Учебники, методички / Введение в булеву логику / BU

\documentstyle[12pt,draft,russcorr]{article}

\makeatletter
\def\l@section#1#2{\addpenalty{\@secpenalty}% good place for page break
   \addvspace{1.0em plus\p@}%
   \@tempdima 2.1em
   \begingroup
     \parindent \z@ \rightskip \@pnumwidth
     \parfillskip -\@pnumwidth
     \bf
     \leavevmode
      \advance\leftskip\@tempdima
      \hskip -\leftskip
     #1\nobreak\hfil \nobreak\hbox to\@pnumwidth{\hss #2}\par
   \endgroup}

\makeatother

\tolerance1600
%\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\newcommand{\th}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\cth}{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\newcommand{\rot}{\mathop{\rm rot}\nolimits}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
%\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\let\o=\overline
\let\e=\varepsilon
\let\t=\tau
\let\tet=\vartheta
\let\f=\varphi
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\z=\zeta
\let\g=\gamma
\let\O=\Omega
\let\de=\delta
\let\De=\Delta
\let\D=\Delta
\let\di=\displaystyle
\let\ss=\subsection
\let\s=\section
\let\d=\vee
\let\k=\wedge
\begin{document}

\begin{center}\large \bf ЊЁ­ЁбвҐабвў® ®Ўа §®ў ­Ёп ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ

\bigskip

\it ``ЊЂ’€"- ђЋ‘‘€‰‘Љ€‰ ѓЋ‘“„Ђђ‘’‚…ЌЌ›‰
’…•ЌЋ‹Ћѓ€—…‘Љ€‰ “Ќ€‚…ђ‘€’…’ Ё¬.~Љ.~ќ.~–€Ћ‹ЉЋ‚‘ЉЋѓЋ

\vskip30pt
\rm
Љ дҐ¤а  "‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ "


\vskip 80pt

\bf Ђ.~‚.~†Ґ¬ҐаҐў

\vskip20pt

‚‚…„…Ќ€… ‚ Ѓ“‹…‚“ ‹Ћѓ€Љ“

\bigskip
\rm ЊҐв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ¤«п бв㤥­в®ў 2-Ј® д Єг«мвҐв  ЊЂ’€

\vskip 150pt
Њ®бЄў   2003 Ј.
\end{center}

\thispagestyle{empty}
\newpage

\tableofcontents


\s{‚ўҐ¤Ґ­ЁҐ}

Њ вҐ¬ вЁзҐбЄ п Ё«Ё д®а¬ «м­ п «®ЈЁЄ  ¤Ґ«Ёвбп ­  ваЁ Ї®¤а §¤Ґ« :
{\it «®ЈЁЄ  Ѓг«п}, {\it «®ЈЁЄ  ўлбЄ §лў ­Ё©} Ё {\it «®ЈЁЄ  ЇаҐ¤ЁЄ в®ў}.

"‹®ЈЁЄ  Ѓг«п" Ё«Ё "Ўг«Ґў  «®ЈЁЄ "
®б­®ўлў Ґвбп ­  {\it ®в­®иҐ­ЁЁ нЄўЁў «Ґ­в­®бвЁ},
ЇаЁ Є®в®а®¬ Їа ў п з бвм а ўҐ­бвў  ўбҐЈ¤  ᮤҐа¦Ёв бв®«мЄ® ¦Ґ
ЁбвЁ­л, бЄ®«мЄ® Ё «Ґў п. ‘ва®Ј® Ј®ў®ап, ў н⮬ б«гз Ґ ­Ґ Їа®Ёб室Ёв
­Ґ Їа®Ёб室Ёв ЇаЁа йҐ­Ёп ­®ў®Ј® §­ ­Ёп.

„ў  Ї®б«Ґ¤гойЁе Ї®¤а §¤Ґ« , "‹®ЈЁЄ  ўлбЄ §лў ­Ё©" Ё "‹®ЈЁЄ  ЇаҐ¤ЁЄ в®ў",
Ў §Ёаговбп ­  {\it ®в­®иҐ­ЁЁ Ї®ап¤Є }, ЇаЁ Є®в®а®¬ Їа ў п з бвм ўла ¦Ґ­Ёп
({\it § Є«о祭ЁҐ}) ᮤҐа¦Ёв Ў®«миҐ "ЁбвЁ­л", 祬 «Ґў п ({\it Ї®бл«ЄЁ}),
в.Ґ. "ЁбвЁ­­®бвм" § Є«о祭Ёп  ®Є §лў Ґвбп ўлиҐ "ЁбвЁ­­®бвЁ" Ї®бл«®Є.

