2. Практические задания Задача 1

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000 долл. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5 долл., а каждая минута телерекламы в 100 долл. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой.

Анализ

Обозначим за х_t - количество финансовых средств, отпускаемых на телерекламу, а за х_p - количество финансовых средств, отпускаемых на радиорекламу. Сразу же можем записать одно ограничение на общее количество средств, отпускаемых на рекламу:

x_p +x_t<=1000

Количество минут, используемых для рекламы на радио, будет вычисляться следующим образом: , а количество минут, используемых для рекламы на телевидении :.

Для простоты будем считать, что время на рекламу можно покупать посекундно. Условие использования радиосети, по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения, запишется следующим ограничением:

А теперь запишем целевую функцию. По условию задачи мы должны найти оптимальное значение распределения финансовых средств, чтобы эффективность от рекламы была максимальной. Если эффективность одной минуты радиорекламы обозначить за единицу, то эффективность одной минуты телерекламы будет равна двадцати пяти. Получим следующую функцию:

Из условия задачи естественно вытекают ещё два ограничения:

Сведем все ограничения и целевую функцию в одну систему:

Решение в Microsoft Excel

Составим следующую таблицу в Excel.

Введем в ячейки формулы и зададим целевую функцию.

Условие использования радиосети, по крайней мере в два раза чаще, чем сеть телевидения, запишется следующим ограничением:

ТВ – {=B3/B4*B6}

Радио – {=C3/C4*C6}

Для расчета оптимального распределения финансовых средств в ячейке D3 запишем формулу:

{=СУММ(B3:C3)}

Введем в ячейку D4 целевую функцию:

{==C3/C4*C5+B3/B4*B5}

При помощи надстройки «Поиск решения» оптимизируем план выпуска изделий.

В параметрах поиска решений ставим галочки «Линейная модель» и «Неотрицательные значения».

Получаем оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой:

Решение задачи в MathCad

Инициализируем xt, xp; оптимальный объем производства f(xt,xp), ограничения по времени работы станков. Используя встроенную функцию Maximize, находим максимальное значения xt, xp. Находим оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио- и телерекламой.

Задача 2

Имеются n пунктов производства и т пунктов рас­пределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с і-го пункта производства в j-й центр распределения c_ij приведена в таблице, где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом - пункт рас­пределения. Кроме того, в этой таблице в i-й строке указан объем производ­ства в і-м пункте производства, а в j-м столбце указан спрос в j-м центре распределения. Необходимо составить план перевозок по доставке требуе­мой продукции в пункты распределения, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

	Стоимость перевозки ед. продукции					Объем производства
	5	1	7	6	30
	1	5	8	1	40
	5	6	3	3	10
	2	5	1	4	18
	3	7	9	1	10
Объем потребления потребления	20	40	30	20

Анализ

Проверим сбалансированность модели задачи. Модель является несбалансированной, т.к. суммарный объем производимой продукции в день больше суммарного объема потребности в ней. (30+40+10+18+10 < 20+40+30+20). Потребление превышает производство на 2 единиц продукции. Для решения задачи сверх имеющихся n пунктов производства добавим ещё один, фиктивный. Стоимость перевозок из фиктивного пункта производства будем считать равной нулю. Введением фиктивного пункта производства сего заявкой мы сравняли баланс транспортной задачи и теперь её можно решать как обычную транспортную задачу с правильным балансом.

Построим математическую модель. Объемы перевозок – это неизвестные переменные. Целевая функция – это общие затраты на перевозку необходимого количества продукции согласно плана перевозок.