Учебники, методички / Введение в математический анализ / LMA02

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 2.}

Џгбвм $x_0\in\RR$, $\delta>0$. ЋЎ®§­ зЁ¬ зҐаҐ§ ${\cal
O}_{\delta}'(x_0)$ --- ¬­®¦Ґбвў® $\{x\in\RR:\ 0<|x-x_0|<\delta\}$,
зҐаҐ§ ${\cal O}_{\delta}(x_0)$ --- ¬­®¦Ґбвў® $\{x\in\RR:\
|x-x_0|<\delta\}$. ЏҐаў®Ґ ¬­®¦Ґбвў® ­ §лў ов Їа®Є®«®в®©
$\delta$-®ЄаҐбв­®бвмо в®зЄЁ $x_0$, ўв®а®Ґ --- Їа®бв®
$\delta$-®ЄаҐбв­®бвмо $x_0$. Џ®ўв®аЁ¬ ­ҐЄ®в®алҐ Ё§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ё©
ЇаҐ¤л¤г饩 «ҐЄжЁЁ.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1} (ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ $x_0$).
Џгбвм зЁб«®ў п дг­ЄжЁп $f$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  $(a,b)\subset\RR$, Єа®¬Ґ,
Ўлвм ¬®¦Ґв, в®зЄЁ $x_0\in (a,b)$. —Ёб«® $A\in\RR$ ­ §лў Ґвбп
ЇаҐ¤Ґ«®¬ дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0$, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® зЁб« 
$\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп зЁб«® $\delta=\delta(\varepsilon)>0$
в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $x$, 㤮ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁп¬
$0<|x-x_0|<\delta$, ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|f(x)-A|<\varepsilon$. Љ®а®вЄ® нв® § ЇЁблў Ґвбп в Є:
$$A=\lim_{x\to x_0}f(x)\quad\Leftrightarrow\quad
\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0\
\forall x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0) \Rightarrow
|f(x)-A|<\varepsilon.$$ ‡ ¬Ґз ­ЁҐ. ‚ н⮬ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁЁ гб«®ўЁҐ
$\forall\varepsilon>0$ з бв® § ¬Ґ­пов гб«®ўЁҐ¬
$\forall\varepsilon\in (0,\epsilon_0)$, Ј¤Ґ $\epsilon_0 >0$ ---
­ҐЄ®в®а®Ґ дЁЄбЁа®ў ­­®Ґ зЁб«®. Ќ ЇаЁ¬Ґа, ¬®¦­® ўлЎа вм
$\epsilon_0=1$ Ё«Ё $\epsilon_0=1/3$. ЌҐваг¤­® Їа®ўҐаЁвм, зв® ЇаЁ
н⮬ Ї®«гз овбп нЄўЁў «Ґ­в­лҐ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 2} (ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ ў Ї«об
ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ $+\infty$). Џгбвм $f:(a,\infty)\to\RR$. —Ёб«®
$A\in\RR$ ­ §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«®¬ $f$ ў ЎҐбЄ®­Ґз­® г¤ «Ґ­­®© в®зЄҐ,
Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® $\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп $M=M(\varepsilon)\in\RR$,
в Є®Ґ зв® ¤«п $x>M$, ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|f(x)-A|<\varepsilon$. Љ®а®вЄ®: $$A=\lim_{x\to
+\infty}f(x)\quad\Leftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0 \
\exists M=M(\varepsilon)\in\RR\ \forall x:\ x>M\ \Rightarrow
|f(x)-A|<\varepsilon.$$

Ђ­ «®ЈЁз­® ¤ Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ ў ¬Ё­гб
ЎҐбЄ®­Ґз­®бвЁ $-\infty$.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 3} (ЇаҐ¤Ґ«  Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ). —Ёб«®
$a\in\RR$ ­ §лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«®¬ зЁб«®ў®© Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ
$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$, Ґб«Ё ¤«п «оЎ®Ј® $\varepsilon>0$ ­ ©¤Ґвбп
$M=M(\varepsilon)\in\NN$ в Є®Ґ, зв® ¤«п ўбҐе $n\in\NN$,
㤮ў«Ґвў®апойЁе гб«®ўЁо $n>M$, ўлЇ®«­пҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®
$|a_n-a|<\varepsilon$, Ё Є®а®вЄ®: $$a=\lim_{n\to \infty}a_n
\quad\Leftrightarrow\quad \forall \varepsilon>0 \ \exists
M=M(\varepsilon)\in\NN :\ \forall n\in\NN,\ n>M\ \Rightarrow
|a_n-a|<\varepsilon.$$

ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп 1-3 ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ Ё Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвЁ Ё­®Ј¤ 
­ §лў ов ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤Ґ«  ў вҐа¬Ё­ е нЇбЁ«®­--¤Ґ«мв . ЌҐваг¤­®
ўЁ¤Ґвм, зв® Ї®­пвЁҐ ЇаҐ¤Ґ« , ¤ ­­®Ґ ў ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёпе  1)-3)
®¤­®§­ з­® (в.Ґ. ЇаҐ¤Ґ«, Ґб«Ё ®­ Ё¬ҐҐвбп, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ ®¤­®§­ з­®).
Џа®ўҐаЁ¬ нв® г⢥তҐ­ЁҐ ¤«п ЇаҐ¤Ґ«  дг­ЄжЁЁ ў в®зЄҐ:

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  1} (® Ґ¤Ё­б⢥­­®бвЁ ЇаҐ¤Ґ« ).
/$A=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$, $B\neq A$/ $\Rightarrow B\neq
\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$.

$\lhd$: ЏаЁ¬Ґ­пҐ¬ ¬Ґв®¤ ¤®Є § вҐ«мбвў  "®в Їа®вЁў­®Ј®". „®ЇгбвЁ¬
$B= \lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ Ё ЇаЁ¤Ґ¬ Є Їа®вЁў®аҐзЁо. ‚®§м¬Ґ¬
$\varepsilon_0=|B-A|/3>0$. ’®Ј¤ 

-- $\exists\delta_1>0 :\ \forall x\in {\cal O}_{\delta_1}'(x_0)
\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon_0$,

-- $\exists\delta_2>0 :\ \forall x\in {\cal O}_{\delta_2}'(x_0)
\Rightarrow |f(x)-B|<\varepsilon_0$.

Џ®н⮬㠤«п $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ Ё ўбҐе $x\in {\cal
O}_{\delta}'(x_0)$ ­Ґа ўҐ­бвў  $|f(x)-A|<\varepsilon_0$,
$|f(x)-B|<\varepsilon_0$ ўлЇ®«­повбп ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®. Ќ® нв®Ј® ­Ґ
¬®¦Ґв Ўлвм: $$|B-A|=|B-f(x)+f(x)-A|\leqslant
|f(x)-B|+|f(x)-A|<\varepsilon_0+\varepsilon_0=2/3|B-A|,$$ Ґб«Ё
$x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)$, -- Їа®вЁў®аҐзЁҐ Ї®«г祭®. $\rhd$

%{\bf ‹Ґ¬¬  1}. /$X\subset\RR$, $x_0\in X$, $f:\ X\to \RR$,
%$\exists\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$/ $\Rightarrow\ \exists\delta
%>0$: $f(\cdot)$ ®Ја ­ЁзҐ­  ­  ¬­®¦Ґб⢥ $\{x:\ x\in X,
%0<|x-x_0|<\delta\}$.
%
%$\lhd$ ЋЎ®§­ зЁ¬ $A=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ Ё ў®§м¬Ґ¬
%$\varepsilon=1$. €§ (Def 3) б«Ґ¤гҐв, зв® $\exists\delta>0:$
%$\forall x\in X$, $0<|x-x_0|<\delta$ $\Rightarrow$ $|f(x)-A|<1$.
%Џ®н⮬㠤«п $x\in X$, $0<|x-x_0|<\delta$ ўлЇ®«­повбп ­Ґа ўҐ­бвў 
%$$-1+A<f(x)<1+A,$$ зв® Ё ®§­ з Ґв г⢥তҐ­ЁҐ «Ґ¬¬л. $\rhd$

{\it ‘ў®©бвў  ЇаҐ¤Ґ«®ў дг­ЄжЁ©}.

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  2} (®Ў ®Ја ­ЁзҐ­­®© б室Ё¬®бвЁ). /$x_0\in
(a,b)$, $f, \varphi, \psi:(a,b)\backslash \{x_0\}\to\RR$. Џгбвм
$\varphi(x)\leqslant f(x)\leqslant \psi(x)$ ¤«п $x\in
(a,b)\backslash \{x_0\}$ Ё $\lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)
=\lim\limits_{x\to x_0}\psi(x)=A$/ $\Rightarrow$
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$.