ЋЎлз­® ®ЇҐа жЁЁ Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ ўў®¤пвбп зҐаҐ§ Ї®­пвЁҐ "¬­®¦Ґбвў®"
Ё ®ЇҐа жЁ© ¬Ґ¦¤г ¬­®¦Ґбвў ¬Ё.

‚ ­ бв®п饬 Ї®б®ЎЁЁ ®ЇҐа жЁЁ Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ ўў®¤пвбп  ЄбЁ®¬ вЁзҐбЄЁ, ­Ґ ЇаЁЎҐЈ п Є Ї®­пвЁп¬
Ё ®ЇҐа жЁп¬ ¬Ґ¦¤г ¬­®¦Ґбвў ¬Ё.

‚ўҐ¤Ґ¬ ­ҐЄ®в®алҐ Ї®­пвЁп.

Џ®¤ {\it ¬­®¦Ґбвў®¬} Ї®­Ё¬ Ґвбп б®ў®ЄгЇ­®бвм н«Ґ¬Ґ­в®ў «оЎ®© ЇаЁа®¤л,
Ї®¤зЁ­пойЁебп бзҐвг.


{\it Њ­®¦Ґбвў® ЁбвЁ­®бв­ле §­ зҐ­Ё©} Ґбвм ¬­®¦Ґбвў®,
б®бв®п饥 Ё§ ¤ўге ЁбвЁ­®бв­ле §­ зҐ­Ё©:

$\{0,1\}$  Ё«Ё $\{\rm FALSE,TRUE\}$ Ё«Ё $\{{\rm €‘’€ЌЂ, ‹Ћ†њ}\}$.

‚ ¤ «м­Ґ©иҐ¬ ¤«п гЇа®йҐ­Ёп § ЇЁбЁ Ўг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм $\{0,1\}$.


{\it ‹®ЈЁзҐбЄ®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®©} ­ §лў Ґвбп ЇҐаҐ¬Ґ­­ п, ЇаЁ­Ё¬ ой п ®¤­® Ё§ ЁбвЁ­®бв­ле §­ зҐ­Ё©.

{\it ‹®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁҐ©} ­ §лў Ґвбп дг­ЄжЁп, § ўЁбпй п ®в ®¤­®© Ё«Ё ­ҐбЄ®«мЄЁе
«®ЈЁзҐбЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, Є®в®а п ЇаЁ­Ё¬ Ґв ®¤­® Ё§
ЁбвЁ­®бв­ле §­ зҐ­Ё© ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в §­ зҐ­Ё© «®ЈЁзҐбЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле.

{\it ЋваЁж ­ЁҐ¬} «®ЈЁзҐбЄ®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $\bf x$  («®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ
$\bf y(x)$) ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ўҐ«ЁзЁ­  $\bf \o{x}$ ($\bf \o {y(x)}$)
(зЁв Ґвбп  ­Ґ -- $\bf \o{x}$) (­Ґ -- ($\bf \o {y(x)}$). ЋваЁж ­ЁҐ Ё¬ҐҐв ¤агЈ®Ґ
ЁбвЁ­®бв­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ, 祬  $\bf x$ ($\bf  {y(x)})$.

{\it ’ Ў«ЁжҐ© ЁбвЁ­®бвЁ} «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ, § ўЁбп饩 ®в ®¤­®© Ё«Ё
­ҐбЄ®«мЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, ­ §лў Ґвбп в Ў«Ёж , ў Є®в®а®© ЇаҐ¤бв ў«Ґ­л
§­ зҐ­Ё© «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в §­ зҐ­Ё© «®ЈЁзҐбЄЁе
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, ®ЇаҐ¤Ґ«пойЁе нвг дг­ЄжЁо.


\s{ЋЇҐа жЁЁ Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ}

ЊҐ¦¤г «®ЈЁзҐбЄЁ¬Ё ЇҐаҐ¬Ґ­­л¬Ё Ё «®ЈЁзҐбЄЁ¬ дг­ЄжЁп¬Ё ў®§¬®¦­л
ў®бҐ¬м «®ЈЁзҐбЄЁе ®ЇҐа жЁ©. ЏҐаҐзЁб«Ё¬ Ёе.

