрать метод решения, аналитически описать поле скоростей, найти направление градиента вектора скорости и определить чем является поле, источником или стоком. Объектом исследования является поле линейных скоростей в канале.

1. Физическая модель

Канал является расширяющимся, т.е. диффузорный, где поток тормозится. Следует в качестве дополнительной задачи аналитически описать поле линейных скоростей. Канал имеет простейшую геометрическую форму канала – плоский двумерный. В таком случае определение поля скоростей является несложной задачей. Следует учесть, что дивергенция вектора скорости должна оказаться нулевой, т.к. поток несжимаемый, выполняется условие неразрывности. Жидкие частицы испытывают изменение формы при сохранении объёма и могут сжиматься в поперечных и продольных направлениях.

Площадь сечения канала увеличивается, скорость вдоль этого канала уменьшается. Возмущённое тормозящее действие прежде всего у стенок, в поперечном сечении поле скоростей неравномерное, наибольшие скорости на оси (на наибольшем расстоянии от возмущающих осей стенок).

Рис. 1. Расширяющийся канал

Течение является консервативным, нет дополнительных источников и стоков. На стенках не проявляется вязкость, работа неконсервативных сил вязкости отсутствует, сечение идеальное.

2. Математическая модель

Для нахождения градиента и дивергенции вектора скорости нужно определить понятия этих величин.

Градиент – представляет собой функцию скалярной величины и является вектором, нормальным к поверхности равного уровня и показывающий направление наибольшего возрастания функции:

(3)

Дивергенция вектора – скалярное произведение - функции на вектор. Если вектором является скорость потока, то дивергенцию называют коэффициентом кубического или объемного расширения, или скоростью относительной деформации:

(4)

3. Вспомогательная задача

В качестве вспомогательной задачи следует определить поле скоростей. Сечение канала представляет собой живое сечение – это дуга окружности переменного радиуса с углом , поле скоростей в пределах этого сечения равномерно. Радиус этой окружности в таком случае будет равен координате x.

Рис. 2. Живое сечение

Теплообмен с окружающей средой исключён, также поток несжимаем, поэтому внешний теплообмен не влияет на него, объёмный расход постоянен:

. (5)

Отсюда следует, что:

(6)

Тогда в проекциях на оси:

(7)

(8)

4. Решение

Для нахождения градиента и дивергенции вектора скорости следует обратиться к дополнительной задаче. Частные производные от компонент вектора скорости и :

(9)

После нахождения частных производных можно найти дивергенцию и градиент:

(10)

(11)

(12)

(13)

Как и предполагалась, дивергенция равна нулю.

5. Анализ достоверности решения

Для анализа адекватности необходимо отследить, как будут изменяться величины и направление градиента и дивергенции.

Распределение направлений градиентов проекций скоростей, представленное на рисунке 3, обусловлено поперечным сжатием частиц в одном направлении и продольным расширением в другом направлении, и наоборот. При расширении частиц в одном из направлений происходит ускорение потока в этом направлении, при сжатии – торможение.

Рис. 3. Направления градиентов

Рис. 4. Проекция скорости на ось y

Скорости вдоль осей в определённой точке канала зависят от радиус-вектора до этой точки и угла раскрытия:

(14)

Из рисунка 4 видно, что преобладающим фактором для определения проекции скорости на ось y выше наклона линии тока является радиус, а ниже – угол раскрытия.

Более быстрое возрастание до 45 градусов является верным, в чём можно удостовериться, глядя на рисунок 5. Синус возрастает, в то время как косинус убывает при движении от 0 до по тригонометрической окружности.

Рис. 5. Тригонометрические зависимости

Из этого следует, что до понемногу убывает, а сильно возрастает, а после наоборот. Поэтому после течение отрывное и решение становится не применимым.

Если рассмотреть криволинейный канал (рис. 6), то можно заметить, что отрывное течение возникает гораздо раньше при углах примерно равных 10-15 градусам. При довольно большом угле отклонения стенки канала от продольной оси появляется область возвратного течения, которая указывает на то, что градиент скорости по оси x меняет направление.

Рис. 6. Схема образования отрывного течения

Вывод

Была получена формула для нахождения градиента вектора скорости в плоском двумерном канале и получено уравнение для дивергенции. Построена зависимость проекции скорости, откуда понятно, что при приращение радиуса больше приращения угла и наоборот при .

6