МА_Метода

F (n)(x) = f(n)(x) − f(n)(x0); F (n+1)(x) = f(n+1)(x).

Следовательно, F (x0) = F 0(x0) = · · · = F (n)(x0) = 0. Найдем производные G äî (n + 1)-é включительно:

G0(x) = (n + 1)(x − x0)n; . . . ; G(n)(x) = (n + 1)!(x − x0); G(n+1)(x) = (n + 1)!

Отсюда G(x0) = G0(x0) = · · · = G(n)(x0) = 0, причем G0, G00, . . . , G(n+1) íå обращаются в нуль на (x0, x).

По лемме 4.1 c		(x0, x):	F (x)	=		F (n+1)(c)		=	f(n+1)(c)		. Отсюда
			G(x)			G(n+1)(c)			(n + 1)!
находим F (x) =	f(n+1)(c)	(x − x0)n+1.
	(n + 1)!

Случай x0 > x рассматривается аналогично.

Следствие 4.2. Пусть P многочлен степени n. Тогда x0, x R

X

n P (k)(x0)

P (x) = (x − x0)k. k!

k=0

Доказательство. Для многочлена n-ой степени (n+1)-я производная тождественно равна нулю. Остается применить к P теорему 4.10 .

5.ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

5.1. Монотонность функций

Пусть функция f :	[ a, b ] → R непрерывна на [ a, b ]				и дифференци-
руема во всех точках (a, b).
Теорема 5.1 1. Функция f не убывает (не возрастает, постоянна)
íà [ a, b ] f0 ≥ 0 (f0	≤ 0, f0 = 0) íà (a; b). 2. Åñëè f0 > 0 (f0 < 0) íà
(a, b), то f возрастает (убывает) на [ a, b ].
Доказательство.	1.			Возьмем произвольное x0	(a, b). Åñëè

f

не убывает (не возрастает, постоянна), òî x [ a, b ], x 6= x0, имеем

f(x) − f(x0)

≥

0 (

≤

0, =

0). То теореме 2.7 о предельном переходе в

x − x0

f(x) − f(x0)

неравенстве f0(x

) = lim

≥

0 (

≤

0, = 0).

0

x→x0

x − x0

Пусть a ≤ x1

< x2

≤ b. По теореме Лагранжа f(x2) − f(x1) =

=

f0(c)(x2 − x1), ãäå c

(x1, x2). Åñëè

f0

≥ 0 (≤ 0, = 0) íà (a, b), òî

40

Пример 5.1.

f0(c) ≥ 0 (≤ 0, = 0). Поэтому f(x2) ≥ f(x1) (f(x2) ≤ f(x1), f(x2) = f(x1)), ò. å. f не убывает (не возрастает, постоянна) на [a; b].

2. Пусть a ≤ x1 < x2 ≤ b. По теореме Лагранжа f(x2) − f(x1) = = f0(c)(x2 − x1), ãäå c (x1, x2). Åñëè f0 > 0 (f0 < 0) íà (a, b), òî f0(c) > > 0 (f0(c) < 0). Поэтому f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)), ò. å. f возрастает

(убывает) на [ a, b ].

Пусть f : R → R, f(x) = xe−x. Òàê êàê f0(x) = e−x(1− −x), òî f0 > 0 íà (−∞, 1) è f0 < 0 íà (1, +∞). По теореме 5.1 функция f

возрастает на (−∞, 1 ] и убывает на [ 1, +∞). •

5.2.Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Определение 5.1. Пусть f : X → R, x0 X предельная точка

множества X. Если x0 предельная справа (но не слева), или x0 предельная слева (но не справа), или f0(x0) = 0, èëè f0(x0) не существует, то x0

называется критической точкой функции f.

По следствию 4.1 из теоремы Ферма функция может иметь экстремум (а также наибольшее и наименьшее значения) только в критических точках. Этот факт называют необходимым условием экстремума .

Укажем достаточные условия экстремума.

