Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебники, методички / Введение в математический анализ / Lma05
.tex\section*{\it ‹ҐЄжЁп 5.}
\noindent{\bf ‹®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®Ґ ¤ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ.}
Џгбвм $y=\ln z$, $z=\varphi (x)$ --- б«®¦ п дгЄжЁп. ’®Ј¤ , Ї®
Їа ўЁ«г ¤ЁддҐаҐжЁа®ў Ёп б«®¦®© дгЄжЁЁ, $$y'_x=(\ln z)'_x=(\ln
z)'_z\, z'_x=\frac 1z z'_x.$$ Џа®Ё§ў®¤ п ®в «®Ј аЁд¬ дгЄжЁЁ
§лў Ґвбп {\it «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© Їа®Ё§ў®¤®©} дгЄжЁЁ.
\noindent{\bf „ЁддҐаҐжЁ «, ҐЈ® ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб«, ЇаЁ¬ҐҐЁҐ Є
ЇаЁЎ«Ё¦Ґл¬ ўлзЁб«ҐЁп¬. €ў аЁ в®бвм д®а¬л I-Ј®
¤ЁддҐаҐжЁ « .}
Џгбвм дгЄжЁп $f:(a,b)\to\RR$ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 ў в®зЄҐ $x\in(a,b)$.
{\it „ЁддҐаҐжЁ «®¬} дгЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x$ §лў ов «ЁҐ©го
дгЄжЁо $df(x):\RR\to\RR$, Є®в®а п зЁб«г $dx$ б®Ї®бв ў«пҐв зЁб«®
$f'(x) dx$, пў«ппбм, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ®ЇҐа в®а®¬ 㬮¦ҐЁп
$f'(x)$. ‚ ¦® Ї®¤зҐаЄгвм, зв® $x$ Ё $dx$ --- ¤ўҐ а §«ЁзлҐ
Ґ§ ўЁбЁ¬лҐ ЇҐаҐ¬ҐлҐ. ЏҐаў п, $x$, ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв ®Ў« бвЁ
®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп $(a,b)$ дгЄжЁЁ $f$, ў Ґ© ўлзЁб«пҐвбп § 票Ґ
Їа®Ё§ў®¤®©, ўв®а п, $dx$,
--- Ё§¬ҐпҐвбп зЁб«®ў®© Їаאַ©, ў нвЁе в®зЄ е ўлзЁб«повбп
§ зҐЁп «ЁҐ©®© дгЄжЁЁ ${df}(x)$. ЏаЁ н⮬ § 票Ґ дгЄжЁЁ
${df}(x)$ н«Ґ¬ҐвҐ $dx$ § ЇЁблў ов ў ўЁ¤Ґ $df(x)=f'(x) dx$,
Їа®Ё§ў®¤го -- ў ўЁ¤Ґ ®в®иҐЁп ¤ЁддҐаҐжЁ «®ў:
$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$.
ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« ¤ЁддҐаҐжЁ « бў®¤Ёвбп Є ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®¬г
б¬лб«г Їа®Ё§ў®¤®© дгЄжЁЁ $f$. Џ®бЄ®«мЄг Їа®Ё§ў®¤ п ў в®зЄҐ $x$
--- нв® в ЈҐб гЈ« Є«® Є б ⥫쮩 ў нв®© в®зЄҐ, в®
¤ЁддҐаҐжЁ « дгЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x$ н«Ґ¬ҐвҐ $dx$ нв®
ЇаЁа 饨Ґ ®а¤Ё вл Є б ⥫쮩 Є Ја дЁЄг дгЄжЁЁ ў в®зЄҐ $x$,
Є®Ј¤ $x$ Ї®«гз Ґв ЇаЁа 饨Ґ $dx$.
„«п ¬ «®Ј® § зҐЁп ЇаЁа 饨п аЈг¬Ґв $\Delta x$ дгЄжЁЁ $f\in
D(x)$ ў в®зЄҐ $x$ бЇа ўҐ¤«Ёў ЇаЁЎ«Ё¦Ґ п д®а¬г« $$f(x+\Delta
x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x=f(x)+\frac{df(x)}{dx}(\Delta x).$$
€бЇ®«м§®ў ЁҐ нв®© д®а¬г«л Ґбвм бгвм да §л ® ЇаЁ¬ҐҐЁЁ
Їа®Ё§ў®¤®© Ё«Ё ¤ЁддҐаҐжЁ « ў ЇаЁЎ«Ё¦Ґле ўлзЁб«ҐЁпе.
