Учебники, методички / Введение в интегральное исчисление / s2lma6

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.7. {\it ‡ ¬Ґ­  ЇҐаҐ¬Ґ­­®© Ё Ё­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ Ї®
з бвп¬ ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®¬ Ё­вҐЈа «Ґ. ЏаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј®
Ё­вҐЈа «  Є ўлзЁб«Ґ­Ёо Ї«®й ¤Ґ© Ї«®бЄЁе дЁЈга. „«Ё­  ¤гЈЁ ЄаЁў®© Ё
ҐҐ ўлзЁб«Ґ­ЁҐ. ‚лзЁб«Ґ­ЁҐ ®ЎкҐ¬®ў ⥫.}\\ Џгбвм $f,g\in C^1[a,b]$,
$a<b$. ’®Ј¤ , Є Є Ё§ўҐбв­®, бЇа ўҐ¤«Ёў  д®а¬г«  Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ї®
з бвп¬ $$\int fg'\,dt=f\cdot g-\int gf'\,dt,$$ бўп§лў ой п
ЇҐаў®®Ўа §­лҐ дг­ЄжЁ© $g'f$ Ё $f'g$. Џ® д®а¬г«Ґ Ќмов®­ -‹Ґ©Ў­Ёж 
 ­ «®ЈЁз­®Ґ а ўҐ­бвў® бЇа ўҐ¤«Ёў® Ё ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа « :
$$\int_a^b fg'\,dt=(f\cdot g)\big |_a^b-\int_a^b gf'\,dt,$$ в Є¦Ґ
­ §лў Ґ¬®Ґ д®а¬г«®© Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ї® з бвп¬.

Ђ­ «®ЈЁз­® Ї®«гз ов Їа ўЁ«® § ¬Ґ­л ЇҐаҐ¬Ґ­­®©. Џгбвм $f\in C
[a,b]$, $\phi:[c,d]\to[a,b]$ -- ­ҐЇаҐалў­® ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 п
дг­ЄжЁп, $\phi(c)=a$, $\phi(d)=b$. ’®Ј¤  $$\int f(t)\,dt=\int
f(\phi(x))\phi'(x)\,dx$$ Ё Ё­вҐЈа « б«Ґў  -- ЇҐаў®®Ўа §­ п ¤«п
$f(t)$ ­  $[a,b]$, бЇа ў  -- ЇҐаў®®Ўа §­ п ¤«п
$f(\phi(x))\phi'(x)$ ­  $[c,d]$. ђ § б®ўЇ ¤ ов §­ зҐ­Ёп
ЇҐаў®®Ўа §­ле, в® б®ўЇ ¤ ов Ё Ёе ЇаЁа йҐ­Ёп: $$\int_a^b
f(t)\,dt=\int_c^d f(\phi(x))\phi'(x)\,dx.$$ ЌҐбЄ®«мЄ® д®а¬г« ¤«п
ўлзЁб«Ґ­Ёп Ї«®й ¤Ё дЁЈга, ®Ја ­ЁзҐ­­ле ЄаЁўл¬Ё ­  Ї«®бЄ®бвЁ:

1) $S=\int_a^b(f_2(x)-f_1(x))\,dx$, Ја ­Ёжл дЁЈгал -- Ја дЁЄЁ
дг­ЄжЁ© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $x$ Ё ўҐавЁЄ «м­лҐ Їап¬лҐ $x=a$, $x=b$,
$f_1(x)\leqslant f_2(x)$,

2) $S=\int_c^d(g_2(y)-g_1(y))\,dy$, Ја ­Ёжл дЁЈгал -- Ја дЁЄЁ
дг­ЄжЁ© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $y$ Ё Ј®аЁ§®­в «м­лҐ Їап¬лҐ $y=c$, $y=d$,
$g_1(y)\leqslant g_2(y)$,

3) $S=\int_{t_1}^{t_2}\psi(t)\varphi'(t)\,dt$, Ја ­Ёжл дЁЈгал --
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ § ¤ ­­ п Ј« ¤Є п ЄаЁў п $x=\varphi(t)$,
$y=\psi(t)\geqslant 0$, ўҐавЁЄ «м­лҐ Їап¬лҐ $t=t_1$, $t=t_2$ Ё
Ј®аЁ§®­в «м­ п Їап¬ п $y=0$,