{\it „Ё§ко­ЄжЁҐ©} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п  «®ЈЁзҐбЄЁ¬
бЁ¬ў®«®¬
$\d$.

{\it Љ®­ко­ЄжЁҐ©} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п   «®ЈЁзҐбЄЁ¬
бЁ¬ў®«®¬
$\k$.

{\it ‘в५Є®© ЏЁаб } ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п   «®ЈЁзҐбЄЁ¬
бЁ¬ў®«®¬
$\downarrow $.


{\it ваЁе®¬ ҐддҐа } ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п
  «®ЈЁзҐбЄЁ¬  бЁ¬ў®«®¬ $\mid $.

{\it ђ §­®бвмо} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п   «®ЈЁзҐбЄЁ¬
бЁ¬ў®«®¬ $-$.

{\it €¬Ї«ЁЄ жЁҐ©} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п   «®ЈЁзҐбЄЁ¬
бЁ¬ў®«®¬ $\to$.

{\it ‘Ё¬¬ҐваЁзҐбЄ®© а §­®бвмо} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п
  «®ЈЁзҐбЄЁ¬  бЁ¬ў®«®¬ $+$.


{\it ќЄўЁў «Ґ­в­®бвмо} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п ®ЇҐа жЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п
  «®ЈЁзҐбЄЁ¬  бЁ¬ў®«®¬ $\sim$.

ЏаЁўҐ¤Ґ¬ Ёе ў ўЁ¤Ґ в Ў«Ёжл

\begin{center}


’ Ў«Ёж  1. ЋЇҐа жЁЁ Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf ь}$ & Ќ §ў ­ЁҐ ®ЇҐа жЁЁ & ‘Ё¬ў®« ®ЇҐа жЁЁ
\\
\hline
1 & „Ё§ко­ЄжЁп &  $\d$  \\
2 & Љ®­ко­ЄжЁп & $\k$ \\
3 & ‘в५Є  ЏЁаб  & $\downarrow$   \\
4 & ваЁе ҐддҐа  & $\mid$   \\
5 & ђ §­®бвм &    $-$ \\
6 & €¬Ї«ЁЄ жЁп & $\to$   \\
7 & ‘Ё¬¬ҐваЁзҐбЄ п а §­®бвм & $+$   \\
8 & ќЄўЁў «Ґ­в­®бвм & $\sim$   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}


\s{Ѓг«Ґўл дг­ЄжЁЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}

Ѓг«Ґўле дг­ЄжЁ© ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле,
Є Є Ё ®ЇҐа жЁ© Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ ­ бзЁвлў Ґвбп ў®бҐ¬м.

\ss{„Ё§ко­ЄжЁп Ё Є®­ко­ЄжЁп}

{\it „Ё§ко­ЄжЁҐ© ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $\d$.

\begin{center}


’ Ў«Ёж  2. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п ¤Ё§ко­ЄжЁЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{\d}(x_1,x_2)=x_1 \vee x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 0   \\
1 & 0 & 1   \\
0 & 1 & 1   \\
1 & 1 & 1   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}


Ћв¬ҐвЁ¬, зв® «®ЈЁзҐбЄЁ© бЁ¬ў®« $\d$ ¬®¦­® ЇҐаҐ¤ вм б«®ў ¬Ё
"{\it Ё«Ё/Ё}" . ’.Ґ. ¤Ё§ко­ЄжЁп $x_1\d x_2$ ЇҐаҐ¤ Ґвбп Є Є
"{\it Ё«Ё}" $\bf x_1$, "{\it Ё«Ё}"$\bf x_2$, «ЁЎ® "{\it Ё}" $\bf x_1$
"{\it Ё}" $\bf x_2$.

{\it Љ®­ко­ЄжЁҐ© ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $\k$.


\begin{center}

’ Ў«Ёж  3. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п  Є®­мо­ЄжЁЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{\k}(x_1,x_2)=x_1 \k x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 0   \\
1 & 0 & 0   \\
0 & 1 & 0   \\
1 & 1 & 1   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® «®ЈЁзҐбЄЁ© бЁ¬ў®« $\k$ ¬®¦­® ЇҐаҐ¤ вм б«®ў ¬Ё
"{\it Ё}". ’.Ґ. Є®­ко­ЄжЁп $x_1\k x_2$ ЇҐаҐ¤ Ґвбп Є Є
"{\it Ё}" $\bf x_1$ "{\it Ё}" $\bf x_2$.