Теорема 5.2 Пусть функция f непрерывна в точке x0, для некото- ðîãî ε > 0 Kε(x0) X и существует f0 â K◦ ε (x0). Тогда:

1. Åñëè f0 > 0 íà (x0 − ε, x0) è f0 < 0 íà (x0, x0 + ε), òî x0 точка

максимума.

2. Åñëè f0 < 0 íà (x0 − ε, x0) è f0 > 0 íà (x0, x0 + ε), òî x0 точка

минимума.

3. Åñëè f0 < 0 (> 0) íà (x0 − ε, x0) (x0, x0 + ε), то в точке x0 экстремума нет.

Доказательство. 1. По теореме 5.1 f возрастает на (x0 − ε; x0] è

◦

убывает на [ x0, x0 + ε), а потому x Kε (x0) f(x) < f(x0).

2.Доказывается аналогично.

3.По теореме 5.1 f возрастает (убывает) на (x0 − ε, x0) (x0; x0 + ε),

àпотому в x0 экстремума нет.

Теорему можно кратко сформулировать так: если при переходе через точку x0 производная меняет знак с +(−) íà −(+), то в точке x0 дости-

гается максимум (минимум); если при переходе через x0 производная не меняет знак, то в x0 экстремума нет.

41

Определение 5.2. Критическая точка x0 функции f называется стационарной, если f0(x0) = 0.

Очевидно, что в стационарной точке касательная к графику функции параллельна оси Ox.

Теорема 5.3 Пусть x0 стационарная точка функции f и существует f00(x0). Тогда, если f00(x0) > 0 (f00(x0) < 0), òî x0 точка минимума

(максимума).

Доказательство. Напишем формулу1 Тейлора второго порядка для

функции f в точке x0

:

f(x) = f(x0) +

f00(x0)(x − x0)2 + o((x − x0)2).

2

Отсюда

lim

f(x) − f(x0)

=

1

f00(x0) + lim

o((x − x0)2)

=

1

f00(x0) > 0 (< 0).

(x − x0)2

x→x0

(x − x0)2

2

x→x0

2

По теореме 2.6

ε > 0:

x

◦

(x

)

∩

X выполнено

f(x) − f(x0)

> 0

◦

Kε

0

(x

−

x

)2

0

(< 0). Следовательно, x Kε (x0) ∩ X справедливо f(x) > f(x0) (f(x) < < f(x0)). По определению 4.4 x0 есть точка минимума (максимума).

5.3. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Определение 5.3. Пусть функция f : X → R дифференцируема в

точке x0 X. Будем говорить, что функция f выпукла вниз (вверх) в

◦

точке x0, если существует ε > 0 такое, что x Kε (x0)∩X справедливо неравенство

f(x) > f(x0) + f0(x0)(x − x0);		f(x) < f(x0) + f0(x0)(x − x0) .		x0
Геометрически выпуклость вниз
		(рис. 5.1) (вверх (рис. 5.2)) в точке
означает, что в некоторой проколотой окрестности			x0 график функции f
лежит выше (ниже) касательной к графику f в точке x0.
y . .	y . .	y . .

.

		.
	y = f(x)	.	.	.
		.
		.	.	.
				.
		.	.	y =. f(x)
		.
	.		.	.
		.
.	.		.	.

. . . . . . . .
...... .....
0 a x0	b .x 0 a x0 b .x
Ðèñ. 5.1	Ðèñ. 5.2

		.
		.
y = f(x)		.
		.
	.
		.
	.

. . . .

......

0 a x0 b .x

Ðèñ. 5.3

Теорема 5.4 Если f00(x0) > 0 (f00(x0) < 0), то функция f выпукла вниз (выпукла вверх) в точке x0.

42

f(x) < f(x0) + f0(x0)(x − x0) ,

Доказательство. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f в точке x0:

f(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) + 12f00(x0)(x − x0)2 + o((x − x0)2).