‘®Ј« б® д®а¬г«Ґ ® Їа®Ё§ў®¤®© б«®¦®© дгЄжЁЁ, ¤«п Є®¬Ї®§ЁжЁЁ
$h=g\circ f$ ®в®Ўа ¦ҐЁп $f:(a,b)\to (A,B)$, ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®Ј® ў
в®зЄҐ $x\in (a,b)$, Ё $g:(A,B)\to\RR$, ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®Ј® ў в®зЄҐ
$y=f(x)\in (A,B)$, $$h'(x)=g'(y)f'(x).$$ Џ®н⮬г
$$dh(x)=h'(x)dx=g'(y)f'(x)dx=g'(y)df(x)=g'(f(x))df(x).$$ ђ ўҐбвў®
$dh(x)=h'(x)dx=g'(f(x))df(x)$ ўла ¦ Ґв б®Ў®© Ёў аЁ в®бвм д®а¬л
I-Ј® ¤ЁддҐаҐжЁ « : ¤ЁддҐаҐжЁ « дгЄжЁЁ а ўҐ Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁо
Їа®Ё§ў®¤®© нв®© дгЄжЁЁ ¤ЁддҐаҐжЁ « аЈг¬Ґв , ЇаЁ н⮬
ЎҐ§а §«Ёз®, Ўг¤Ґв «Ё нв®в аЈг¬Ґв Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© Ё«Ё
¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁҐ© ®в ¤агЈ®© Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©.
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬л ”Ґа¬ , ђ®««п, ‹ Ја ¦ , Љ®иЁ.}
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 1.} (”Ґа¬ ) /$f:(a,b)\to\RR$, $x_0\in
(a,b)$, $f\in D(x_0)$, $f(x_0)\leqslant f(x)$ ¤«п ўбҐе $x\in
(a,b)$/$\Rightarrow$ $f'(x_0)=0$.
\noindent$\lhd:$ …б«Ё $x<x_0$, в®
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0,$$ Ґб«Ё $x>x_0$, в®
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0.$$ €бЇ®«м§гп ЇҐаў®Ґ
Ґа ўҐбвў®, Ї®«гзЁ¬, зв® $f'(x_0)\leqslant 0$, ўв®а®Ґ
--- зв® $f'(x_0)\geqslant 0$. Џ®н⮬г $f'(x_0)=0$. $\rhd$
\noindent{\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ} /$f:(a,b)\to\RR$, $x_0\in (a,b)$, $f\in
D(x_0)$, $f(x_0)\geqslant f(x)$ $\forall$ $x\in
(a,b)$/$\Rightarrow$ $f'(x_0)=0$.
ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п б¬лб« вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ б®бв®Ёв ў ⮬, зв® Ґб«Ё ў в®зЄҐ
$x_0\in (a,b)$ дгЄжЁп ЇаЁЁ¬ Ґв ЁЎ®«м襥 Ё«Ё Ё¬Ґм襥
§ 票Ґ, в® Є б ⥫м п Є Ја дЁЄг дгЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ
Ї а ««Ґ«м ®бЁ $Ox$.
€§ нв®© ⥮६л б«Ґ¤гҐв в Є¦Ґ, зв® Ґб«Ё дгЄжЁп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ
ҐЄ®в®а®¬ ЁвҐаў «Ґ Ё ў Є Є®©-в® в®зЄҐ нв®Ј® ЁвҐаў « ЇаЁЁ¬ Ґв
§ 票Ґ, пў«по饥бп ЁЎ®«миЁ¬ Ё«Ё Ё¬ҐмиЁ¬ ў ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв®бвЁ гЄ § ®© в®зЄЁ ( Ґ ®Ўп§ вҐ«м® ўбҐ¬ ЁвҐаў «Ґ,
Є®в®а®¬ а бб¬ ваЁў Ґвбп дгЄжЁп), в® Їа®Ё§ў®¤ п ў нв®© в®зЄҐ
а ў г«о, Ё, б«Ґ¤®ў ⥫м®, Є б ⥫м п ў ᮮ⢥вбвўго饩 в®зЄҐ
Ја дЁЄ дгЄжЁЁ Ј®аЁ§®в «м .
\noindent{\bf ‡ ¬Ґз ЁҐ}. Ђ «®ЈЁз®Ґ г⢥তҐЁҐ ¤«п дгЄжЁ©,
§ ¤ ле ®в१ЄҐ $[a,b]$ ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап ҐўҐа®. ЏаЁ¬Ґа, ---
дгЄжЁп $f(x)=x$ ®в१ЄҐ $[0,1]$. (…б«Ё нвг дгЄжЁо
а бб¬ ваЁў вм ЁвҐаў «Ґ $(0,1)$, в® Ґ¬ $f(x)$ Ґ ЇаЁЁ¬ Ґв
Ё ¬ЁЁ¬ «м®Ј®, Ё ¬ ЄбЁ¬ «м®Ј® § 票п.)
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 2.} (ђ®««м) /$f\in C[a,b]$, $f\in D(a,b)$,
$f(a)=f(b)$/$\Rightarrow$ $\exists x_0\in (a,b):$ $f'(x_0)=0$.