…б«Ё ў в Ў«ЁжҐ ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п ¤Ё§ко­ЄжЁЁ (в Ў«Ёж  2) ўбҐ ­г«Ё § ¬Ґ­Ёвм
Ґ¤Ё­Ёж ¬Ё,   ўбҐ Ґ¤Ё­Ёжл -- ­г«п¬Ё, в® ў Ёв®ЈҐ Ї®«гзЁ¬ в Ў«Ёжг 3.

ќв® ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв ў§ Ё¬­го {\it ¤ў®©б⢥­­®бвм} Є®­ко­ЄжЁЁ Ё ¤Ё§ко­ЄжЁЁ, Є®в®а п ўла ¦ Ґвбп «®ЈЁзҐбЄЁ¬Ё ᮮ⭮襭ﬨ:
$$\bf  x_1\d x_2=\o{x_1\k x_2},$$
$$\bf  \o{x_1\d x_2}=x_1\k x_2.$$



\ss{‘в५Є  ЏЁаб  Ё иваЁе ҐддҐа }

‚ўҐ¤Ґ¬ ¤ўҐ ­®ўле Ўг«Ґўле дг­ЄжЁЁ, Є®в®алҐ ў§ Ё¬­® ¤ў®©б⢥­­л Ї® ®в­®иҐ­Ёо
¤агЈ Є ¤агЈг: {\it бв५Є  ЏЁаб } Ё {\it иваЁе ҐддҐа }.

{\it ‘в५Є®© ЏЁаб  ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $\downarrow $.




\begin{center}

’ Ў«Ёж  4. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п бв५ЄЁ ЏЁаб  ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{\downarrow}(x_1,x_2)=x_1 \downarrow x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 1   \\
1 & 0 & 0   \\
0 & 1 & 0   \\
1 & 1 & 0   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}

{\it ваЁе®¬ ҐддҐа  ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $\mid$.

\begin{center}

’ Ў«Ёж  5 . ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п иваЁе  ҐддҐа  ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{\mid}(x_1,x_2)=x_1 \mid x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 1   \\
1 & 0 & 1   \\
0 & 1 & 1   \\
1 & 1 & 0   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}

Cа ў­Ёў п в Ў«Ёжл ЁбвЁ­­®бвЁ бв५ЄЁ ЏЁаб  Ё иваЁе  ҐддҐа ,
­Ґваг¤­® § ¬ҐвЁвм б«Ґ¤гойЁҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ ᮮ⭮襭Ёп:
$$\bf x_1\downarrow x_2=\o{x_1\mid x_2},$$
$$\bf \o{x_1\downarrow x_2}=x_1\mid x_2.$$

Cа ў­Ёў п в Ў«Ёжл ЁбвЁ­­®бвЁ бв५ЄЁ ЏЁаб  Ё иваЁе  ҐддҐа 
б в Ў«Ёж ¬Ё ЁбвЁ­­®бвЁ ¤Ё§ко­ЄжЁЁ Ё Є®­ко­ЄжЁЁ,
­Ґваг¤­® § ¬ҐвЁвм б«Ґ¤гойЁҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ ᮮ⭮襭Ёп:
$$\bf x_1\downarrow x_2=\o{x_1\d x_2};$$
$$\bf \o{x_1\downarrow x_2}=x_1\d x_2;$$
$$\bf x_1\mid x_2=\o{x_1\k x_2};$$
$$\bf \o{x_1\mid x_2}=x_1\k x_2.$$



\ss{ђ §­®бвм Ё Ё¬Ї«ЁЄ жЁп}


‚ўҐ¤Ґ¬ ¤ўҐ ­®ўле Ўг«Ґўле дг­ЄжЁЁ, Є®в®алҐ ў§ Ё¬­® ¤ў®©б⢥­­л Ї® ®в­®иҐ­Ёо
¤агЈ Є ¤агЈг: {\it ђ §­®бвм ®в ¤ўге «®ЈЁзҐбЄЁе
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле} Ё {\it €¬Ї«ЁЄ жЁп ®в ¤ўге «®ЈЁзҐбЄЁе
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}.



