Учебники, методички / Введение в интегральное исчисление / s2lma2

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.2. {\it Љ®¬Ї«ҐЄб­лҐ зЁб« , Ёе Ё§®Ўа ¦Ґ­ЁҐ ­ 
Ї«®бЄ®бвЁ. Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ ®ЇҐа жЁЁ ­ ¤ Є®¬Ї«ҐЄб­л¬Ё зЁб« ¬Ё.
Љ®¬Ї«ҐЄб­®Ґ б®Їа殮­ЁҐ. Њ®¤г«м Ё  аЈг¬Ґ­в Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® зЁб« .
Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄ п Ё ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄ п д®а¬л Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® зЁб« .
Љ®а­Ё Ё§ Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ«. Џ®Є § вҐ«м­ п дг­ЄжЁп Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј®
 аЈг¬Ґ­в . ”®а¬г«  ќ©«Ґа . Џ®Є § вҐ«м­ п д®а¬  Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј®
зЁб« .}

Џ®¤ Є®¬Ї«ҐЄб­л¬ зЁб«®¬ Ї®­Ё¬ Ґвбп ўла ¦Ґ­ЁҐ ўЁ¤  $z=x+i\cdot y=x+
iy$, Ј¤Ґ $x,y\in\RR$, $i$ -- ¬­Ё¬ п Ґ¤Ё­Ёж , в. Ґ. $i^2=-1$. —Ёб« 
$x+i0=x$ ®в®¦¤Ґбвў«повбп б ¤Ґ©б⢨⥫м­л¬Ё зЁб« ¬Ё, зЁб«  $0+i
y=iy$ ­ §лў овбп зЁбв® ¬­Ё¬л¬Ё. „Ґ©б⢨⥫м­лҐ зЁб«  $x$ Ё $y$
­ §лў овбп ¤Ґ©б⢨⥫쭮© Ё ¬­Ё¬®© з бвп¬Ё зЁб«  $z$ Ё
®Ў®§­ з овбп ᮮ⢥вб⢥­­® $x=\,$Re$\,z$, $y=\,$Im$\,z$.
“б«®ўЁ¬бп ®Ў®§­ з вм б®ў®ЄгЇ­®бвм Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ« бЁ¬ў®«®¬
$\CC$. „«п Ё§®Ўа ¦Ґ­Ёп Є®¬Ї«ҐЄб­ле з бв® ЁбЇ®«м§гҐвбп ¤ўг¬Ґа­ п
Ї«®бЄ®бвм. ЏаЁ н⮬ зЁб«г $z=x+iy$ ®¤­®§­ з­® ᮮ⢥вбвўгҐв ўҐЄв®а
б Є®®а¤Ё­ в ¬Ё $(x,y)$ ­  Ї«®бЄ®бвЁ, ¤Ґ©б⢨⥫м­л¬ зЁб« ¬
®вўҐз ов в®зЄЁ ­  ®бЁ $Ox$, ¬­Ё¬л¬ зЁб« ¬ -- в®зЄЁ ®бЁ $Oy$.

Џ®¤®Ў­® ўҐЄв®а ¬ ­  Ї«®бЄ®бвЁ Є®¬Ї«ҐЄб­лҐ зЁб«  ¬®¦­® ба ў­Ёў вм
¬Ґ¦¤г б®Ў®©, Ёе ¬®¦­® бЄ« ¤лў вм Ё ўлзЁв вм,   в Є¦Ґ г¬­®¦ вм ­ 
¤Ґ©б⢨⥫м­лҐ зЁб« . Џгбвм $z_1=x_1+iy_1$, $z_2=x_2+iy_2$,
$a\in\RR$. ’®Ј¤ \\1. $z_1=z_2,\quad \Leftrightarrow\quad x_1=x_2,\
y_1=y_2$ Ё«Ё Re$\,z_1$=Re$\,z_2$, Im$\,z_1$=Im$\,z_2$,\\ 2.
$z_1\pm z_2=(x_1\pm x_2)+i(y_1\pm y_2)$ Ё«Ё Re$\,(z_1\pm
z_2)$=Re$\,z_1\pm$Re$\,z_2$, Im$\,(z_1\pm
z_2)$=Im$\,z_1\pm$Im$\,z_2$,\\ 3. $az_1=(ax_1)+i(ay_1)$ Ё«Ё
Re$\,(az_1)$=$a$Re$\,z_1$, Im$\,(az_1)$=$a$Im$\,z_1$.