\noindent$\lhd:$ ’Ґ®аҐ¬ ‚Ґ©Ґаива бб : /$f\in
C([a,b],\RR)$/$\Rightarrow$ $f$ ¤®бвЁЈ Ґв $[a,b]$ бў®Ёе
¬ЁЁ¬ «м®Ј® Ё ¬ ЄбЁ¬ «м®Ј® § 票©. Џгбвм $M=\max f(x)$,
$m=\min f(x)$, в®Ј¤ $m\leqslant f(x)\leqslant M$ ¤«п ўбҐе $x\in
[a,b]$. …б«Ё $m=M$, в® $f$ Ї®бв®п , Ё ў Є зҐб⢥ $x_0$ ¬®¦®
ў§пвм «оЎго в®зЄг $(a,b)$. …б«Ё $m\neq M$, в®, Ё§-§ $f(a)=f(b)$,
е®вп Ўл ®¤® Ё§ $m$ Ё«Ё $M$ Ґ ЇаЁЁ¬ Ґвбп Є®ж е ®в१Є
$[a,b]$. Џгбвм, ЇаЁ¬Ґа, ¤«п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®бвЁ $x_0\in (a,b)$
в Є®ў®, зв® $f(x_0)=M$. Џ® ⥮६Ґ ”Ґа¬ $f'(x_0)=0$. $\rhd$
ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ ⥮६ ђ®««п ®§ з Ґв, зв® г Ја дЁЄ ҐЇаҐалў®©
®в१ЄҐ Ё ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© ўгваЁ ҐЈ® дгЄжЁЁ, ЇаЁЁ¬ о饩
Є®ж е нв®Ј® ®в१Є ®¤Ё Є®ўлҐ § 票п, бгйҐбвўгҐв в®зЄ , ў
Є®в®а®© Є б ⥫м п Ї а ««Ґ«м ®бЁ $Ox$.
\noindent{\bf ’Ґ®аҐ¬ 3.} (Љ®иЁ) /$f,g\in C[a,b]$, $f,g\in
D(a,b)$, $g'(x)\neq 0$ ЇаЁ $x\in (a,b)$/$\Rightarrow$ $\exists
x_0\in (a,b):$
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a))}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$ (®вбо¤ ў
з бв®бвЁ б«Ґ¤гҐв, зв® $g(b)\neq g(a)$).
\noindent$\lhd:$ ’® зв® $g(b)\neq g(a)$, б«Ґ¤гҐв Ё§ вҐ®аҐ¬л ђ®««п.
ђ бᬮваЁ¬ ўбЇ®¬®Ј ⥫мго дгЄжЁо $$h(x)=\begin{vmatrix}f(x) &
g(x) & 1\\f(a) & g(a) & 1\\f(b) & g(b) & 1\end{vmatrix}.$$ ’®Ј¤
$h\in C[a,b]$, $h\in D(a,b)$, $h(a)=h(b)=0$. Џ® ⥮६Ґ ђ®««п
©¤Ґвбп $x_0\in (a,b)$, в Є п зв® $h'(x_0)=0$. ќв® ®§ з Ґв, зв®
$$\begin{vmatrix}f'(x_0) & g'(x_0) & 0\\f(a) & g(a) & 1\\f(b) &
g(b) & 1\end{vmatrix}= f'(x_0)(g(a)-g(b))-g'(x_0)(f(a)-f(b))=0.\
\rhd$$
\noindent{\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ} (⥮६ ‹ Ја ¦ ) /$f\in C[a,b]$, $f\in
D(a,b)$/$\Rightarrow$ $\exists x_0\in (a,b):$
$$f(b)-f(a)=f'(x_0)(b-a).$$
\noindent ќв ⥮६ Ї®Є §лў Ґв, зв® ¤®«¦ ©вЁбм в®зЄ $x_0$
(Ўлвм ¬®¦Ґв Ё Ґ ®¤ ), ў Є®в®а®© Є б ⥫м п Є Ја дЁЄг
Ї а ««Ґ«м е®а¤Ґ, ᮥ¤Ёпо饩 в®зЄЁ $(a,f(a))$, $(b,f(b))$.
\noindent{\bf ‹Ґ¬¬ } /$f\in C(\langle a,b\rangle)$, $f'(x)=0$
$(a,b)$/$\Rightarrow$ $f(x)=\,$const $\langle a,b\rangle$.
\noindent$\lhd:$ Џгбвм $x_1,x_2\in \langle a,b\rangle$. ’®Ј¤ Ї®
⥮६Ґ ‹ Ја ¦ ©¤Ґвбп $x_0\in (x_1,x_2)$, ў Є®в®а®©
$$f(x_2)-f(x_1)=f'(x_0)(x_2-x_1)=0.\ \rhd$$
\noindent{\bf ‹Ґ¬¬ } /$f\in C(a,b)$, $c\in (a,b)$, $f\in D(a,c)$,
$f\in D(c,b)$, $\exists \lim_{x\to c}f'(x)=A$/$\Rightarrow$ $f\in
D(a,b)$ Ё $f'(c)=A$.
\noindent$\lhd:$ Џ®«м§гҐ¬бп ⥮६®© ‹ Ја ¦ :
$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(x_0)$$ ¤«п ҐЄ®в®а®Ј® $x_0\in (x,c)$.
Џ®бЄ®«мЄг $x_0\in (x,c)$, в® ЇаЁ $x\to c$ ®Ўп§ вҐ«м® $x_0\to c$ Ё
$f'(x_0)\to A$. Џ®н⮬г $$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\to A$$ ЇаЁ $x\to
c$. $\rhd$
Соседние файлы в папке Введение в математический анализ