{\it ђ §­®бвмо ®в ¤ўге «®ЈЁзҐбЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге «®ЈЁзҐбЄЁе
ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $-$.

\begin{center}

’ Ў«Ёж  6. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п а §­®бвЁ ®в ¤ўге «®ЈЁзҐбЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{-}(x_1,x_2)=x_1-x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 0   \\
1 & 0 & 1   \\
0 & 1 & 0   \\
1 & 1 & 0   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}

{\it €¬Ї«ЁЄ жЁҐ© ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $\to$.

\begin{center}

’ Ў«Ёж  7. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п Ё¬Ї«ЁЄ жЁЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{\to}(x_1,x_2)=x_1 \to x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 1   \\
1 & 0 & 0   \\
0 & 1 & 1   \\
1 & 1 & 1   \\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

Cа ў­Ёў п в Ў«Ёжл ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«пп а §­®бвЁ Ё Ё¬Ї«ЁЄ жЁЁ ,
­Ґваг¤­® § ¬ҐвЁвм б«Ґ¤гойЁҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ ᮮ⭮襭Ёп:
$$\bf x_1- x_2=\o{x_1\to x_2};$$
$$\bf \o{x_1- x_2}=x_1\to x_2.$$

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® Ё¬Ї«ЁЄ жЁп ЇҐаҐ¤ Ґвбп б«®ў ¬Ё "Ґб«Ё" $x_1$, "в®" $x_2.$


\ss{‘Ё¬¬ҐваЁзҐбЄ п а §­®бвм Ё нЄўЁў «Ґ­в­®бвм}


‚ўҐ¤Ґ¬ ¤ўҐ ­®ўле Ўг«Ґўле дг­ЄжЁЁ, Є®в®алҐ ў§ Ё¬­® ¤ў®©б⢥­­л Ї® ®в­®иҐ­Ёо
¤агЈ Є ¤агЈг: {\it ‘Ё¬¬ҐваЁзҐбЄ п а §­®бвм} Ё {\it нЄўЁў «Ґ­в­®бвм}.



{\it ‘Ё¬¬ҐваЁзҐбЄ®© а §­®бвмо ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $+$.

\begin{center}

’ Ў«Ёж  8. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®© а §­®бвЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{+}(x_1,x_2)=x_1+x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 0   \\
1 & 0 & 1   \\
0 & 1 & 1   \\
1 & 1 & 0   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}

{\it ќЄўЁў «Ґ­в­®бвмо ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}
­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, бўп§ ­­ п бЁ¬ў®«®¬
«®ЈЁзҐбЄ®© бўп§ЄЁ $\sim$.

\begin{center}

’ Ў«Ёж  9. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п нЄўЁў «Ґ­в­®бвЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y_{\sim}(x_1,x_2)=x_1 \sim x_2}$
\\
\hline
0 & 0 & 1   \\
1 & 0 & 0   \\
0 & 1 & 0   \\
1 & 1 & 1   \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}


Cа ў­Ёў п в Ў«Ёжл ЁбвЁ­­®бвЁ ¤«п бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ®© а §­®бвЁ Ё
нЄўЁў «Ґ­в­®бвЁ,
­Ґваг¤­® § ¬ҐвЁвм б«Ґ¤гойЁҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ ᮮ⭮襭Ёп:
$$\bf x_1+ x_2=\o{x_1\sim x_2};$$
$$\bf \o{x_1+ x_2}=x_1\sim x_2.$$

Ћв¬ҐвЁ¬, зв®  бЁ¬¬ҐваЁзҐбЄ п а §­®бвм Ё¬ҐҐв ­ҐбЄ®«мЄ® ­ §ў ­Ё©:
{\it бва®Ј п ¤Ё§ко­ЄжЁп}, {\it ЁбЄ«озЁвҐ«м­ п  «мвҐа­ вЁў },
{\it б㬬  Ї® ¬®¤г«о ¤ў }.

ќвг ®ЇҐа жЁо ¬®¦­® ЇҐаҐ¤ вм б«®ў ¬Ё --
"Ё«Ё" $x_1$ "Ё«Ё" $x_2$", в.Ґ. нв® «®ЈЁзҐбЄ п бўп§Є  "Ё«Ё", ­® ЎҐ§
ўЄ«о祭­®© ў ­Ґ бўп§ЄЁ "Ё".


