контрольная по Геометрии и Алгебре №1
.docx
Контрольная работа по Геометрии и алгебре №1
Факультет
НиДо
Специальность
Информатика
Выполнил
студент группы 002021-02
Ефимчик Константин Геннадьевич
Минск 2010
Задача №1
Написать разложение вектора x по трем указанным векторам p, q, r, предварительно проверив, что они образуют базис трехмерного пространства. Координаты векторов:
Решение
Посчитаем смешанное произведение векторов :
Следовательно, векторы p,q и r некомпланарные, значит они линейно независимы и образуют базис.
Вектор х можно представить в виде
или
или
Решим полученную систему методом Гаусса:
à =
Последней матрице соответствует следующая система уравнений:
13х3= – 13 х3 = -1;
х2 = -1 – 2х3 = -1 + 2 = 1;
х1 = 6 – 2х2 = 6 - 2 = 4.
Тогда
Ответ :
Задача №2
Коллинеарны ли векторы c1 и c2, построенные по двум заданным векторам a и b? Координаты векторов a и b и выражения c1 и c2 через них:
.
Решение.
Найдем координаты векторов и :
Векторы коллинеарны, если пропорциональны соответствующие координаты. Так как , то векторы и неколлинеарны.
Ответ: векторы и неколлинеарны.
Задача №3
Найти косинус угла между векторами и . Координаты точек A, B и C: .
Решение
Находим координаты векторов и :
.
Косинус угла между векторами и найдем по формуле:
Ответ: косинус угла между векторами и 0,96
Задача №4
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Выражения a и b через векторы p и q:
.
Решение
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и находится по формуле:
.
Следовательно, S = 14 (квадратных единиц)
Ответ: S = 14 (квадратных единиц).
Задача №5
Компланарны ли векторы a, b и c? Координаты векторов a, b и c: .
Решение
Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Проверим это условие.
Следовательно, векторы компланарны.
Ответ: векторы компланарны.
Задача №6
Исследовать систему линейных алгебраических уравнений на совместность и решить 1) методом Гаусса, 2) по правилу Крамера в случае единственности решения, 3) матричным методом в случае единственности решения. Системы уравнений:
1). Решим данную систему методом Гаусса.
Запишем рассмотренную матрицу и с помощью элементарных преобразований над строками матрицы упростим её:
из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2; из 3-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 3:
из 3-й строки, умноженной на 7, вычтем 2-ю строку, умноженную на 4:
Последней матрице соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной:
Из 3-го уравнения получим:
Из 2-го уравнения:
Из 1-го уравнения:
Решение системы:
x1=8; x2=4; x3=2.
2). Решим систему по формулам Крамера:
, и .
Посчитаем определитель системы:
Так как определитель системы Δ отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.
Находим :
Тогда,
3). Запишем систему в матричном виде:
АХ=В, где
Решение системы будет:
где – матрица обратная матрице А
где Аij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А.
из пункта 2) равно -58.
Находим алгебраическое дополнения:
Тогда,
Следовательно,
Решение системы: х1 = 8, х2 = 4, х3 = 2.
Ответ: х1 = 8, х2 = 4, х3 = 2.
Задача №7
На плоскости OXY найти общие уравнения прямых, проходящих через точку пересечения двух прямых перпендикулярно первой и параллельно третьей соответственно. Общие уравнения трех прямых на плоскости OXY даны ниже в соответствии с вариантом. Уравнения двух первых прямых объединены в систему:
x – 2y – 2 = 0.
Решение.
Сначала находим точку пересечения прямых:
– это точка пересечения прямых.
Запишем уравнение первой прямой: x+y+1=0. Уравнение прямой перпендикулярной первой, имеет вид: x-y+c=0. Точка М лежит на этой прямой, значит её координаты должны удовлетворять этому уравнению: .
Уравнение прямой принимает вид: x – y – = 0
Уравнение прямой, параллельной прямой x – 2y – 2 =0 имеет вид:
x – 2y + C = 0.
Для определения С подставим координаты точки М:
Уравнение прямой принимает вид x – 2y – 1 = 0.
Ответ: Уравнение x – 2y – 1 = 0.
Задача №8
Приведением уравнения к каноническому виду установить, что оно определяет эллипс, гиперболу или параболу. Построить соответствующую кривую 2-го порядка на плоскости OXY. Для эллипса и гиперболы найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Найти уравнения асимптот гиперболы. Для параболы найти параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы. Уравнения кривых:
3x2 + 4y2 = 12.
Решение.
, разделим на 12:
– каноническое уравнение эллипса.
Большая полуось а = 2, малая полуось b = .
Координаты фокусов: F1 (-c;0), F2 (c;0), где
Эксцентриситет эллипса равен:
Директрисы эллипса это прямые, уравнения которых
Построим данный эллипс:
Ответ: – каноническое уравнение эллипса;
большая полуось а = 2, малая полуось b = ;
эксцентриситет эллипса равен:
директрисы эллипса:
координаты фокусов: .
Задача №9
Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2 и M3, и расстояние от точки M0 до этой плоскости. Координаты точек M1, M2, M3 и M0:
M1 (– 1, 2, – 3), M2 (4, – 1, 0), M3 (2, 1, – 2), M0 (1, – 6, – 5).
Решение.
Уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (-1,2,-3), М2 (4,-1,0), М3 (2,1,-2), запишется так:
или
Найдем расстояние от точки М0 (1,-6,-5) до плоскости y + z +1 = 0:
Ответ: уравнение плоскости
Расстояние от точки М0 до плоскости: d =
Задача №10
Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей. Общие уравнения плоскостей, объединенные в систему:
Решение.
В качестве направляющего вектора прямой возьмем векторное произведение нормалей данных плоскостей, т.е., где
.
Тогда, .
Возьмем какую-нибудь точку данной прямой. Полагаем z ≠ 0, значения x и y определяем из системы уравнений:
На прямой зафиксировали точку М0 (-8;-2;0).
Уравнения прямой запишутся так:
– каноническое уравнение прямой;
– параметрические уравнения прямой.
Ответ: каноническое уравнение прямой – ;
параметрические уравнения прямой – .
Задача №11
Найти угол между прямой и плоскостью. Если прямая и плоскость не параллельны, то найти точку их пересечения. Канонические уравнения прямых и общие уравнения плоскостей:
.
Решение.
Направляющий вектор данной прямой:
Нормальный вектор данной плоскости:
Синус угла между прямой и плоскостью найдем по формуле:
Тогда
Найдем точку пресечения прямой и плоскости.
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
Подставим выражения для x, y, z в уравнение плоскости:
Из уравнения прямой получим координаты точки пересечения:
Точка М0 (2; -1; 4) – точка пересечения данных прямой и плоскости.
Ответ: угол пересечения прямой и плоскости ;
точка пересечения – М0 (2; -1; 4).