Учебники, методички / Введение в математический анализ / LMA04

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 4.}

{\bf Џа®Ё§ў®¤­ п, Ґс ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© Ё ¬Ґе ­ЁзҐбЄЁ© б¬лб«.
“а ў­Ґ­ЁҐ Є б вҐ«м­®© Ё ­®а¬ «Ё Є Ја дЁЄг дг­ЄжЁЁ.}

Љ Є Ё Ї®­пвЁҐ ­ҐЇаҐалў­®бвЁ, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ
а бб¬ ваЁў Ґвбп ў Є ¦¤®© в®зЄҐ ®Ў« бвЁ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп дг­ЄжЁЁ
­Ґ§ ўЁбЁ¬®. Џгбвм б­ з «  $f:[a,b]\to\RR$ Ё $x_0\in (a,b)$. …б«Ё
бгйҐбвўгҐв ЇаҐ¤Ґ« $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ в®
ҐЈ® ­ §лў ов Їа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0$ Ё ®Ў®§­ з ов
$f'(x_0)$ Ё«Ё $\frac{d}{dx}f(x_0)$. ‚ в®зЄ е $a$ Ё $b$
а бб¬ ваЁў ов в Є ­ §лў Ґ¬лҐ ®¤­®бв®а®­­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ: $f$ Ё¬ҐҐв
®¤­®бв®а®­­оо Їа®Ё§ў®¤­го ў в®зЄҐ $a$, Ґб«Ё бгйҐбвўгҐв ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{x\to +a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$ …Ј® Ё­®Ј¤  ®Ў®§­ з ов
$f'_+(a)$, ¦Ґ« п Ї®¤зҐаЄ­гвм, зв® Їа®Ё§ў®¤­ п ®¤­®бв®а®­­пп,
Ё­®Ј¤  ¦Ґ, Є®Ј¤  нв® ­Ґ бгйҐб⢥­­®, а §«ЁзЁп ­Ґ ¤Ґ« ов Ё нвг
Їа®Ё§ў®¤­го в Є¦Ґ ®Ў®§­ з ов $f'(a)$. Ћ в®зЄ е, Ј¤Ґ дг­ЄжЁп Ё¬ҐҐв
Їа®Ё§ў®¤­го Ј®ў®апв, зв® ў ­Ёе дг­ЄжЁп ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬 . Џгбвм

$D(x_0)$ --- Є« бб дг­ЄжЁ© ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬ле ў в®зЄҐ $x_0$,

$D(a,b)$ --- Є« бб дг­ЄжЁ© ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬ле ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $x_0\in
(a,b)$,

$D[a,b]$ --- Є« бб дг­ЄжЁ© ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬ле ў Є ¦¤®© в®зЄҐ $x_0\in
(a,b)$ Ё ®Ў« ¤ ойЁе ®¤­®бв®а®­­Ё¬Ё Їа®Ё§ў®¤­л¬Ё ў в®зЄ е $a$ Ё
$b$.