Отсюда имеем lim	f(x) − f(x0) − f0(x0)(x − x0)	=	f00(x0)		> 0 (< 0). Ïî
	(x − x0)2		2
x→x0
теореме 2.6 о стабилизации знака существует		ε > 0 такое, что x

◦

Kε (x0) ∩ X

f(x) − f(x0) − f0(x0)(x − x0) > 0 (< 0). (x − x0)2

◦

Отсюда x Kε (x0) ∩ X

f(x) > f(x0) + f0(x0)(x − x0);

т. е. функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0.

Точки, при переходе через которые характер выпуклости f меняется, называются точками перегиба функции f (см. рис. 5.3). Более точно:

Определение 5.4. Точка x0 X называется точкой перегиба функции f, если x0 есть предельная слева и справа точка X и существует ε > 0 такое, что

x

◦

− x

0) ∩

X

f x

)

> f x

0) +

f0

x

0)(

x

−

x

0)

K ε

(

(

(

(

è

◦

+ x

x

0) ∩

X

f x

)

< f x

0) +

f0

x

0)(

x

−

x

0)

K ε

(

(

(

(

или наоборот.

Теорема 5.5 Пусть x0 X точка перегиба функции f. Если существует f00(x0), òî f00(x0) = 0.

Доказательство. Допустим, что f00(x0) > 0 (< 0). Тогда по теореме

5.4 функция f выпукла вниз (вверх) в точке x0, что противоречит условию. Следовательно, f00(x0) = 0.

Предельные слева и справа точки из множества X, в которых вто-

рая производная функции f равна нулю или не существует, называются

подозрительными на перегиб.

Если при переходе через такую точку x0 вторая производная меняет

çíàê, òî x0 точка перегиба функции. В противном случае в x0 перегиба íåò.

43

Очевидно, что если прямая

ется вертикальной асимптотой графика функции

x→x0−0

x→x0+0

называ-

5.4. Асимптоты графика функции

Определение 5.5. Пусть f : X → R. Если хотя бы один из пределов lim |f(x)| или lim |f(x)| равен +∞, то прямая x = x0

f.

x = x0 есть вертикальная асимптота графика функции f, òî x0 есть точка разрыва второго рода функции f.

Определение 5.6. Если множество X не ограничено сверху и су-

y = kx+b называется правой наклонной				−		−		f.
ществуют k, b	R	x→+∞			kx		b	= 0, то прямая
		такие, что lim	f(x)

асимптотой графика функции

Аналогично определяется левая наклонная асимптота.

Теорема 5.6 Пусть множество X не ограничено сверху. Для того, чтобы прямая y = kx + b была правой наклонной асимптотой графика функции f, необходимо и достаточно, чтобы одновременно существовали

	конечные пределы k = lim	f(x)		è b =	lim f(x)	−	kx
		x
	x→+∞				x→+∞		.

Аналогичная теорема верна для левой наклонной асимптоты. Доказательство. Если прямая y = kx + b асимптота, то

x +

−

kx

−

b = 0

lim f(x)

→ ∞

и тем более

lim

f(x) − kx − b

= 0. Из первого предела получаем

b =

=

x→+∞

x

k =

lim

f(x).

lim f(x)

kx

Ïî

, а из второго

lim f(x)

−

b = lim f(x) kx

→

∞

.

∞

x

x

+

x

→

+

x→+∞

−

Отсюда следует, что

−

условию

x→+∞

−kx − b = 0, т.е. прямая y = kx + b есть правая наклонная асимптота. Пример 5.2. Пусть f : (0, +∞) → R, f(x) = 1/x + x + e−x. Òàê êàê

lim f(x) = +∞, то прямая x = 0 есть вертикальная асимптота графика

x→0+0

f. Òàê êàê k =	lim	f(x)	= 1 è b =	lim f(x)		x = 0, то прямая y = x
есть правая наклонная асимптота графика f. •					−
	x +	x		x +
	→ ∞			→ ∞
5.5. Метод Ньютона нахождения корня уравнения
Пусть f :	[ a, b ]	→ R дифференцируемая строго монотонная функ-

ция, которая принимает на концах отрезка значения разных	знаков, т. е.
f(a)f(b) < 0. Тогда по теореме Больцано-Коши на интервале	(a, b) лежит

44

можно найти абсциссу

Ðèñ. 5.4

f(x0) = x0 − f0(x0) .

