Скачиваний:
73
Добавлен:
24.04.2014
Размер:
4.7 Кб
Скачать

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.4. {\it €­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ Їа®б⥩иЁе Ё
Їа®Ё§ў®«м­ле Їа ўЁ«м­ле ¤а®ЎҐ©. €­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ Їа®Ё§ў®«м­ле
а жЁ®­ «м­ле дг­ЄжЁ©. €­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ ¤а®Ў­®-«Ё­Ґ©­ле
Ёаа жЁ®­ «м­®б⥩.}

Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ. ‚ Їа®и«л© а § Ўл«  гбв ­®ў«Ґ­  ⥮६  ® ⮬, зв®
ўбпЄ п Їа ўЁ«м­ п а жЁ®­ «м­ п ¤а®Ўм ¬®¦Ґв Ўлвм ЇаҐ¤бв ў«Ґ­  Є Є
б㬬  н«Ґ¬Ґ­в а­ле. ќ«Ґ¬Ґ­в а­л¬Ё Ўл«Ё ­ §ў ­л ¤а®ЎЁ ўЁ¤ 
$$\frac{A}{(x-a)^k},\quad \frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s},$$ Ј¤Ґ
$k,s\in\NN$, $A,M,N\in\RR$, $a,u,v\in\RR$, $u^2-4v<0$. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, ­ е®¦¤Ґ­ЁҐ ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ё­вҐЈа «  ®в Їа®Ё§ў®«м­®©
а жЁ®­ «м­®© ¤а®ЎЁ бў®¤Ёвбп Є ­ е®¦¤Ґ­Ёо Ё­вҐЈа «  ®в Їа ўЁ«м­®©
з бвЁ ¤а®ЎЁ (в. Ґ. ®в ¬­®Ј®з«Ґ­ ) Ё ®в Є ¦¤®© Ё§ н«Ґ¬Ґ­в а­ле
¤а®ЎҐ© Ї® ®в¤Ґ«м­®бвЁ.

€­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ ¬­®Ј®з«Ґ­®ў Ё н«Ґ¬Ґ­в а­®© ¤а®ЎЁ ўЁ¤ 
$\frac{A}{(x-a)^k}$ ­Ґ ўл§лў Ґв § ваг¤­Ґ­Ё©. ’ Є, Ґб«Ё $k\ne 1$,
в® $$\int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx =\int\frac{A}{(x-a)^k}\,d(x-a)=
-\frac{A}{(k-1)(x-a)^{k-1}}+C,$$ Ґб«Ё $k=1$, в®
$$\int\frac{A}{x-a}\,dx =A\ln|x-a|+C.$$