\noindent $\lhd$: ‚®бЇ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤Ґ« . ‚롥६
$\varepsilon >0$ Їа®Ё§ў®«м­®. Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо 3)

-- $\exists\delta_1>0 :\ \forall x\in {\cal O}_{\delta_1}'(x_0)
\Rightarrow |\varphi(x)-A|<\varepsilon$,

-- $\exists\delta_2>0 :\ \forall x\in {\cal O}_{\delta_2}'(x_0)
\Rightarrow |\psi(x)-A|<\varepsilon$.

\noindent Џ®«®¦Ё¬ $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}>0$. ’®Ј¤  ¤«п
ўбҐе $x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)$ ўлЇ®«­повбп ­Ґа ўҐ­бвў  $$
\psi(x)-A<\varepsilon\quad (1)\ {\rm Ё}\
-\varepsilon<\varphi(x)-A\quad (2).$$ Џ®н⮬г, Ё§ гб«®ўЁ© ⥮६л
Ё (1) б«Ґ¤гҐв $f(x)-A<\psi(x)-A<\varepsilon$, Ґб«Ё $x\in {\cal
O}_{\delta}'(x_0)$.

\noindent Ђ­ «®ЈЁз­®, Ґб«Ё $x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)$, Ё§
гб«®ўЁ© вҐ®аҐ¬л Ё (2) б«Ґ¤гҐв $-\varepsilon<\varphi(x)-A<f(x)-A$.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ¤«п $x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)$
$$-\varepsilon<f(x)-A<\varepsilon.\quad \rhd$$

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  3}. /$x_0\in (a,b)$, $f, g:(a,b)\backslash
\{x_0\}\to\RR$. Џгбвм $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) =A$,
$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$/ $\Rightarrow$

 ) $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=A+B$,

Ў) $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=A B$,

ў) Ґб«Ё $B\neq 0$, в® $\lim\limits_{x\to x_0}(1/ g(x))=1/B$ ({\bf
ЎҐ§ ¤®Є § вҐ«мбвў }).

$\lhd$: Џ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤Ґ« . a) 1) ”г­ЄжЁп $f+g$
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  $(a,b)\backslash \{x_0\}$. 2) ‡ дЁЄбЁа㥬
$\varepsilon>0$ Ё ўлЎҐаҐ¬ $\delta>0$ в Є, зв®Ўл ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®

$\forall x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)\Rightarrow\
|f(x)-A|<\varepsilon/2$,

$\forall x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)\Rightarrow\
|g(x)-B|<\varepsilon/2$.

\noindent ’®Ј¤  $\forall x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)\Rightarrow$
$$|(f(x)+g(x))-(A+B)|\leqslant
|f(x)-A|+|g(x)-B|\leqslant\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon,$$
зв® ¤®Є §лў Ґв a). „®Є § вҐ«мбвў® Ў) Ї®ўв®апҐв ¤®Є § вҐ«мбвў®
Їг­Єв   ): 1) ”г­ЄжЁп $f\cdot g$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  $(a,b)\backslash
\{x_0\}$. 2) ‡ дЁЄбЁа㥬 $\varepsilon\in (0,1)$ Ё ўлЎҐаҐ¬
$\delta>0$ в Є, зв®Ўл

$$\forall x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)\Rightarrow\
|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{|A|+|B|+1},\quad
|g(x)-B|<\frac{\varepsilon}{|A|+|B|+1}.\eqno (1)$$