корень ξ уравнения f(x) =

= 0, причем в силу монотон-

ности функции он единственен.

Возьмем точку x0[ a, b ]. Проведем касатель-

ную к графику функции f â

точке x0 (рис. 5.4), ее уравнение y = f(x0)+f0(x0)(x−x0).

Найдем x1 абсциссу точ- ки пересечения касательной с осью 0x из уравнения

	y . .				.
					.
					.
				.	.
					.
				.
				y = f(x) .	.
					.
				.
				.	.
				.	.
				. . .
	a	ξ		. . .
				. . . .
		.
	....		.......
	0 . .			x2 x1 x0 b		.x

0 = f(x0) + f0(x0)(x1 − x0) x1

Åñëè x1 [ a, b ] è f(x1) 6= 0, то аналогично, по x1

точки пересечения касательной y = f(x1) + f0(x1)(x − x1) к графику f â

f(x1)

точке x1 ñ îñüþ 0x: x2 = x1 − f0(x1) и так далее.

При некоторых условиях (см. теорему 5.7 ниже) удается построить

f(xn)

последовательность {xn} [ a, b ], xn+1 = xn − f0(xn) , n = 0, 1, 2, . . . .

Описанный алгоритм построения последовательности называется методом Ньютона или методом касательных.

Теорема 5.7. Пусть функция f : [ a, b ] → R такая, что выполнено: 1) f(a)f(b) < 0; 2) существует f00 íà [ a, b ]; 3) f0 è f00 сохраняют знак на

[ a, b ]. Возьмем в качестве x0 тот из концов отрезка [ a, b ], в котором знаки f и f00 совпадают. Тогда последовательность {xn}, ãäå

f(xn)

xn+1 = xn − f0(xn) , n = 0, 1, 2, . . . ,

монотонно сходится к ξ корню уравнения f(x) = 0.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай f0 > 0 è f00 > 0 íà [ a, b ]. Предположим, что b = x0 > x1 > · · · > xn > ξ и покажем,

÷òî xn > xn+1 > ξ

n = 0, 1, 2, . . . . В самом деле, по формуле Лагранжа

(теорема 4.7 )

x

n −

x

n+1

=

f(xn)

=

f(xn) − f(ξ)

=

f0(c)(xn − ξ)

,

f0(xn)

f0(xn)

f0(xn)

ãäå ξ < c < xn.

45

	Òàê êàê f00 = (f0)0 > 0, òî f0 возрастает на [ a, b ] è 0 <	f0(c)		< 1.
		f0(xn)

Поэтому 0 < xn − xn+1 < xn − ξ. Отсюда xn > xn+1 > ξ.

Èòàê, b = x0 > x1 > · · · > xn > · · · > ξ. Убывающая и ограниченная снизу последовательность {xn} имеет предел θ. Переходя к пределу в ра-

f(xn)

f(θ)

f(θ)

венстве xn+1 = xn −

, получим θ = θ −

= 0, ò. å. θ åñòü

f0(xn)

f0(θ)

f0(θ)

корень уравнения f(x) = 0, и поэтому θ = ξ.

Для оценки близости xn ê ξ используется следующее предложение.

Предложение 5.1. Пусть m

=

inf

|

f(x)

, M

= sup

|

f(x)

,

1

x

[ a,b ]

|

1

x [ a,b ]

|

M2 = sup |f00(x)|. В условиях теоремы 5.7 верны оценки:

x [ a,b ]

1) |xn − ξ| ≤ |f(xn)|; m1

2) |xn+1 − ξ| ≤ M2 |xn − ξ|2; 2m1

3) |xn − ξ| ≤ M1 |xn+1 − xn|. m1

.