€­вҐЈаЁа®ў ­ЁҐ н«Ґ¬Ґ­в а­®© ¤а®ЎЁ ўЁ¤  $\frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s}$
Їа®ў®¤пв ў ­ҐбЄ®«мЄ® нв Ї®ў. ‘­ з « , ¤«п гЇа®йҐ­Ёп, ўл¤Ґ«пов
Ї®«­л© Єў ¤а в ў §­ ¬Ґ­ вҐ«Ґ ¤а®ЎЁ Ё ¤Ґ« ов § ¬Ґ­г ЇҐаҐ¬Ґ­­®©:
$$\int\frac{Mx+N}{(x^2+ux+v)^s}\,dx
=\int\frac{M(x+u/2)+(N-Mu/2)}{\bigl((x+u/2)^2+(v-u^2/4)\bigr)^s}
\,d(x+u/2)=\int\frac{M_1t+N_1}{(t^2+v_1)^s}\,dt,$$ Ј¤Ґ $t=(x+u/2)$
-- ­®ў п ­Ґ§ ўЁбЁ¬ п ЇҐаҐ¬Ґ­­ п, $M_1=M$, $N_1=(N-Mu/2)$,
$v_1=(v-u^2/4)>0$ -- ®Ў®§­ зҐ­Ёп Є®нддЁжЁҐ­в®ў, ᤥ« ­­лҐ ¤«п
б®Єа йҐ­Ёп ўлЄ« ¤®Є. Џ®«г祭­го ¤а®Ўм а §¤Ґ«пов ­  ¤ўҐ Ё Є ¦¤го
Ё­вҐЈаЁаго⠮⤥«м­®. €­вҐЈа « ®в ЇҐаў®© Ё§ ­Ёе «ҐЈЄ® бў®¤Ёвбп Є
в Ў«Ёз­®¬г: $$\int\frac{M_1t}{(t^2+v_1)^s}\,dt=
\int\frac{(M_1/2)}{(t^2+v_1)^s}\,d(t^2+v_1).$$ …б«Ё $s=1$, в®
Ё­вҐЈа « ®в ўв®а®© ¤а®ЎЁ пў«пҐвбп в Ў«Ёз­л¬. ‘«гз © $s>1$ бў®¤Ёвбп
Є б«гз о $s=1$ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­л¬ 㬥­м襭ЁҐ¬ Ї а ¬Ґва  $s$:
$$I(s)=\int\frac{1}{(t^2+v_1)^s}\,dt=
\frac{1}{v_1}\int\frac{v_1+t^2-t^2}{(t^2+v_1)^s}\,dt=
\frac{1}{v_1}\bigl(I(s-1)-
\int\frac{t^2}{(t^2+v_1)^s}\,dt\bigr).$$ ЏаҐ®Ўа §гҐ¬ Ї®б«Ґ¤­Ё© Ё§
Ї®«г祭­ле Ё­вҐЈа «®ў ¬Ґв®¤®¬ Ё­вҐЈаЁа®ў ­Ёп Ї® з бвп¬:
$$\int\frac{t^2}{(t^2+v_1)^s}\,dt=\int\frac t{2(t^2+v_1)^s}
\,dt^2=\int \frac {-t}{2(s-1)}\,d\frac 1{(t^2+v_1)^{s-1}}=
-\frac{1}{2(s-1)}(\frac t{(t^2+v_1)^{s-1}}-I(s-1)).$$ ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬ ўлзЁб«Ґ­ЁҐ $I(s)$ ᢥ«®бм Є ўлзЁб«Ґ­Ёо $I(s-1)$. Џ®б«Ґ
®Є®­з вҐ«м­®Ј® ўла ¦Ґ­Ёп Ё­вҐЈа «  ў н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁпе
­Ґ®Ўе®¤Ё¬® Їа®Ё§ўҐбвЁ ®Ўа в­го § ¬Ґ­г ЇҐаҐ¬Ґ­­®©: Ї®¤бв ўЁвм
ў¬Ґбв® $t$ ўҐ«ЁзЁ­г $(x+u/2)$.