Ћв¬ҐвЁ¬, зв® Ї®¤ б㬬®© Ї® ¬®¤г«о ¤ў  Ї®­Ё¬ Ґвбп б«Ґ¤го饥: Ґб«Ё
 «ЈҐЎа ЁзҐбЄ п б㬬 
­ҐбЄ®«мЄЁе 楫ле ўҐ«ЁзЁ­  а ў­  зҐв­®© ўҐ«ЁзЁ­Ґ, в® б㬬  Ї® ¬®¤г«о ¤ў  а ў­ 
­г«о, Ґб«Ё ­ҐзҐв­®©, в® б㬬  Ї® ¬®¤г«о ¤ў  а ў­  Ґ¤Ё­ЁжҐ.

Ќ ЇаЁ¬Ґа:
$$(1+2+3+4)_{\bf mod 2}=0;$$
$$(1+2+3+5)_{\bf mod 2}=1.$$




\s{’ ўв®«®ЈЁп Ё Їа®вЁў®аҐзЁҐ}
{\it ’ ўв®«®ЈЁҐ©} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ®¤­®© Ё«Ё
­ҐбЄ®«мЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, Є®в®а п ЇаЁ «оЎле §­ зҐ­Ёпе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле
ЇаЁ­Ё¬ Ґв §­ зҐ­ЁҐ $\bf TRUE$ Ё«Ё $1$.


{\it Џа®вЁў®аҐзЁҐ¬} ­ §лў Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ®¤­®© Ё«Ё
­ҐбЄ®«мЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле, Є®в®а п ЇаЁ «оЎле §­ зҐ­Ёпе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле
ЇаЁ­Ё¬ Ґв §­ зҐ­ЁҐ $\bf FALSE$ Ё«Ё $0$.


ЏаЁ¬Ґа®¬ в ўв®«®ЈЁЁ ¬®¦Ґв пў«пвмбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ®¤­®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®©
$$\bf y(x)=x\d \o{x}=1.$$
ЏаЁ¬Ґа®¬ Їа®вЁў®аҐзЁп ¬®¦Ґв пў«пвмбп «®ЈЁзҐбЄ п дг­ЄжЁп ®в ®¤­®© ЇҐаҐ¬Ґ­­®©
$$\bf y(x)=x\k \o{x}=0.$$
‚ н⮬ ­Ґваг¤­® гЎҐ¤Ёвмбп, б®бв ўЁў б®®вўвбвўгойЁҐ в Ў«Ёжл ЁбвЁ­­®бвЁ
¤«п дг­ЄжЁ© $\bf y(x)$.

\vspace{1.0 cm}

\s{Џ®­пвЁҐ Є®­бвЁв㥭вл}
Џ®¤ Є®­бвЁв㥭⮩ Ї®­Ё¬ Ґвбп «®ЈЁзҐбЄ®Ґ ўла ¦Ґ­ЁҐ б®бв®п饥
Ё§ «®ЈЁзҐбЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле Ё дг­ЄжЁ©, бўп§ ­­ле ¬Ґ¦¤г б®Ў®© Ї®б।бвў®¬ «®ЈЁзҐбЄЁе ®ЇҐа жЁ©.

…б«Ё «®ЈЁзҐбЄЁҐ ЇҐаҐ¬Ґ­­лҐ Ё дг­ЄжЁЁ ў Є®­бвЁв㥭⥠бўп§ ­л «Ёим
§­ Є ¬Ё Є®­ко­ЄжЁЁ (¤Ё§ко­ЄжЁЁ), в® в Є п Є®­бвЁвгҐ­в  ­ §лў Ґвбп
Є®­бвЁв㥭в -Є®­ко­Єв (Є®­бвЁв㥭в -¤Ё§ко­Єв) Ё«Ё Їа®бв®
Є®­ко­Єв (¤Ё§ко­Єв).

Ќ ЇаЁ¬Ґа, а бᬮваЁ¬ б«Ґ¤го饥 «®ЈЁзҐбЄ®Ґ ўла ¦Ґ­ЁҐ:
$$\bf a\k b\d c \d d.$$
ќв® Їа®бв® Є®­бвЁв㥭в .