Доказательство. 1. По формуле Лагранжа f(xn) = f(xn) − f(ξ) =

= f0(c)(x

n −

ξ), ãäå c

(ξ, x

). Отсюда

|

x

n −

ξ

|

=

|f(xn)|

≤

|f(xn)|

.

|f0(c)|

n

m1

2. По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеем: 0 = f(ξ) = f(xn) + f0(xn)(xn − ξ) + f00(c)(xn − ξ)2, ãäå c лежит между

2

ξ è xn. Разделив обе части на f0(xn), получим

0 =

f(xn)

− xn + ξ +

f00(c)

(xn − ξ)2 xn − ξ =

f00(c)

(xn − ξ)2.

f0((xn)

2f0(xn)

2f0(xn)

Отсюда

x

n+1 −

ξ

|

=

|f00(c)|

x

ξ 2

M2

x

n −

ξ 2.

2|f0(xn)|

|

| n −

| ≤

2m1 |

|

f(ξ) − f(xn)

3. По формуле Лагранжа x

x

=

f(xn)

=

=

n+1 −

n

−f0((xn)

f0((xn)

f0(c)(ξ − xn)

=

, ãäå c лежит между ξ è xn. Отсюда имеем:

f0(xn)

x

ξ

=

|f0(xn)||xn+1 − xn|

M1

x

x

.

|

n

−

|

|f0(c)|

≤

m1 | n+1 −

n|

46

6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1. Определение. Существование и единственность

Определение 6.1. Если на отрезке [a, b] , где a < b задана система точек x0, x1, ..., xn такая, что a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b, то говорят, что задано разбиение отрезка [a, b] на промежутки [xk, xk+1], k = = 0, 1, ..., n − 1. Разбиение обозначается буквой Π. Если, кроме того, в каждом промежутке [xk, xk+1] выбрана точка ξk [xk, xk+1], k = 0, 1, ...,

...,

n − 1, то говорят, что задано разбиение с отмеченными точками.

Разбиение с отмеченными точками обозначается Πξ. Обозначим

xk =

=

x

k+1 −

x

. Число d

max

1

x

k

называется рангом разбиения

Π

.

k

(Π) = k=0,1,...,n

−

Определение 6.2. Пусть f

:

[a, b] → R ограниченная функция.

f,

n−1

Πξ.

P

Число SΠξ (f) =

f(ξk)Δxk называется интегральной суммой функции

k=0

соответствующей разбиению с отмеченными точками

Определение 6.3. Число J называется определенным интегралом от ограниченной функции f по отрезку [a, b], если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого разбиения Π с d(Π) < δ справедливо

неравенство |SΠξ (f) − J| < ε.	b
Определенный интеграл обозначается символом J =	Ra	f(x) dx. Числа

a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, f называется подынтегральной функцией. Если определен-

	b
руемой на [a, bR].
ный интеграл	f(x) dx существует, то функция f называется интегри-

a

Определение 6.4. Функция f : X → R называется кусочно-непре-

рывной на множестве X, если она имеет только конечное число точек разрыва, принадлежащих X, и эти точки являются либо точками устранимого разрыва, либо точками разрыва 1-го рода.

Приведем без доказательства следующую важную теорему.

Теорема 6.1 (существования). Если функция f кусочно-непрерыв- на на [ a, b ], то она интегрируема на [ a, b ].

Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (т. 9.1, 9.2).

Теорема 6.2 (единственности). Если два числа J1 è J2 удовлетво- ряют определению 6.3 , то J1 = J2.