—в®Ўл Ї®­пвм, ў 祬 б®бв®Ёв ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤­®©,
а бᬮваЁ¬ га ў­Ґ­ЁҐ ᥪг饩, Їа®е®¤п饩 зҐаҐ§ ¤ўҐ в®зЄЁ Ја дЁЄ 
$\{(x,f(x))\ |\ x\in [a,b]\}$ дг­ЄжЁЁ $f$. Ћ¤­  в®зЄ  --- нв®
$(x_1,f(x_1))$, ¤агЈ п --- $(x_0,f(x_0))$. “а ў­Ґ­ЁҐ ᥪг饩 Ё¬ҐҐв
ўЁ¤ $$y=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0).$$ ‚ нв®©
д®а¬г«Ґ Є®нддЁжЁҐ­в $\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ пў«пҐвбп
в ­ЈҐ­б®¬ гЈ«  ­ Є«®­  ¤ ­­®© ᥪг饩. ЏаҐ¤Ґ«м­®Ґ Ї®«®¦Ґ­ЁҐ
ᥪг饩, Є®Ј¤  $x_1$ бв६Ёвбп Є $x_0$, ­®бЁв ­ §ў ­ЁҐ Є б вҐ«м­®©
Є Ја дЁЄг дг­ЄжЁЁ $f$ ў в®зЄҐ $x_0$. Љ Є б«Ґ¤гҐв Ё§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп,
$f'(x_0)$ --- ҐҐ гЈ«®ў®© Є®нддЁжЁҐ­в,  
$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$ --- га ў­Ґ­ЁҐ Є б вҐ«м­®©. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤­®© б®бв®Ёв ў ⮬, зв®
$f'(x_0)$ --- в ­ЈҐ­б гЈ«  ­ Є«®­  Є б вҐ«м­®© Є Ја дЁЄг дг­ЄжЁЁ
$f$ ў в®зЄҐ $x_0$. ‡ ЇЁиҐ¬ ҐйҐ га ў­Ґ­ЁҐ ­®а¬ «Ё Є дг­ЄжЁЁ $f$ ў
в®зЄҐ $x_0$. ’ Є ­ §лў ов Їап¬го, Їа®е®¤пйго зҐаҐ§ в®зЄг
$(x_0,f(x_0))$ Ё ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­го Є б вҐ«м­®© ў нв®© в®зЄҐ.
ЏҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­®бвм ¤ўге Їап¬ле ®§­ з Ґв ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«па­®бвм Ёе
­ Їа ў«пойЁе ўҐЄв®а®ў. Ќ Їа ў«пойЁ¬ ўҐЄв®а®¬ ¤«п Є б вҐ«м­®©
Ўг¤Ґв, ­ ЇаЁ¬Ґа, ўҐЄв®а $(1,f'(x_0))$. ‚ҐЄв®а $(-f'(x_0),1)$ Ґ¬г
ЇҐаЇҐ­¤ЁЄг«п७, Ё, §­ зЁв, ҐЈ® ¬®¦­® бзЁв вм ­ Їа ў«пойЁ¬
ўҐЄв®а®¬ ­®а¬ «Ё. “а ў­Ґ­ЁҐ ­®а¬ «Ё, в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ё¬ҐҐв ўЁ¤:
$$(y-f(x_0))\cdot (-f'(x_0))=(x-x_0)\cdot 1\quad{\rm Ё«Ё,\ Ґб«Ё}\
f'(x_0)\neq 0,\quad y=f(x_0)-\frac 1{f'(x_0)}(x-x_0).$$

Љ Ї®­пвЁо Їа®Ё§ў®¤­®© ЇаЁў®¤Ёв в Є¦Ґ § ¤ з  ® ўлзЁб«Ґ­ЁЁ бЄ®а®бвЁ
­Ґа ў­®¬Ґа­®Ј® ¤ўЁ¦Ґ­Ёп. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® в®зЄ  $M$ ¤ўЁ¦Ґвбп Ї®
­ҐЄ®в®а®© Їаאַ©, Є®в®аго ЇаЁ¬Ґ¬ §  ®бм $Ox$. Љ ¦¤®¬г §­ зҐ­Ёо
ўаҐ¬Ґ­Ё $t$ ᮮ⢥вбвўгҐв ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ґ а ббв®п­ЁҐ $OM=x$.
‘«Ґ¤®ў вҐ«м­®, ¬®¦­® бЄ § вм, зв®  ЎбжЁбб  $x$ ¤ўЁ¦г饩бп в®зЄЁ
Ґбвм дг­ЄжЁп ўаҐ¬Ґ­Ё $t$: $x=f(t)$. ќв® га ў­Ґ­ЁҐ ­ §лў ов
га ў­Ґ­ЁҐ¬ ¤ўЁ¦Ґ­Ёп. ЏаЁ н⮬ ®в­®иҐ­ЁҐ
$$\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$$ ўла ¦ Ґв б।­оо бЄ®а®бвм Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп
 ЎбжЁббл $x$ ­  Їа®¬Ґ¦гвЄҐ ўаҐ¬Ґ­Ё $[t_0,t]$. ЏаҐ¤Ґ« нв®© б।­Ґ©
бЄ®а®бвЁ ЇаЁ $t\to t_0$ ­ §лў Ґвбп бЄ®а®бвмо ¤ўЁ¦Ґ­Ёп ў ¬®¬Ґ­в
ўаҐ¬Ґ­Ё $t_0$. ЋЎ®§­ з п нвг бЄ®а®бвм $v$, Ї®«гзЁ¬ $v=f'(t_0)$.