\noindent Ќ ¬ Ї®вॡгҐвбп ­Ґа ўҐ­бвў®, пў«по饥бп б«Ґ¤бвўЁҐ¬ (1):
в Є Є Є $|f(x)-A|<1$ ¤«п $x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)$, в®
$|f(x)|<|A|+1$. Џгбвм ⥯Ґам $x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0)$. ’®Ј¤ 
$$|f(x)g(x)-AB|=|f(x)g(x)-f(x)B+f(x)B-AB|\leqslant
|f(x)g(x)-f(x)B|+|f(x)B-AB|<$$
$$<\frac{\varepsilon(|A|+1)}{|A|+|B|+1}+\frac{\varepsilon |B|
}{|A|+|B|+1}=\varepsilon,$$ зв® ¤®Є §лў Ґв Ў).\\ {\footnotesize
„®Є ¦Ґ¬ ў). 1) Џа®ўҐаЁ¬, зв® дг­ЄжЁп $1/g(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  ${\cal
O}_{\delta_0}'(x_0)$ ЇаЁ ­ҐЄ®в®а®¬ $\delta_0>0$. „«п нв®Ј® ў®§м¬Ґ¬
$\varepsilon_0=|B|/2>0$ Ё, б®Ј« б­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо 3), Ї®¤ЎҐаҐ¬
$\delta_0>0$, зв®Ўл $\forall x\in {\cal
O}_{\delta_0}'(x_0)\Rightarrow\ |g(x)-B|<\varepsilon_0=|B|/2$.
Џ®бЄ®«мЄг $||g(x)|-|B||\leqslant |g(x)-B|$, в®
$$||g(x)|-|B||<|B|/2,\quad -|B|/2<|g(x)|-|B|,\quad |B|/2<|g(x)|,
\eqno (2)$$ Ґб«Ё $x\in {\cal O}_{\delta_0}'(x_0)$. ќв® Ё ®§­ з Ґв,
зв® $g(x)\neq 0$ ¤«п ўбҐе $x\in {\cal O}_{\delta_0}'(x_0)$. 2)
‡ дЁЄбЁа㥬 $\varepsilon>0$ Ё ўлЎҐаҐ¬ $\delta_1>0$ в Є, зв®Ўл
$$\forall x\in {\cal O}_{\delta_1}'(x_0)\Rightarrow\
|g(x)-B|<\frac{\varepsilon B^2}{2}. \eqno (3)$$ Џгбвм
$\delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}>0$. ’®Ј¤  $\forall x\in {\cal
O}_{\delta}'(x_0)$ ­Ґа ўҐ­бвў  (2) Ё (3) ўлЇ®«­повбп ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®.
Џ®н⮬г $$|\frac 1{g(x)}-\frac 1B|=\frac{|g(x)-B|}{|g(x)B|}<
\frac{\varepsilon B^2}{2}\frac{2}{B^2}=\varepsilon,\quad\forall
x\in {\cal O}_{\delta}'(x_0).\quad\triangleright$$}

{\bf ‡ ¬Ґз ­ЁҐ}. ’Ґ®аҐ¬л 1, 2, 3 ®бв овбп бЇа ўҐ¤«Ёўл¬Ё, Ґб«Ё ў
­Ёе Ё§¬Ґ­Ёвм $\lim\limits_{x\to x_0}$ (Ё§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп 1)) ­ 
$\lim\limits_{x\to+\infty}$ (Ё§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп 2))Ё«Ё ­ 
$\lim\limits_{n\to\infty}$ (Ё§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп 3)). ‚ ¤ «м­Ґ©иҐ¬ Ўг¤Ґ¬
ЇаЁ¬Ґ­пвм н⨠⥮६л, ¤«п ўбҐе ЇҐаҐзЁб«Ґ­­ле ЇаҐ¤Ґ«®ў.

{\it ЏҐаўл© Ё ўв®а®© § ¬Ґз вҐ«м­лҐ ЇаҐ¤Ґ«л.}

\noindent {\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ 1 (1-© § ¬Ґз вҐ«м­л© ЇаҐ¤Ґ«)}.
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}x=1$.

\noindent $\lhd$: ЏаЁ¬Ґ­пҐ¬ ⥮६л 2 Ё 3. 1) ”г­ЄжЁп $\frac{\sin
x}x$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  ­  $\RR\backslash \{0\}$. 2) €§ ба ў­Ґ­Ёп Ї«®й ¤Ґ©
¤ўге ваҐгЈ®«м­ЁЄ®ў Ё ЄагЈ®ў®Ј® ᥪв®а  б«Ґ¤гов ­Ґа ўҐ­бвў :
$$\frac{\sin x}2<\frac{x}2 <\frac{\sin x}{2\cos x},\quad x\in
(0,\pi/2).$$ €е ¬®¦­® ЇҐаҐЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ $\cos x<\frac{\sin x}x<1$
Ё«Ё $$0<1-\frac{\sin x}x<1-\cos x=2\sin^2(\frac x2)<\frac{x^2}2,$$
¤«п $x\in (0,\frac{\pi}2)$,  , §­ зЁв, Ё ¤«п $x\in
(-\frac{\pi}2,0)\cup(0,\frac{\pi}2)$. ЏаЁ¬Ґ­пҐ¬ ⥮६л 2 Ё 3Ў) ў
в®зЄҐ $x_0=0$. $\rhd$