47

Доказательство. Допустим противное, пусть J1 6= J2. Возьмем ε =

	=	|J1 − J2|	> 0. По условию		δ	1	> 0 такое, что		Π ñ d(Π) < δ	1	выполнено
		2

|SΠξ (f) − J1| < ε. Так же по условию δ2 > 0 такое, что Π ñ d(Π) < δ2 выполнено |SΠξ (f) − J2| < ε. Положим δ = min{δ1, δ2}, тогда Π ñ d(Π) < < δ выполнено

|J1 − J2| = |J1 − SΠξ(f) + SΠξ(f) − J2| ≤

≤ |SΠξ(f) − J1| + |SΠξ(f) − J2| < ε + ε = |J1 − J2|

Èòàê, |J1 − J2| < |J1 − J2|. Получили противоречие. Следовательно J1 = J2.

			b
Предложение 6.1. Ra				dx = b − a.
> 0 è	Π SΠξ (1)	(b	a)	= 0 < ε.	n−1
					kP
Доказательство. Π SΠξ (1) =						xk = b − a. Следовательно, ε >
	|	−	− |		=0

6.2. Свойства определенного интеграла

Теорема 6.3 (линейность интеграла). Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b ], числа α, β R. Тогда функция αf + βg интегриру-

åìà íà [ a, b ] è

	b	b	b
Za	(αf + βg) (x) dx = α Za	f(x) dx + β Za	g(x) dx.

Доказательство. Пусть α 6= 0, β 6= 0 (иначе еще проще). Обозначим

b b

RR

J1 = f(x) dx, J2 =				g(x) dx. Для любого разбиения Πξ выполнено
a				a
	n−1								n−1
							n−1P
	SΠξ (αf + βg) =								(αf(ξk) + βg(ξk)) xk
	P								k=0
							P
= α	k=0	f(ξk)Δxk + β							g(ξk)Δxk = αSΠξ (f) + βSΠξ (g).
							k=0
Возьмем ε > 0. Äëÿ				ε		> 0 δ1 > 0 такое, что Π c d(Π) < δ1 выполнено
			2 α
		ε		|	|		ε
|SΠξ (f) − J1|	<			. Äëÿ					> 0 δ2 > 0 такое, что Π c d(Π) < δ2
		2|α|					2|β|

48

выполнено |SΠξ (g)−J2| < 2|εβ|. Возьмем δ = min{δ1, δ2}.Тогда Π c d(Π) < < δ выполнено

SΠξ (αf + βg) − (αJ1 + βJ2) = α(SΠξ (f)ε− J1) + ε(

S

Πξ

( ) −

J

2)

≤

α

J2

β

g

SΠξ

(f)

J1

+

β

SΠξ (g)

<

α

+

β

= ε.

−

|

|2|β|

≤ |

|

|

|

−

|2|α|

|

Значит функция

αf + βg

интегрируема на [a, b] è

b

b

b

Za

(αf + βg)(x) dx = αJ1 + βJ2 = α Za

f(x) dx + β Za

g(x) dx

Теорема 6.4 (аддитивность интеграла по промежутку). Пусть c (a, b). Функция f интегрируема на [ a, b ] тогда и только тогда, когда

f интегрируема на [ a, c ] и [ c, b ] , при этом

	b	c	b
Za	f(x) dx = Za	f(x) dx + Zc	f(x) dx.

Без доказательства. Доказательство теоремы можно найти в [ 6 ] (см. свойство д) стр. 349).

Теорема 6.5 (об интегрировании неравенств). Пусть функции f и g интегрируемы на [ a, b ] и для x [ a, b ] выполнено f(x) ≤ g(x) тогда

b

b

ZZ

f(x) dx ≤

g(x) dx.

a

a

J1

J12

b

b

( )

= Ra ( )

dx, J

2 = Ra

dx и допус-

Доказательство. Обозначим J

f x

g x

òèì, ÷òî J

> J

. Возьмем ε =

−

> 0. По условию

δ > 0 такое, что

1

2

2

1

Π c d(Π) < δ1 выполнено

SΠξ (f) − J1

< ε SΠξ (f) > J1 − ε =

J

1

+ J

2

,

2

è

δ2 > 0 такое,

÷òî

Π c d(Π) < δ2 выполнено

SΠξ (g) − J2

J

1

+ J

2 .

< ε SΠξ (g) < J2 + ε =

2

49