\noindent{\bf ‘ўп§м ¬Ґ¦¤г ­ҐЇаҐалў­®бвмо Ё ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®бвмо.
‘ў®©бвў  Їа®Ё§ў®¤­ле. Џа®Ё§ў®¤­ п ®Ўа в­®©, б«®¦­®© дг­ЄжЁЁ,
дг­ЄжЁЁ § ¤ ­­®© Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ.}

{\bf ’Ґ®аҐ¬  1}. /$f:[a,b]\to\RR$, $x_0\in [a,b]$, $f\in
D(x_0)$/$\Rightarrow\ f\in C(x_0)$.

$\lhd:$ „®Є § вҐ«мбвў® нв®© Ё б«Ґ¤гойЁе ⥮६ б«Ґ¤гҐв Їа®ў®¤Ёвм
®в¤Ґ«м­® ¤«п ў­гв७­Ёе Ё Ја ­Ёз­ле в®зҐЄ $[a,b]$. ЏаЁ н⮬ 室
а бб㦤Ґ­Ё© ®бв Ґвбп ­ҐЁ§¬Ґ­­л¬, ¬Ґ­повбп «Ёим ЁбЇ®«м§гҐ¬лҐ
®Ў®§­ зҐ­Ёп. Џ®н⮬㠧¤Ґбм, Ё ў ¤ «м­Ґ©иҐ¬, Ўг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм
в®«мЄ® ЇҐаўл© б«гз ©. Џа®ўҐаЁ¬, зв® $\lim_{x\to
x_0}(f(x)-f(x_0))=0$. $$\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))= \lim_{x\to
x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)= \lim_{x\to
x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\lim_{x\to x_0}(x-x_0)=f'(x_0)\cdot
0=0$$ Ї® ⥮६Ґ ® ЇаҐ¤Ґ«Ґ Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп. $\rhd$

{\bf ‘«Ґ¤бвўЁҐ}. …б«Ё дг­ЄжЁп а §алў­  ў ­ҐЄ®в®а®© в®зЄҐ, в® ў
нв®© в®зЄҐ ®­  ­Ґ Ё¬ҐҐв Їа®Ё§ў®¤­®©.

{\bf ЏаЁ¬Ґа}. ”г­ЄжЁп $y=|x|$ ­ҐЇаҐалў­  ў в®зЄҐ $0$, ­® ­Ґ
пў«пҐвбп ў нв®© в®зЄҐ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®©.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  2}. /$f:\RR\to\RR$, $f(x)=c$/$\Rightarrow\ f'(x)=0$.

$$\lhd:\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\to
x_0}\frac{c-c}{x-x_0}=0.\ \rhd$$

{\bf ’Ґ®аҐ¬  3}. /$f,g:[a,b]\to\RR$, $x_0\in [a,b]$, $f,g\in
D(x_0)$/$\Rightarrow$

 ) $(f+g)\in D(x_0)$ Ё $(f+g)'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)$,

Ў) $(f\cdot g)\in D(x_0)$ Ё $(f\cdot g)'(x_0)=f'(x_0)\cdot
g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)$

ў) Ґб«Ё $g(x_0)\neq 0$, в® $(1/g)\in D(x_0)$ Ё
$(1/g)'(x_0)=-g'(x_0)/g^2(x_0)$.


