Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Факультет:	Аэрокосмический
Специальность:	24.05.02 Проектирование авиационных
	и ракетных двигателей
Специализация:	Проектирование авиационных двигателей
	и энергетических установок
Кафедра:	Авиационные двигатели

Дисциплина «Уравнения математической физики»

Отчёт о решении задачи №2

На тему	Градиент от скалярного произведения
двух векторов

Студенты	Гамов Антон Сергеевич	(		)
	Петров Кирилл Олегович	(		)
	Похлебаев Георгий Юрьевич	(		)
Группа	АД-16-2с

Принял

(

доц. каф. АД Матюнин В.П.

)

Дата:

Пермь 2018 г.

ЗАДАНИЕ

Вывести формулу для нахождения градиента скалярного произведения двух векторов.

ВВЕДЕНИЕ

Определимся с понятиями скалярное произведение и градиент. Скалярным произведением двух векторов A и B называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Или, выражая в проекциях на оси:

(2)

Градиент - вектор, указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине равный скорости роста этой величины в этом направлении. Математически выражается следующей записью:

(3)

Целью дальнейшей работы станет объединений двух этих понятий в единую формулу.

1. ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Скалярное произведение двух векторов часто используется в физике для вычисления какой-либо величины. Поэтому построение модели можно осуществить на основе вычисления механической работы, которая в общем случае равна произведению вектора силы на вектор перемещения:

(4)

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотренную физическую модель можно применить для создания математической модели. Следует учесть, что работа не является векторной величиной, поэтому не имеет направления. Она лишь может оцениваться как полезная, отрицательная и нулевая. Градиент этой величины всегда будет указывать наибольшую скорость возрастания функции. То есть задача сводится в частном случае, рассматриваемом в данном задании, к вычислению .

3. РЕШЕНИЕ

Решение данной задачи рассмотрим на конкретном примере: градиент механической работы. Работа находится как скалярное произведение векторов силы и перемещения:

, (5)

где R=R_xi+ R_yj+ R_zk, S=S_xi+ S_yj+ S_zk.

Тогда градиент от их произведения будет иметь вид:

(6)

Для уменьшения объёма записей выполняются вычисления по орту i:

Следует заметить, что при группировке слагаемых выявляются части ротора, поэтому следующие действия:

Выделенные в скобки части являются угловыми скоростями вращения, так есть угловая скорость вращения вектора S вокруг оси, то есть . Аналогично с остальными скобками.

В итоге после перегруппировки получается:

Аналогично для ортов j и k:

Объединяя три компонента:

Учитывая, что , , , , получается окончательное выражение:

. (7)

4. ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Данное решение описано для частного случая скалярного произведения векторов. Для использования в других подобных задачах следует учитывать, что оба вектора должны отличаться от нуля и не должны быть перпендикулярны, чтобы решение существовало. В общем случае решение применимо и имеет конкретный результат. Последовательность действий, приведших к формуле (7), доказывает верность решения.

Доказательством достоверности формулы (7) является формула (8).

(8)

Где C – вектор скорости частиц в стационарном потоке. Частицы имеют компоненты линейных и угловых скоростей, а кинетическая энергия частицы возрастает от нижней стенки к верхней. Соответственно, решение данной задачи верно и адекватно.

ВЫВОДЫ

Решение такого типа задач в развёрнутом виде без использования сложных математических функций является громоздким и неудобным. При сворачивании появляются математические функции, сокращающие запись и время на реализацию решения. Также формула (7) не имеет больших требований к исходным данным, поэтому её применимость не ограничена.