4) Ї«®й ¤м ў Ї®«па­ле Є®®а¤Ё­ в е ¤«п дЁЈгал, ®Ја ­ЁзҐ­­®©
­ҐЇаҐалў­®© «Ё­ЁҐ© $\rho=f(\phi)$ Ё ¤ўг¬п «гз ¬Ё $\phi=\alpha$,
$\phi=\beta$, § ¤ Ґвбп д®а¬г«®© $S=\frac 12
\int_{\alpha}^{\beta}f^2(\phi)\,d\phi$.\\ …йҐ ®¤­  § ¤ з , Є®в®а п
аҐи Ґвбп ЇаЁ Ї®¬®йЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа « , -- нв® § ¤ з  Ї®
Ї®¤бзҐв  ¤«Ё­л ЄаЁў®© ­  Ї«®бЄ®бвЁ. Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо ¤«Ё­®© ¤гЈЁ
­ §лў о⠯।Ґ« (Ґб«Ё в Є®© бгйҐбвўгҐв), Є Є®в®а®¬г бв६Ёвбп
¤«Ё­  «®¬ ­®© «Ё­ЁЁ, ўЇЁб ­­®© ў нвг ¤гЈг, Є®Ј¤  зЁб«® §ўҐ­мҐў
«®¬ ­®© ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­® ў®§а бв Ґв,   ¤«Ё­  ҐҐ ­ ЁЎ®«м襣® §ўҐ­ 
бв६Ёвбп Є ­г«о. Џгбвм ЄаЁў п ­  Ї«®бЄ®бвЁ § ¤ ­  Ја дЁЄ®¬
дг­ЄжЁЁ $y=f(x)$, $f\in C^1[a,b]$. ђ бᬮваЁ¬ ¤«Ё­г бЇҐжЁ «м­®©
«®¬ ­®©, ўЇЁб ­­®© ў нвг ЄаЁўго $$\sum_{\frac in\in [a,b],\
i\in\ZZ}\sqrt{(1/n)^2+(f(i/n+1/n)-f(i/n))^2}.$$ ‘®бв ўЁ¬
Ё­вҐЈа «м­го б㬬г, Є®в®а п ᮮ⢥вбвўгҐв ўлЇЁб ­­®¬г ўла ¦Ґ­Ёо
$$S_n=\frac 1n\sum_{\frac in\in [a,b],\
i\in\ZZ}\sqrt{1+(f'(i/n))^2}.$$ Ћ­  бв६Ёвбп Є
$$l=\int_a^b\sqrt{1+(f')^2}\,dt.$$ Љ Є Ё ¤«п дг­ЄжЁ®­ «  Ї«®й ¤Ё
¤«п ¤«Ё­л ¤гЈЁ Ё¬Ґовбп  ­ «®ЈЁ д®а¬г« 1)-4). Ћб­®ў®© Ёе Ї®«г祭Ёп
пў«пҐвбп ўла ¦Ґ­ЁҐ ¤«п ¤ЁддҐаҐ­жЁ «  ¤гЈЁ:
$$l'(x)=\sqrt{1+(f')^2},\quad dl=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.$$ ‚
Ї®«па­®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в $x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$,
$$dx=\cos\phi\,dr-r\sin\phi\,d\phi,\quad
dy=\sin\phi\,dr+r\cos\phi\,d\phi.$$ Џ®н⮬г
$$dl=\sqrt{(dr)^2+r^2(d\phi)^2}.$$ …б«Ё $r=r(\phi)$ -- Ј« ¤Є п
ЄаЁў п ­  $[\alpha,\beta]$, в® ¤«Ё­  нв®© ЄаЁў®© а ў­ 
$$l=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+(r')^2}\,d\phi,$$ Ј¤Ґ $r'$ --
Їа®Ё§ў®¤­ п $r$ Ї® $\phi$.\\ ‡ ¤ з  ўлзЁб«Ґ­Ёп ®ЎкҐ¬®ў ­ҐЄ®в®але
⥫ в Є¦Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм ᢥ¤Ґ­  Є ўлзЁб«Ґ­Ёо ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа « 
®в дг­ЄжЁЁ ®¤­®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ­­®Ј®.

5) Џгбвм $S(x)$ -- § Є®­ Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп Ї«®й ¤Ё Ї®ЇҐаҐз­®Ј® бҐзҐ­Ёп
Ї«®бЄ®бвмо, ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­®© ®бЁ $Ox$ ў в®зЄҐ б  ЎбжЁбб®© $x$.
Џгбвм Є®­вга нв®Ј® бҐзҐ­Ёп ­ҐЇаҐалў­® § ўЁбЁв ®в $x$ Ё $S\in
C[a,b]$. ’®Ј¤  ҐбвҐб⢥­­® бзЁв вм, зв® ®ЎкҐ¬ ⥫ , б®бв®п饣® Ё§
нвЁе бҐзҐ­Ё©, а ўҐ­ $$V=\int_a^bS(x)\,dx.$$

6) — бв­л¬ б«гз Ґ¬ 5) пў«пҐвбп в Є п § ¤ з : ­ ©вЁ ®ЎкҐ¬ ⥫ ,
®Ўа §®ў ­­®Ј® ўа йҐ­ЁҐ¬ ў®ЄагЈ ®бЁ $Ox$ ЄаЁў®«Ё­Ґ©­®© ва ЇҐжЁЁ,
®Ја ­ЁзҐ­­®© ­ҐЇаҐалў­®© «Ё­ЁҐ© $y=f(x)$, $f(x)\geqslant 0$, $x\in
[a,b]$ Ё Їап¬л¬Ё $x=a$, $x=b$, $y=0$. ‡¤Ґбм Ї®ЇҐаҐз­л¬ бҐзҐ­ЁҐ¬
пў«пҐвбп ЄагЈ а ¤Ёгб  $f(x)$, $$V=\pi\int_a^bf^2(x)\,dx.$$