Правила приближенных вычислений, значащие цифры (1)
.pdf
Правила приближенных вычислений, значащие цифры Занятие №1
Приближенные вычисления. Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Совершенно недопустимо вести вычисления с большой точностью, если данные задачи не допускают или не требуют этого (например, нельзя пользоваться семизначными логарифмами при вычислениях с числами, имеющими 5 верных значащих цифр). Твёрдое знакомство с правилами приближенных вычислений необходимо каждому, кому приходится вычислять.
Погрешности. Разница между точным числом х и его приближенным значением а называется погрешностью
данного приближенного числа. Если известно, что |
|
x − a |
|
< a , то величина |
|
a называется предельной |
|
|
|
||||
абсолютной погрешностью приближенной величины а; отношение a = δ |
a |
называется предельной |
||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительной погрешностью; последнюю часто выражают в процентах. Для краткости обычно слово |
||||||
«предельная» опускается. |
|
|
||||
Значащие цифры. Если абсолютная погрешность величины а не превышает одной единицы разряда последней цифры числа а, то говорят, что у числа а все знаки верные1. Приближенные числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52400 равна 100, то это число должно быть записано в виде 524×102 или 5,24×104. Оценить погрешность приближенного числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчёте значащих цифр не считаются нули с левой стороны.
Примеры: 1) M(Na)=22,99 г/моль— четыре верные значащие цифры; 2) M(Ag)=107,868 г/моль — шесть верных значащих цифр; 3) c(Ag+)=0,0128 г/моль —три верные значащие цифры.
|
|
1 |
|
|
Если число а имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δa ≤ |
|
, где z — первая |
||
z ×10n−1 |
||||
значащая цифра числа а. У числа а с относительной погрешностью δa |
верны n значащих цифр, где n — |
|||
наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству (1+ z )×δ |
a |
≤ 101−n . |
|
|
|
|
|
|
|
Пример: Если число а = 47,542 получено в результате действий над приближенными числами (см. ниже) и известно, что δa = 0,1% , то а имеет три верных знака, так как (4+1)×0,001 < 10-2.
Округление. Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причём если первая отбрасываемая цифра больше 4, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Если отбрасываемая часть состоит только из одной цифры 5, то округление обычно делается так, чтобы последняя цифра оставалась чётной. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округлённого числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.
Действия над приближенными числами. Результат действий над приближенными числами представляет собой также приближенное число. Погрешность результата может быть выражена через погрешности первоначальных данных при помощи следующих теорем:
1 В этом определении часто требуют, чтобы погрешность не превышала половины единицы разряда последней цифры приближенного числа. В связи с этим см. стр. 116 («округление»).
1)Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
2)Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых.
3)Относительная погрешность произведения и частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя.
4)Относительная погрешность n-й степени приближенного числа в n раз больше относительной погрешности основания (как для целых, так и для дробных n).
Погрешность функции. Помимо данных выше правил, погрешность при вычислении значений какой-либо функции, аргументы которой заданы приближённо, может быть оценена с помощью дифференциала этой функции. Погрешность функции есть не что иное, как возможное приращение функции, которое она получит, если её аргументам дать приращения, равные их погрешностям. Так как погрешности бывают обыкновенно достаточно малы, то практически вполне допустима замена приращений дифференциалами. Если известны только предельные абсолютные погрешности аргументов, то при вычислении дифференциалов необходимо для всех производных брать их абсолютные значения.
Для функции, значение которой находится при помощи таблиц, оценка погрешности может быть произведена крайне просто. Если аргумент задан с погрешностью, то для определения погрешности f(x) находят, пользуясь линейной интерполяцией, приращение функции, соответствующее ± x . Абсолютная величина этого приращения и даёт предельную абсолютную погрешность f(x).
Вычисления без точного учёта погрешностей. Указанным выше способом может быть оценена предельная абсолютная погрешность, т. е. величина, заведомо превосходящая абсолютную величину истинной погрешности. При этом все время предполагается, что различные погрешности друг друга усиливают, тогда как практически это бывает крайне редко. При массовых вычислениях, когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, пользуются следующими правилами подсчёта цифр. При соблюдении этих правил можно считать, что в среднем полученные результаты будут иметь все знаки верными, хотя в отдельных случаях возможна ошибка в несколько единиц последнего знака2.
1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков. Например, при сложении чисел 28,3; 5 и 0,46 значимость определяется недостоверностью числа 5 (до «целых») и, следовательно, сумму чисел 33,76 следует округлить до 34 (до «целых»).
Числа, содержащие степени, преобразуют, приводя показатели степеней слагаемых к наибольшему. Например, при сложении чисел 2,15×10-4, 6,00×10-2 и 2×10-3 их надо представить следующим образом:0,0215×10-2, 6,00×10-2 и 0,2×10-2. Используя правило значимости суммы чисел, получаем 6,3×10-2, поскольку значимость суммы определяется значимостью числа 0,2×10-2, имеющего наименьшее число десятичных знаков.
2. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом значащих цифр. Для оценки значимости произведения (или частного) обычно пользуются следующим правилом: значимость произведения (или частного) определяется значимостью сомножителя с наименьшим числом значащих цифр. Например, перемножение чисел 2,7 (две цифры) и 3,45 (три цифры) даёт произведение, содержащее две значащие цифры — 9,3.