$\lhd:$ Џ®«м§гҐ¬бп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ¬ Їа®Ё§ў®¤­®© Ё ®б­®ў­л¬Ё бў®©бвў ¬Ё
ЇаҐ¤Ґ« . $$ ) \lim_{x\to x_0}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\to
x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)+g'(x_0),$$ $$Ў) \lim_{x\to
x_0}\frac{(fg)(x)-(fg)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to
x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=$$
$$=\lim_{x\to x_0} f(x)\lim_{x\to
x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+g(x_0)\lim_{x\to
x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot
g'(x_0),$$ $$ў) \lim_{x\to
x_0}\frac{(1/g)(x)-(1/g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to
x_0}\frac{g(x_0)-g(x)}{g(x)g(x_0)(x-x_0)}=-g'(x_0)/g^2(x_0).\
\rhd$$

{\bf ‘«Ґ¤бвўЁп}. /$f,g:[a,b]\to\RR$, $x_0\in [a,b]$, $f,g\in
D(x_0)$, $g(x_0)\neq 0$/$\Rightarrow$

 ) $(f(x_0)+c)'=f'(x_0)$,

Ў) $(c\cdot f(x_0))'=c\cdot f'(x_0)$,

ў) $(f/g)'(x_0)=(g(x_0)f'(x_0)-g'(x_0)f(x_0))/g^2(x_0)$.

\noindent Џгбвм $f:[a,b]\to [A,B]$, $g:[A,B]\to \RR$. ’®Ј¤ 
дг­ЄжЁо $h=g\circ f:[a,b]\to \RR$, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­го Їа ўЁ«®¬
$h(x)=g(f(x))$, ­ §лў ов б«®¦­®© дг­ЄжЁҐ©.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  4}. /$f:[a,b]\to [A,B]$, $g:[A,B]\to \RR$, $x_0\in
[a,b]$, $y_0=f(x_0)\in [A,B]$, $f\in D(x_0)$, $g\in
D(y_0)$/$\Rightarrow$ $h=g\circ f\in D(x_0)$ Ё
$h'(x_0)=g'(y_0)\cdot f'(x_0)$.

$\lhd:$ „®Є § вҐ«мбвў® Їа®ўҐ¤Ґ¬ в®«мЄ® ¤«п б«гз п, Є®Ј¤  $f(x)\neq
y_0$ ¤«п ўбҐе $x$ Ё§ ­ҐЄ®в®а®© Їа®Є®«®в®© ®ЄаҐбв­®бвЁ ${\cal
O}_{\delta}'(x_0)$ в®зЄЁ $x_0$: $$\lim_{x\to
x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{x-x_0}= \lim_{x\to
x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}\lim_{x\to
x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=g'(y_0)f'(x_0).$$ „®Є § вҐ«мбвў®
вҐ®аҐ¬л ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ ¬®¦Ґв Ўлвм ᤥ« ­®, ­ ЇаЁ¬Ґа, ®б­®ўлў пбм
­  ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁЁ ЇаҐ¤Ґ« . $\rhd$

\noindent Џгбвм $f:[a,b]\to [A,B]$, $g:[A,B]\to \RR$ в Є®ўл, зв®
б«®¦­ п дг­ЄжЁп $h=g\circ f:[a,b]\to \RR$ 㤮ў«Ґвў®апҐв а ўҐ­бвўг
$h(x)=x$ ЇаЁ «оЎ®¬ $x\in [a,b]$. ’®Ј¤  дг­ЄжЁо $g$ ­ §лў ов
®Ўа в­®© Є $f$ дг­ЄжЁҐ©.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  5}. /$f\in C([a,b])$, $f:[a,b]\to[A,B]$, $g:[A,B]\to
\RR$
--- ®Ўа в­ п Є $f$ дг­ЄжЁп, $x_0\in (a,b)$, $y_0=f(x_0)\in [A,B]$,
$f\in D(x_0)$, $f'(x_0)\neq 0$/$\Rightarrow$ $g\in D(y_0)$ Ё
$g'(y_0)=1/f'(x_0)$.