…б«Ё ҐҐ § ЇЁб вм  ў ўЁ¤Ґ:
$$\bf (a\k b)\d (c\k d),$$
в® нв® Ўг¤Ґв Є®­кбвЁв㥭в -¤Ё§ко­Єв.

Ђ Ґб«Ё ҐҐ § ЇЁб вм  ў ўЁ¤Ґ:
$$\bf a\k (b\d c)\k d,$$
в® нв® Ўг¤Ґв Є®­кбвЁв㥭в -Є®­ко­Єв.


\s{”®а¬л ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ёп Ўг«Ґўле дг­ЄжЁ© ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле}

‹оЎго Ўг«Ґўг дг­ЄжЁо $y=f(\bf a,b)$ ¬®¦­® ЇаҐ¤бв ўЁвм Є Є
­ҐЄ®в®аго Є®¬ЎЁ­ жЁо Є®­бвЁв㥭в:
$$\bf C_0=\o{a}\k\o{b}, \quad C_1=a\k\o{b}, \quad C_2=\o{a}\k b, \quad C_3=a\k b.$$
Ј¤Ґ $\bf a$, $\bf b$ -- «®ЈЁзҐбЄЁҐ ЇҐаҐ¬Ґ­­лҐ.

’®Ј¤  ў § ўЁбЁ¬®бвЁ ®в §­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ Ё § ¤ ­­ле Є®­бвЁв㥭в $C_i$,
Ї®«гз Ґвбп иҐбв­ ¤ж вм «®ЈЁзҐбЄЁе ®ЇҐа жЁ©:
$$\bf  y=\bf [C_0\k f(0,0)]\d[C_1\k f(1,0)]\d[C_2\k f(0,1)]\d[C_3\k f(1,1)]$$
Ё«Ё
$$\bf  y=[\o{a}\k\o{b}\k f(0,0)]\d[a\k\o{b}\k f(1,0)]
\d[\o{a}\k b\k f(0,1)]\d[a\k b\k f(1,1)]$$

Џ®¤®Ў­ п д®а¬  ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ёп «®ЈЁзҐбЄЁе дг­ЄжЁ© ­ §лў Ґвбп {\it б®ўҐа襭­®©
¤Ё§ко­ЄвЁў­®© ­®а¬ «м­®© д®а¬®©} (‘„Ќ”).

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® Є®­бвЁв㥭вл ў ‘„Ќ” ЇаҐ¤бв ў«Ґ­л ў ўЁ¤Ґ Є®­ко­Єв®ў,
ᮥ¤Ё­Ґ­­ле ¬Ґ¦¤г б®Ў®© «®ЈЁзҐбЄЁ¬Ё бЁ¬ў®« ¬Ё ¤Ё§ко­ЄжЁЁ.

‚ «®ЈЁЄҐ Ѓг«п ¤Ґ©бвўгҐв {\it ЇаЁ­жЁЇ ¤ў®©б⢥­­®бвЁ}, Є®в®ал© Ј« бЁв:
ЇаЁ ®¤­®ўаҐ¬Ґ­­®© § ¬Ґ­Ґ бЁ¬ў®«®ў $\k\Leftrightarrow\d$ Ё
$1\Leftrightarrow 0$ ўбҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ а ўҐ­бвў  ®бв овбп ў бЁ«Ґ.

Џ®н⮬㠑„Ќ” ¬®¦­® § ЇЁб вм ў б«Ґ¤го饬 ўЁ¤Ґ:
$$\bf  y=[\o{a}\d\o{b}\d f(0,0)]\k[a\d\o{b}\d f(1,0)]
\k[\o{a}\d b\d f(0,1)]\k[a\d b\k f(1,1)]$$

ќв  д®а¬  ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ёп ­ §лў Ґвбп {\it б®ўҐа襭­®©
Є®­ко­ЄвЁў­®© ­®а¬ «м­®© д®а¬®©} (‘ЉЌ”).

‡¤Ґбм Є®­бвЁв㥭вл ЇаҐ¤бв ў«Ґ­л
ў ўЁ¤Ґ  ¤Ё§ко­Єв®ў.

‘®Ґ¤Ё­Ґ­л нвЁ ¤Ё§ко­Євл Є®­ко­ЄжЁҐ©, ®вбо¤  Ё ­ §ў ­ЁҐ -- ‘ЉЌ”.