ђ бᬮваЁ¬ ҐйҐ зҐвлॠўЁ¤  ­Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­ле Ё­вҐЈа «®ў, ®в­®бпйЁебп
Є ўлзЁб«Ґ­Ёо Ё­вҐЈа «®ў ®в а жЁ®­ «м­ле дг­ЄжЁ© Ё Їа®б⥩иЁе
Ёаа жЁ®­ «м­®б⥩. ЏҐаўл© ЇаЁ¬Ґа:
$$\int\frac{dx}{\sqrt{2x-1}-\sqrt[4]{2x-1}}=//2x-1=t^4//=
\int\frac{2t^3\,dt}{t^2-t}=2\int(t+1+\frac 1{t-1})dt=$$
$$=(t+1)^2+2\ln|t-1|+C=(\sqrt[4]{2x-1}+1)^2+
\ln(\sqrt[4]{2x-1}-1)^2+C.$$ ђ бᬮв७­л© Ё­вҐЈа « ®в­®бЁвбп Є
Ё­вҐЈа « ¬ ўЁ¤  $$\int R\bigl [x, \left (\frac{ax+b}{cx+d}\right
)^{p_1/q_1},\left (\frac{ax+b}{cx+d}\right )^{p_2/q_2},\dots\bigr
]\,dx,$$ $R\,[x,y,z,\dots]$ -- дг­ЄжЁп, а жЁ®­ «м­® § ўЁбпй п ®в
Є ¦¤®Ј® Ё§ бў®Ёе  аЈг¬Ґ­в®ў $x,y,z,\dots$ Ї® ®в¤Ґ«м­®бвЁ,
$p_1,q_1,p_2,q_2,\dots$$\in\NN$. „«п ў§пвЁп Ё­вҐЈа «  ЁбЇ®«м§гов
§ ¬Ґ­г ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $$\frac{ax+b}{cx+d}=t^n,$$ $n$ -- ­ Ё¬Ґ­м襥
®ЎйҐҐ Єа в­®Ґ $q_1,q_2,\dots$ ‚ १г«мв вҐ Ї®«гз ов Ё­вҐЈа « ®в
­ҐЄ®в®а®© а жЁ®­ «м­®© дг­ЄжЁЁ ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $t$. €­вҐЈа «л
$$\int\frac{p_n(x)} {\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx,$$ $p_n\in{\cal P}_n$
-- § ¤ ­­л© ¬­®Ј®з«Ґ­, ўлзЁб«пов, Ї®«м§гпбм ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ¬
$$\int\frac{p_n(x)}
{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx=q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c}+
\lambda\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}},$$ $q_{n-1}\in{\cal
P}_{n-1}$, $\lambda$ -- ­ҐЁ§ўҐбв­лҐ ¬­®Ј®з«Ґ­ Ё зЁб«®, Є®в®алҐ
¬®¦­® ­ ©вЁ ¤ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ¬ ўлЇЁб ­­®© д®а¬г«л. Џ®б«Ґ
­ е®¦¤Ґ­Ёп Є®нддЁжЁҐ­в®ў $q_{n-1}$ Ё $\lambda$, § ¤ з  бў®¤Ёвбп Є
ўлзЁб«Ґ­Ёо в Ў«Ёз­®Ј® Ї® бгвЁ Ё­вҐЈа « . €­вҐЈа «л $$\int\frac{dx}
{(x-\alpha)^n\sqrt{ax^2+bx+c}},\quad n\in\NN,$$ ЇаЁў®¤пв Є
Ё­вҐЈа « ¬ ЇаҐ¤л¤г饣® ўЁ¤ , Ї®«м§гпбм Ї®¤бв ­®ўЄ®© $\frac
1{x-\alpha}=t$. €­вҐЈа «л ®в ¤ЁддҐаҐ­жЁ «м­ле ЎЁ­®¬®ў $$\int
x^m(a+bx^n)^p\,dx,$$ $m,n,p$ -- а жЁ®­ «м­лҐ зЁб« . “б«®ўЁп, ЇаЁ
Є®в®але нвЁ Ё­вҐЈа «л ўла ¦ овбп ў н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁпе, Ўл«Ё
Ї®«г祭л агббЄЁ¬ ¬ вҐ¬ вЁЄ®¬ Џ.‹. —ҐЎлиҐўл¬ Ё ­®бпв ҐЈ® Ё¬п:\\ 1.
$p$ -- 楫®Ґ.\\ 2. $\frac {m+1}{n}$ -- 楫®Ґ. Џ®¤бв ­®ўЄ 
$a+bx^n=t^s$, $s$ -- §­ ¬Ґ­ вҐ«м $p$, бў®¤Ёв Ё­вҐЈа « Є
Ё§ўҐбв­л¬.\\ 3. $\frac {m+1}{n}+p$ -- 楫®Ґ. €бЇ®«м§гҐвбп
Ї®¤бв ­®ўЄ  $ax^{-n}+b=t^s$, $s$ -- §­ ¬Ґ­ вҐ«м $p$.\\ 4. „агЈЁҐ
ᮮ⭮襭Ёп ¬Ґ¦¤г $m$, $n$ Ё $p$ ЇаЁў®¤пв Є Ё­вҐЈа « ¬, Є®в®алҐ
­Ґ«м§п ўла §Ёвм ў ўЁ¤Ґ Є®­Ґз­®© Є®¬ЎЁ­ жЁЁ н«Ґ¬Ґ­в а­ле дг­ЄжЁ©.
Соседние файлы в папке Введение в интегральное исчисление