$\lhd:$ ЌҐ ®Ја ­ЁзЁў п ®Ўй­®бвЁ, ¬®¦­® бзЁв вм, зв®
$f([a,b])=[A,B]$, $f(a)=Ђ$, $f(b)=B$. Џгбвм $y\in [A,B]$. ’®Ј¤ ,
Ї® ⥮६Ґ ® Їа®¬Ґ¦гв®з­®¬ §­ зҐ­ЁЁ, $f(x)=y$ ЇаЁ ­ҐЄ®в®а®¬
§­ зҐ­ЁЁ $x\in [a,b]$. Џ®н⮬г $$\lim_{y\to
y_0}\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}= \lim_{x\to
x_0}\frac{g(f(x))-g(f(x_0))}{f(x)-f(x_0)}= \lim_{x\to
x_0}\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=1/f'(x_0),$$ в Є Є Є, Ґб«Ё $y\to
y_0$, в® Ё $g(y)\to g(y_0)$ Ї® ⥮६Ґ ® ­ҐЇаҐалў­®бвЁ ®Ўа в­®©
дг­ЄжЁЁ,  , §­ зЁв, $g(f(x))\to g(f(x_0))$ Ё, б«Ґ¤®ў вҐ«м­®, $x\to
x_0$. $\rhd$

‡ ўЁбЁ¬®бвм ¬Ґ¦¤г ЇҐаҐ¬Ґ­­л¬Ё $x$ Ё $y$ Ё­®Ј¤  㤮Ў­® § ¤ ў вм
¤ўг¬п га ў­Ґ­Ёп¬Ё $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$, Ј¤Ґ $t$ ---
ўбЇ®¬®Ј вҐ«м­ п ЇҐаҐ¬Ґ­­ п (Ї а ¬Ґва). ’ Є®© бЇ®б®Ў § ¤ ­Ёп
§ ўЁбЁ¬®бвЁ ¬Ґ¦¤г $x$ Ё $y$, ­®бЁв ­ §ў ­ЁҐ Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ј®.

{\bf ’Ґ®аҐ¬  6}. …б«Ё дг­ЄжЁп $y$ ®в  аЈг¬Ґ­в  $x$ § ¤ ­ 
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ $x=\varphi(t)$, $y=\psi(t)$, Ј¤Ґ дг­ЄжЁЁ
$\varphi(t)$ Ё $\psi(t)$ ¤ЁддҐаҐ­жЁагҐ¬л Ё $\varphi'(t)\neq 0$, в®
Їа®Ё§ў®¤­ п нв®© дг­ЄжЁЁ Ґбвм $$y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}.$$

\noindent{\bf ’ Ў«Ёж  Їа®Ё§ў®¤­ле} (ўлў®¤ б ¬®бв®п⥫쭮).

$$c'=0,\qquad x'=1,\qquad (x^a)'=a x^{a-1},$$ $$(\sin x)'=\cos
x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad ({\rm tg}\,x)' =\frac 1{\cos^2
x},\qquad ({\rm ctg}\,x)' =-\frac 1{\sin^2 x},$$ $$(\ln x)'=\frac
1{x},\qquad (\log_a x)'=\frac 1{x \ln a},\qquad (e^x)'=e^x, \qquad
(a^x)'=a^x \ln a,$$ $$(\arcsin x)'=\frac 1{\sqrt{1-x^2}},\
(\arccos x)'= -\frac 1{\sqrt{1-x^2}},\ ({\rm arctg}\,x)'= \frac
1{1+x^2},\ ({\rm arcctg}\,x)'= -\frac 1{1+x^2}.$$