ЋЇаҐ¤Ґ«Ё¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­®бвм ®в१Є®ў, § ¤ ў Ёе Є®­жл. Џгбвм
$a_n=(1+1/n)^n$, $b_n=(1+1/n)^{n+1}$, $n\in\NN$. Џа®ўҐаЁ¬
­Ґа ўҐ­бвў : $a_{n-1}<a_{n}$ Ё $b_{n}<b_{n-1}$. „Ґ©б⢨⥫쭮,
$$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n}{n-1}\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n>
\frac{n}{n-1}\left(1-n\bigl(1-\frac{n^2-1}{n^2}\bigr)\right)=1,$$
$$\frac{b_{n-1}}{b_{n}}=\frac{n-1}{n}\left(\frac{n^2}{n^2-1}\right)^{n+1}>
\frac{n-1}{n}\left(1+(n+1)\bigl(\frac{n^2}{n^2-1}-1\bigr)\right)=1.$$

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant
a_n\leqslant\dots\leqslant b_n\leqslant\dots\leqslant b_2\leqslant
b_1$, в.Ґ. бЁб⥬  ®в१Є®ў $[a_n,b_n]$ -- ў«®¦Ґ­­ п. ЌҐваг¤­®
Їа®ўҐаЁвм, зв® ¤«Ё­  ®в१Є®ў $[a_n,b_n]$ бв६Ёвбп Є ­г«о б
ў®§а бв ­ЁҐ¬ $n=1,2,\dots$. Џ® ЇаЁ­жЁЇг ­ҐЇаҐалў­®бвЁ Љ ­в®а 
(⥮६Ґ 1 ЇаҐ¤л¤г饩 «ҐЄжЁЁ) Ё¬ҐҐвбп Ґ¤Ё­б⢥­­ п в®зЄ ,
ЇаЁ­ ¤«Ґ¦ й п ўбҐ¬ ®в१Є ¬ $[a_n, b_n]$, $n=1,2,\dots$. ќв  в®зЄг
®Ў®§­ з ов бЁ¬ў®«®¬ $e\approx 2.718281828459045$.

\noindent {\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ 2}. $\lim\limits_{n\to\infty}
(1+\frac{1}n)^n=e$.

$\lhd$: Џ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤Ґ«  Ё Ї®­пвЁҐ¬ "¤«Ё­  бЁб⥬л
®в१Є®ў бв६Ёвбп Є 0". ‘®Ј« б­® Ї®б«Ґ¤­Ґ¬г ¤«п § ¤ ­­®Ј®
$\varepsilon >0$  ­ ©¤Ґвбп $n_{\varepsilon}\in\NN$ в Є®©, зв®
$$\forall n>n_{\varepsilon}, n\in\NN \Rightarrow
|b_n-a_n|<\varepsilon.$$ Џ® Ї®бв஥­Ёо $[a_n,e]\subset [a_n,b_n]$
ЇаЁ ўбҐе $n\in\NN$. Џ®н⮬г $$\forall n>n_{\varepsilon}, n\in\NN
\Rightarrow |a_n-e|<|b_n-a_n|<\varepsilon,$$ зв® Ё вॡ®ў «®бм
Їа®ўҐаЁвм. $\rhd$

\noindent {\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ 3} (2-© § ¬Ґз вҐ«м­л© ЇаҐ¤Ґ«).
$\lim\limits_{x\to+\infty} (1+\frac{1}x)^x=e$.

$\lhd$: Џ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ ЇаҐ¤Ґ«  Ё ⥮६®© 3. Џ® ⥮६Ґ 3
$$\lim\limits_{n\to\infty}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=e.$$ ‡ дЁЄбЁа㥬 Їа®Ё§ў®«м­®Ґ
$\varepsilon>0$ Ё ўлЎҐаҐ¬ $n_{\varepsilon}\in\NN$ в Є, зв®Ўл

$\forall n>n_{\varepsilon},\ n\in\NN,\ \Rightarrow
|(1+\frac{1}{n+1})^n-e|<\varepsilon,\quad
|(1+\frac{1}{n})^{n+1}-e|<\varepsilon.$

\noindent Џгбвм $x>n_{\varepsilon}+1$. ‚롥६ $n\in\NN$, зв®Ўл
$n\leqslant x<n+1$. ’®Ј¤  $$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\leqslant
\left(1+\frac{1}x\right)\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)$$ Ё,
§­ зЁв, $$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}\leqslant
\left(1+\frac{1}x\right)^x\leqslant
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$ Џ®н⮬г
$$|(1+\frac{1}{x})^x-e|<\varepsilon$$ ¤«п $x>n_{\varepsilon}+1$.
$\rhd$