ТАУ лаб. Исследование устойчивости и точности линейных САУ

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

Специальность: «ИТиУТС»

Отчёт по лабораторной работе №1 на тему: «Исследование устойчивости и точности линейных САУ»

по курсу: «Теория автоматического управления»

Вариант №4

Минск, 2012

Цель работы

– изучение особенностей практического использования алгебраических и частотных критериев устойчивости для анализа динамики линейных САУ 2-го и 3-го порядков в MatLab 6.5;

– исследование факторов, влияющих на точность линейных САУ.

Выполнение работы

Исследование на устойчивость линейных САУ.

Таблица

№ варианта	4
T2,с	1,3
K4	2,0

1. Собрана структурная схему САУ 2-го порядка (рисунок 1) в инструментальной среде моделирования Simulink.

Рисунок 1. Структурная схему САУ 2-го порядка в инструментальной среде моделирования Simulink

2. С помощью осциллографа Scope получили переходную характеристику САУ h(t) при различных значениях коэффициента K2 = (10; 50; 100) и K₁=1 (рисунок 2). Экспериментальным путем попробовать найти К_2гр, при котором система должна находится на границе устойчивости. Объяснить результат эксперимента. Подтвердить аналитическим расчетами по критерию Гурвица.

а) в) с)

Рисунок 2. Переходную характеристику САУ h(t) при различных значениях коэффициента а) K₂ = 10 и K₁=1; в) K₂ = 50 и K₁=1;с) K₂ = 100 и K₁=1;

Из полученных расчетов моделирования при различных значениях коэффициента K₂ система САУ 2-го порядка устойчивая.

Докажем, что система 2-го порядка устойчивая по критерию Гурвица.

Передаточная функция замкнутой системы:

где .

Линейная система, характеристический полином которой равен

гдеследовательно система устойчивая.

Промоделируем ЛАЧХ системы. Сравним ЛАЧХ при К₂= 0.1 и К₂ = 100, (рис. 3) определим запасы устойчивости системы в обоих случаях.

Рисунок 3. ЛАЧХ при К₂= 0,1 – синяя линия; в) К₂ = 100 – фиолетовая линия.

Запас устойчивости как для К₂= 0,1, так и К₂ = 100 по амплитуде: стремится к бесконечности (ΔL =∞), так как фаза стремится к –180°. Запас устойчивости по фазе для К₂ = 1 Δφ =65,5°, и для К₂ = 100 Δφ =9,04°.

3. Аналогично собрать в Simulink структурную схему САУ 3-го порядка (рисунок 4).

Рисунок 4. Структурная схема САУ 3-го порядка

Экспериментальным путем попробовать найти К_2гр, при котором система должна находиться на границе устойчивости.

Записать передаточную функцию Ф(s) замкнутой САУ 3-го порядка (рис. 4). Используя критерий устойчивости Гурвица, исследовать систему на устойчивость при: а) б)

а)

Определители матрицы коэффициентов имеют отрицательные значения→ линейная система не устойчива.

б)

Определители матрицы коэффициентов положительны→ линейная система устойчива.

Проанализируем три результата:

1. При К₂ =К_гр=3,2 рис.5 и рис.6:

Рисунок 5. Переходная характеристика САУ h(t) при К₂ =К_гр=3,2.

Рисунок 6. ЛАФЧХ при К₂ =К_гр=3,2.

запас устойчивости для К₂ =К_гр=3,2по амплитудеΔL≈0(дБ) и по фазе Δφ= 0°, так как фаза равно –180° при амплитуде равном нулю.

2. При К₂ =К₂ʹ =10 рис.7 и рис.8:

Рисунок 7.Переходная характеристика САУ h(t) при К₂ = К₂’ = 10.

Рисунок 8. ЛАФЧХ при К₂ = К₂’ = 10.

запас устойчивости для К₂ =К₂’ =10 по амплитуде ΔL = ‑11,2(дБ) и по фазе Δφ= ‑ 28,6°.

3. При К₂ =К₂” =1рис.9 и рис.10:

Рисунок 9.Переходная характеристика САУ h(t) при К₂ = К₂” = 1.

Рисунок 10. ЛАФЧХ при К₂ = К₂” = 1.

запас устойчивости для К₂ =К₂” =1по амплитуде ΔL = 12,6(дБ) и по фазе Δφ=42°.

Из выше изложенных графиков и полученных запасов устойчивости требуется для устойчивости системы: К2≤К_гр=4,25.

4. Выяснить влияние введения форсирующего звена на устойчивость САУ, для чего собрали структурную схему (рис. 11) и сняли график переходной функции h(t) при К₂ = К_2гр, T₁ = 2T₂ (рис. 12).

Рисунок 11. Структурная схема САУ

Рисунок 12.Переходная характеристика САУ h(t) при К₂ = К_2гр, T₁ = 2T₂.

Построим ЛАФЧХ системы (рис. 13) в Simulink, используя опцию линейного анализа при К₂ = К_2гр, T₁ = 2T₂. Определим запасы устойчивости.

Рисунок 13. ЛАФЧХ при К₂ = К_2гр, T₁ = 2T₂.

Запас устойчивости как для К₂ = К_2гр, T₁ = 2T2 по амплитуде: стремится к бесконечности (ΔL = ∞), так как фаза стремится к –180°. Запас устойчивости по фазе Δφ =38°.

5. Снимем график переходной функции замкнутой САУ (рисунок 14) при u(t) = 0 (отключить блок Step) и f(t) = 1 (единичная ступенчатая функция подается на вход второго сумматора как возмущающее воздействие).

Рисунок 14. Переходная характеристика САУ h(t) при u(t)= 0 (отключить блок Step) и f(t) = 1

6. Охватим интегратор W(s)=K₁/s, входящий в структурную схему САУ, местной единичной отрицательной обратной связью (рис. 15). Снять переходные функции САУ для случаев:

1. u(t) = 1; f(t) = 0 (реакция системы на ступенчатое задающее воздействие);

Рисунок 15. Переходная характеристика САУ h(t) при u(t)= 1 и f(t) = 0

Система функционирует с ошибкой. Система не устанавливается в 1. ε_ст=0,19.

2. u(t) = 0; f(t) = 1 (реакция системы на ступенчатое возмущающее воздействие).

Тота Рисунок 16. Переходная характеристика САУ h(t) при u(t)= 0 и f(t) = 1

Система функционирует с ошибкой ε_ст=0,24.Основной причиной изменения передаточных характеристик – это из-за изменение структурной схемы САУ, как в первом случае так и во-втором случае, т.е. введение внутренней обратной отрицательной связи.

Выводы

В лабораторной работе были изучены критерии устойчивости Гурвица для линейных систем. С помощью этих критериев были исследованы на устойчивость САУ 2-го и 3-го порядков (с использованием автоматизированных средств моделирования на ПК – MATLAB). Были исследованы факторы, влияющие на точность линейных САУ. Можно отметить, что САУ 2-го порядка структурно устойчивые. САУ 3-го порядка белее сложные и менее устойчивые, но повышают точность системы. Из переходных характеристик можно визуально определить об устойчивости системы, а так же порог устойчивости. Так, например, если в переходной характеристике происходит затухающее колебание или вовсе не происходит, то такая система устойчивая, если возрастающее колебание, то система не устойчивая.