ќвЁ ®ЇҐа жЁЁ Ї®«­®бвмо Ё¤Ґ­вЁз­л ᮮ⢥вбвўгойЁ¬ ®ЇҐа жЁп¬ ­ ¤
ўҐЄв®а ¬Ё ў Ї«®бЄ®бвЁ. ЋЇҐа жЁп ўлзЁб«Ґ­Ёп ¤«Ё­л ўҐЄв®а  ­ 
Ї«®бЄ®бвЁ в Є¦Ґ Ё¬ҐҐв бў®©  ­ «®Ј ¤«п Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ«. Ђ Ё¬Ґ­­®,
¬®¤г«Ґ¬ зЁб«  $z=x+ iy\in\CC$ ­ §лў ов зЁб«®
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}\geqslant 0.$$ ‘ЇҐжЁ «м­®Ґ ­ §ў ­ЁҐ Ё¬ҐҐв
зЁб«® $\bar{z}=x-iy$. Ћ­® ­ §лў Ґвбп б®Їа殮­­л¬ Є $z=x+ iy$. €§
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп б«Ґ¤гҐв, зв® Re$\,\bar{z}$=Re$\,z$,
Im$\,\bar{z}$=--Im$\,z$, $|\bar{z}|=|z|$.

Ћ¤­ Є® ўбҐ ЇҐаҐзЁб«Ґ­­лҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп, Їа ўЁ«  Ё бў®©бвў  ­Ґ
пў«повбп 祬-в® ЁбЄ«озЁвҐ«м­л¬ Ё ®в¤Ґ«пойЁ¬ Є®¬Ї«ҐЄб­лҐ зЁб«  ®в
ўҐЄв®а®ў ­  Ї«®бЄ®бвЁ. €е ®в«ЁзЁҐ б®бв®Ёв ў ⮬, зв® ¤«п
Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ« ®ЇаҐ¤Ґ«пов ®ЇҐа жЁо г¬­®¦Ґ­Ёп ¤ўге зЁбҐ« ¬Ґ¦¤г
б®Ў®© в Є, зв® ў १г«мв вҐ Ї®«гз Ґвбп ®Їпвм ¦Ґ Є®¬Ї«ҐЄб­®Ґ зЁб«®.
ЏаЁ н⮬ б ¬л¬ Ј« ў­л¬ ў н⮬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁЁ пў«пҐвбп в®, зв®
Ї®«гз о饥бп Їа ўЁ«® г¬­®¦Ґ­Ёп ў¬ҐбвҐ б ®ЇҐа жЁҐ© б«®¦Ґ­Ёп
㤮ў«Ґвў®апов е®а®и® Ё§ўҐбв­л¬ Їа ўЁ« ¬ б«®¦Ґ­Ёп Ё г¬­®¦Ґ­Ёп
¤Ґ©б⢨⥫м­ле зЁбҐ«: ўбҐ  ЄбЁ®¬л б«®¦Ґ­Ёп Ё г¬­®¦Ґ­Ёп, Є®в®алҐ
бЇа ўҐ¤«Ёўл ¤«п ¤Ґ©б⢨⥫м­ле зЁбҐ«, бЇа ўҐ¤«Ёўл Ё ¤«п
Є®¬Ї«ҐЄб­ле. „«п ўҐЄв®а®ў ­  Ї«®бЄ®бвЁ в Є®© ®ЇҐа жЁЁ ­Ґв (в Є
бЄ «па­®Ґ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ўҐЄв®а®ў ®Ў« ¤ Ґв ўҐбм¬  ­ҐЇаЁпв­л¬
бў®©бвў®¬: ¬®¦­® ЇҐаҐ¬­®¦Ёвм ¤ў  ­Ґ­г«Ґўле ўҐЄв®а  Ё Ї®«гзЁвм
­®«м). Џа ўЁ«® г¬­®¦Ґ­Ёп Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ« в Є®ў®:
$$z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1).$$ Ћвбо¤ , ў з бв­®бвЁ,
Ї®«гз Ґвбп а ўҐ­бвў® $i^2=(0+i1)(0+i1)=(0-1)+i(0+0)=-1$. ‘«Ґ¤гойЁҐ
г⢥তҐ­Ёп «ҐЈЄ® Їа®ўҐаповбп:\\ 4.
$z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2+y^2=|z|^2$,\\ 5.
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z}_2}{z_2\bar{z}_2}=
\frac{(x_1x_2+y_1y_2)+i(x_1y_2-x_2y_1)}{x_2^2+y_2^2}$, Ґб«Ё
$z_2\neq 0,$\\ 6. Ґб«Ё $z_1=\bar{z}_2$, в® $z_2=\bar{z}_1$ Ё
­ ®Ў®а®в,\\ 7. $\overline{(z_1\pm z_2)}=\bar{z}_1\pm \bar{z}_2$,
$\overline{(z_1 z_2)}=\bar{z}_1 \bar{z}_2$,\\ 8. $\overline{(z_1:
z_2)}=\bar{z}_1:\bar{z}_2$, Ґб«Ё $z_2\ne 0$,\\ 9.
Re$\,z=(z+\bar{z})/2$, Im$\,z=(z-\bar{z})/(2i)$.