2 Правила даны в Редакции В.М. Брадиса.
3.При возведении в квадрат в куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число. (Последняя цифра квадрата и, особенно, куба при этом менее надёжна, чем последняя цифра основания.)
4.При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное значение подкоренного числа. (Последняя цифра квадратного а, особенно, кубического корня при этом более надёжна, чем последняя цифра подкоренного числа.)
5.Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта «запасная цифра» отбрасывается3.
Более строго недостоверность результата деления или умножения может быть рассчитана также, как погрешность косвенного измерения (занятие №2, погрешность функции), при допущении, что абсолютная погрешность записи числа равна половине разряда последней значащей цифры. Например погрешность результата 3,2÷5,256 может быть рассчитана следующим образом:
3, 2 ÷ 5, 256 = 0,60883 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3, 2 = 3, 2 ± 0, 05 |
δ |
|
= |
0, 05 |
= 0,015625 |
|||
3,2 |
|
|
||||||
|
|
|
3, 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
5, 256 = 5, 256 ± 0, 0005 |
δ |
|
|
= |
0, 0005 |
= 9,513×10-5 |
||
5,256 |
|
|||||||
|
|
5, 256 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
δ0,60883 = 
(0,015625)2 + (9,513×10-5 )2 = 0, 016 0,60883 = 0,60883 ± 0,60883×δ0,60883 = 0,60883 ± 0,60883× 0, 016 = 0,6088 ± 0,0097 = 0,61± 0,01
Получили такой же результат, какой получили бы согласно правилу значащих цифр – две значащих цифры. К такому же выводу придём при использовании предельных погрешностей (недостоверностей):
3, 2 ÷ 5, 256 = 0,60883 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3, 2 = 3, 2 ± 0, 05 |
|
|
δ |
|
= |
0, 05 |
= 0,015625 |
|||||||
3,2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5, 256 = 5, 256 ± 0, 0005 |
δ |
|
|
= |
0, 0005 |
= 9,513×10-5 |
||||||||
5,256 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5, 256 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
δ |
|
= |
0, 05 |
+ |
0, 0005 |
|
= 0, 016 |
|
|
|
|
|
|
|
0,60883 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3, 2 |
5, 256 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,60883 = 0,60883 ± 0,60883×δ0,60883 = 0,60883 ± 0,60883× 0, 016 = 0,6088 ± 0,0097 = 0,61± 0,01
Пример. При приготовлении раствора соли Мора были слиты 10,1 мл насыщенного раствора соли Мора, 2,55 мл концентрированной серной кислоты и 40 мл воды. Каков объем полученного раствора?
Решение. Складываем объёмы всех растворов 40+10,1+2,55=52,65 мл.
Наименьшее число цифр после запятой имеет число 40, поэтому округляем полученную сумму следует округлить до целого числа: V=53 мл.
Пример. Какова концентрация хлорид-ионов в растворе, полученном при сливании равных объёмов растворов, содержащих 2×10-5 М хлорида натрия, 0,33×10-4 М хлорида калия и 5,0×10-6 М соляной кислоты?
Решение. Сначала преобразуем числа так, чтобы уравнять показатели степеней, приведя их к наибольшему:
3 При использовании калькулятор округление лучше производить лишь для конечного результата, а на всех стадиях расчёта лишь учитывать точность расчётов, не округляя при этом цифры.
2×10-5=0,2×10-4, 0,33×10-4=0,33×10-4, 5,0×10-6=0,050×10-4.
Складываем числа:0,2×10-4+0,33×10-4+0,050×10-4=0,580×10-4.
Число значащих цифр суммы должно определяться количеством их в числе 0,2×10-4, имеющем наименьшее число значащих десятичных знаков. Поэтому округляем результат до первой цифры после запятой, т. е. до 0,6×10- 4. В конечном объёме концентрация хлорид-ионов составляет
0, 58×10−4 = 0, 2 ×10−4 моль/ л 3
Задачи:
Сложите следующие числа и округлите результат:
а) 6,75+0,443+15,28; б) 0,10+0,1+10;в) 1,153+2,127+3,150. Ответ: а) 22,47; б) 10; в) 6,430.
Найдите разность следующих чисел и округлите результат: а) 9,4514-9,0012; б)1,1315-0,8355; в) 10,1412-10,0. Ответ: а) 0,4502; б) 0,2960; в) 0,1.
Сложите следующие числа и округлите результат:
а) 2,0×10-5+1,15×10-5+0,2×10-3; б) 4,183×10-2+3,1×10-3+5,13×10-5. Ответ: а) 0,2×10-3; б) 4,50×10-2.
Найдите произведение следующих чисел и округлите результат: а) 5,1×12,00; б) 1,1×10-4×5×10-3×1,25; в) 0,975×1,0. Ответ:а) 61; б) 7×10-7; в) 0,98.
Вычислите результат:
а) 144÷1250; б) 1,05÷97,8; в) 1×10-6÷0,25 10-4 Ответ: а) 0,115; б) 0,0107; в) 4×10-2.
Вычислите результат:
а) (1,12+0,035)×15,2+(0,35-0,01)×1,4; б) , , × ,
,
Ответ: а)18,0; б) 4×10-3.