Џ®¬Ё¬® ¬®¤г«п $|z|$ б Є ¦¤л¬ Є®¬Ї«ҐЄб­л¬ зЁб«®¬ $z=x+iy\ne 0$
бўп§ ­® Ї®­пвЁҐ  аЈг¬Ґ­в : arg$z$ -- гЈ®« ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ
$(-\pi,\pi]$, Є®в®ал© ®Ўа §гҐв ўҐЄв®а $(x,y)$ б Ґ¤Ё­Ёз­л¬ ўҐЄв®а®¬
$(1,0)$ ®бЁ $Ox$. ‘ нвЁ¬Ё ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп¬Ё вҐб­® бўп§ ­  в Є
­ §лў Ґ¬ п ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄ п д®а¬  § ЇЁбЁ Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® зЁб«  $z$
$$z=x+iy=r(\cos\phi+i\sin\phi),\quad r=|z|,\ \phi={\rm arg}\,z.$$
„«п  аЈг¬Ґ­в  $\phi$ Ё¬ҐҐ¬ а ўҐ­бвў  $\cos\phi=x/r$,
$\sin\phi=y/r$. Џ®­пв­®, зв® Ґб«Ё ­ ¬ § ¤ ­   «ЈҐЎа ЁзҐбЄ п д®а¬ 
§ ЇЁбЁ Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® зЁб«  $z=x+iy$, в® ўҐ«ЁзЁ­л $r=|z|$ Ё
$\phi={\rm arg}\,z$ Ї®¤бзЁвлў овбп ®¤­®§­ з­®. ‚Ґа­® Ё ®Ўа в­®Ґ,
Ґб«Ё § ¤ ­л ўҐ«ЁзЁ­л $r=|z|$ Ё $\phi={\rm arg}\,z$ (в.~Ґ.
ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄ п д®а¬  § ЇЁбЁ Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® зЁб« 
$z=r(\cos\phi+i\sin\phi)$), в® ®¤­®§­ з­® ўлзЁб«повбп
$x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$. “Є § ­­ п ў§ Ё¬­ п ®¤­®§­ з­®бвм
Ї®а®¦¤ Ґв ¤ўҐ нЄўЁў «Ґ­в­лҐ д®а¬л § ЇЁбЁ Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ«:
 «ЈҐЎа ЁзҐбЄго Ё ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄго. ќвЁ д®а¬л § ЇЁбЁ Ё¬Ґов бў®Ё
 ­ «®ЈЁ ¤«п ўҐЄв®а®ў ­  Ї«®бЄ®бвЁ: ¤«п  «ЈҐЎа ЁзҐбЄ®© д®а¬л § ЇЁбЁ
Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® зЁб«  $z=x+iy$ -- нв® § ЇЁбм в®зЄЁ ­  Ї«®бЄ®бвЁ ў
¤ҐЄ ав®ўле Є®®а¤Ё­ в е $(x,y)$, ¤«п ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄ®© д®а¬л
§ ЇЁбЁ $z=r(\cos\phi+i\sin\phi)$ -- нв® § ЇЁбм в®зЄЁ ­  Ї«®бЄ®бвЁ
ў Ї®«па­ле Є®®а¤Ё­ в е $r$ Ё $\phi$. ‚ Ї®б«Ґ¤­Ґ¬ б«гз Ґ, зв®Ўл
®в¬ҐвЁвм в®зЄг ­  Ї«®бЄ®бвЁ, Їа®ў®¤пв «гз б 業в஬ ў ­ з «Ґ
Є®®а¤Ё­ в Ї®¤ гЈ«®¬ $\phi$ Ї® ®в­®иҐ­Ёо Є Ї®«®¦ЁвҐ«м­®¬г
­ Їа ў«Ґ­Ёо ®бЁ $Ox$ Ё ­  ­Ґ¬ гЄ §лў ов ­  в®зЄг, ®вбв®пйго ­  $r$
Ґ¤Ё­Ёж ®в ­ з «  Є®®а¤Ё­ в. ‘ўп§м ¬Ґ¦¤г ¤ҐЄ ав®ўл¬Ё Ё Ї®«па­л¬Ё
Є®®а¤Ё­ в ¬Ё § ¤ Ґвбп 㦥 ўлЇЁб ­­л¬Ё ўлиҐ б®®в­®иҐ­Ёп¬Ё:
$$x=r\cos\phi,\ y=r\sin\phi,\quad x,y\in\RR,\quad r\in\RR_+,\
\phi\in (-\pi,\pi].$$ (Ё­®Ј¤  ®Ў« бвм Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп Є®®а¤Ё­ вл $\phi$
ᬥй ов ў Їа®¬Ґ¦гв®Є $[0,2\pi)$).

{\bf ЋвбвгЇ«Ґ­ЁҐ.} ђ бᬮв७­ п ўлиҐ Ї®«па­ п бЁб⥬  Є®®а¤Ё­ в
¬®¦Ґв Ўлвм ўўҐ¤Ґ­  ў ўҐЄв®а­®¬ Їа®бва ­б⢥ «оЎ®© а §¬Ґа­®бвЁ
$n\in\NN$. ’ Є ў Їа®бва ­б⢥ $\RR^3$ ЇҐаҐе®¤ ®в ¤ҐЄ ав®ў®© Є
Ї®«па­®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в ўлЈ«п¤Ёв б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$x=r\cos\phi\cos\psi,\quad y=r\sin\phi\cos\psi,\quad
z=r\sin\psi,$$ $(x,y,z)\in\RR^3,\quad r\in\RR_+,\ \phi\in
(0,2\pi],\ \psi\in [-\pi/2,\pi/2]$. “зЁвлў п ®Ў« бвм Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп
Ї а ¬Ґва®ў ®Ўа в­л© ЇҐаҐе®¤ ®бгйҐбвў«пҐвбп ЇаЁ Ї®¬®йЁ ᮮ⭮襭Ё©:
$$r^2=x^2+y^2+z^2\geqslant 0,\quad r\sin\psi=z,\quad
r\sin\phi\cos\psi=y.$$

Ћв¬ҐвЁ¬ ­ҐбЄ®«мЄ® Їа®бвле г⢥তҐ­Ё© ® Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁб« е:\\
’Ґ®аҐ¬  1. /$z_1,\,z_2\in\CC$/ $\Rightarrow$ 1. $|z_1\cdot
z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\ $ 2. $\phi\,=\,$arg$(z_1\cdot
z_2)\equiv$(arg$\,z_1+\,$arg$\,z_2$)(mod($2\pi$)).\\ (§ ЇЁбм
$a\equiv b\,$(mod(c)) ®§­ з Ґв, зв® $(a-b)/c$ -- 楫®Ґ)\\ $\lhd:$
„Ґ©б⢨⥫쭮, Їгбвм $z_1=r_1((\cos\phi_1+i\sin\phi_1))$,
$z_2=r_2((\cos\phi_2+i\sin\phi_2))$ -- ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄЁҐ д®а¬л
§ ЇЁбЁ зЁбҐ« $z_1$ Ё $z_2$. ’®Ј¤  $z_1z_2=$ $$=|z_1
z_2|\,(\cos\phi+ i\sin\phi) =r_1r_2\bigl (
(\cos\phi_1\cos\phi_2-\sin\phi_1\sin\phi_2)+
i(\sin\phi_1\cos\phi_2+\cos\phi_1\sin\phi_2)\bigr )=$$ $$=r_1r_2(
(\cos(\phi_1+\phi_2)+ i(\sin\phi_1+\phi_2))$$ --
ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄ п д®а¬  § ЇЁбЁ $z_1z_2$. Џ®«г祭­®Ґ а ўҐ­бвў®
¤®Є §лў Ґв ⥮६г. $\rhd$\\ ‘«Ґ¤бвўЁҐ. /$z\in\CC$, $n\in\NN$/
$\Rightarrow$ 1. $|z^n|=|z|^n$ 2.
arg$(z^n)\equiv$($n\,$arg$\,z$)(mod($2\pi$)). \\ ЏаЁ¬Ґа. ’®зЄ 
$i\cdot z$ Ї®«гз Ґвбп Ё§ в®зЄЁ $z$ Ї®ў®а®в®¬ ­  гЈ®« $\pi/2$.\\
’Ґ®аҐ¬  2. /$z_1,\,z_2\in\CC$, $z_2\ne 0$/\\ $\Rightarrow$ 1.
$|z_1:z_2|=|z_1|:|z_2|\ $ 2. $\phi\,=\,$arg$(z_1:z_2)
\equiv$(arg$\,z_1-\,$arg$\,z_2$)(mod($2\pi$)).\\ $\lhd:$
„Ґ©б⢨⥫쭮, Їгбвм $z_1=r_1((\cos\phi_1+i\sin\phi_1))$,
$z_2=r_2((\cos\phi_2+i\sin\phi_2))$ -- ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄЁҐ д®а¬л
§ ЇЁбЁ зЁбҐ« $z_1$ Ё $z_2$. ’®Ј¤  $z_1:z_2=|z_1:z_2|\,(\cos\phi+
i\sin\phi)=$ $$=r_1:r_2\bigl (
(\cos\phi_1\cos(-\phi_2)-\sin\phi_1\sin(-\phi_2))+
i(\sin\phi_1\cos(-\phi_2)+\cos\phi_1\sin(-\phi_2))\bigr )=$$
$$=r_1:r_2( (\cos(\phi_1-\phi_2)+ i(\sin\phi_1-\phi_2))$$ --
ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄ п д®а¬  § ЇЁбЁ $z_1:z_2$. Џ®«г祭­®Ґ а ўҐ­бвў®
¤®Є §лў Ґв ⥮६г. $\rhd$\\

Џгбвм $n\in\NN$, $z\in\CC$. ЋЎ®§­ зЁ¬
$$\sqrt[n]{z}=\rho(\cos\psi+i\sin\psi),\quad
z=r(\cos\phi+i\sin\phi).$$ ’®Ј¤  $$\rho^n=r,\quad
n\psi=\phi+2k\pi,\ k\in\ZZ.$$ Џ®н⮬г $$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}
(\cos\frac{{\rm arg}\,z+2k\pi}{n}+i\sin\frac{{\rm
arg}\,z+2k\pi}{n}),\quad k=0,1,\dots,n-1.\eqno (1)$$ Џ® нв®©
д®а¬г«Ґ Ё§ў«ҐЄ овбп Є®а­Ё б⥯Ґ­Ё $n$ Ё§ Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ«.
‘®Ј« б­® (1) Ё¬ҐҐвбп а®ў­® $n$ а §«Ёз­ле Є®а­Ґ© Ё§ зЁб«  $z$.

ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬ Ї®Є § вҐ«м­го дг­ЄжЁо  аЈг¬Ґ­в  $z=x+iy\in\CC$ Ї®
Їа ўЁ«г $$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).\eqno(2)$$ ’ Є § ¤ ­­ п
Ї®Є § вҐ«м­ п дг­ЄжЁп Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј®  аЈг¬Ґ­в  б®еа ­пҐв бў®Ґ
Ј« ў­®Ґ бў®©бвў® $$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2},\quad
z_1,z_2\in\CC.$$ Џ®«гзЁўи пбп дг­ЄжЁп ЇҐаЁ®¤Ёз­  б ¬­Ё¬л¬ ®б­®ў­л¬
ЇҐаЁ®¤®¬ $2\pi i$. ”®а¬г«  (2) ЇаЁ $x=0$ ­®бЁв бЇҐжЁ «м­®Ґ
­ §ў ­ЁҐ -- д®а¬г«  ќ©«Ґа : $$e^{iy}=\cos y+i\sin y.\eqno(3)$$ Ћ­ 
§ ¬Ґз вҐ«м­  ҐйҐ Ё ⥬, зв® ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®«г祭  Ё§ ба ў­Ґ­Ёп а冷ў
’Ґ©«®а  «Ґў®© Ё Їа ў®© з б⥩ (3). ‚ вҐа¬Ё­ е Ї®Є § вҐ«м­®©
дг­ЄжЁЁ Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ­­®Ј® ЁбЇ®«м§гов в Є¦Ґ в Є ­ §лў Ґ¬®Ґ
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ Є®¬Ї«ҐЄб­ле зЁбҐ« ў Ї®Є § вҐ«м­®© д®а¬Ґ $$z=|z|
e^{i\, {\rm arg}\,z}=|z| e^{i\, {\rm arg}\,z+2\pi k},\
k\in\ZZ\eqno(4)$$ ”®а¬г«  (3) ЁбЇ®«м§гҐвбп Ё ¤«п а бЇа®бва ­Ґ­Ёп
®Ў« бвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп ваЁЈ®­®¬ҐваЁзҐбЄЁе дг­ЄжЁ© ­  Є®¬Ї«ҐЄб­лҐ
зЁб« ,   д®а¬г«  (4) -- ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп Їа®Ё§ў®«м­®© б⥯Ґ­Ё
Є®¬Ї«ҐЄб­®Ј® зЁб« .