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, «оЎго Ўг«Ґўг дг­ЄжЁо ¬®¦­® ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм,
ЁбЇ®«м§гп «Ёим ¤ўҐ «®ЈЁзҐбЄЁе ®ЇҐа жЁЁ: ¤Ё§ко­ЄжЁо Ё Є®­ко­ЄжЁо.

‘гйҐбвўгҐв ҐйҐ Ё ваҐвмп д®а¬  -- {\it б®ўҐа襭­ п Ї®«Ё­®¬Ё «м­ п
­®а¬ «м­ п д®а¬ } (‘ЏЌ”). …Ґ ¬®¦­® Ї®«гзЁвм Ё§ ‘„Ќ” Їг⥬ § ¬Ґ­л:
$$\bf a\d b=a+b+ab,$$
$$ \bf \o{a}=1+a.$$

Џ®н⮬㠬®¦­® ба §г ¦Ґ § ЇЁб вм (ў ‘ЏЌ” бЁ¬ў®« Є®­ко­ЄжЁЁ ®ЇгбЄ Ґвбп,
  ў¬Ґбв® ¤Ё§ко­ЄжЁЁ бв ўЁвбп ($+$):
$$\bf  y=[(1+a)(1+b)f(0,0)]+[a(1+b)f(1,0)]+[(1+a)bf(0,1)]+[abf(1,1)]$$
Ё«Ё, ЇаЁўҐ¤п Ї®¤®Ў­лҐ з«Ґ­л
$$\bf  y=f(0,0)+a[f(0,0)+f(1,0)]+b[f(0,0)+f(0,1)]+$$
$$\bf  +ab[f(0,0)+f(1,0)+f(0,1)+f(1,1)]$$

‚ в Ў«Ёж е 10 -- 12 ЇаЁўҐ¤Ґ­ Ї®«­л© бЇЁб®Є
{\it н«Ґ¬Ґ­в а­ле «®ЈЁзҐбЄЁе дг­ЄжЁ©}
®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле ў ваҐе {\it б®ўҐа襭­ле д®а¬ е} -- ‘„Ќ”, ‘ЉЌ” Ё ‘ЏЌ”.

‘®ўҐа襭­лҐ д®а¬л ЇаҐ¤бв ў«Ґ­Ё© Ї®§ў®«пов ўла §Ёвм  ­ «ЁвЁзҐбЄ®© д®а¬г«®©
«оЎго дг­ЄжЁо, Ґб«Ё Ё§ўҐбв­  ҐҐ в Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ.

\begin{center}

’ Ў«Ёж  10. ќ«Ґ¬Ґ­в а­лҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ дг­ЄжЁЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле
ў б®ўҐа襭­®© ¤Ё§ко­ЄвЁў­®© ­®а¬ «м­®© д®а¬Ґ (‘„Ќ”)
\end{center}


\begin{center}

\begin{tabular}{||c|c||}
\hline
${ y=f(\bf a,b)}$ & ‘„Ќ”
\\
\hline
 & \\
$y_0=0$ & $\bf (a\k b)\d(\o{a}\k b)\d(a\k\o{b})\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_1=\bf a\d b$ & $\bf (a\k b)\d(\o{a}\k b)\d(a\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_2=\bf b-a$ & $\bf \o{a}\d b= (a\k b)\d(\o{a}\k b)\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_3=\bf b$ & $\bf (a\k b)\d(\o{a}\k b)$ \\
 & \\
$y_4=\bf a-b$ & $\bf a\d\o{b}=(a\k b)\d(a\k\o{b})\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_5=\bf a$ & $\bf (a\k b)\d(a\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_6=\bf a+b$ & $\bf (a\k b)\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_7=\bf a\k b$ & $\bf (a\k b)\d(\o{a}\k b)\d(a\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_8=\bf a\downarrow b$ & $\bf \o{a}\d\o{b}= (a\k b)\d(\o{a}\k b)\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_9=\bf a\sim b$ & $\bf (\o{a}\k\o{b})\d(a\k b)=(\o{a}\k b)\d(a\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_{10}=\bf \o{a}$ & $\bf (\o{a}\k b)\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_{11}=\bf a\to b$ & $\bf (a\k b)\d(\o{a}\k b)\d(\o{a}\k\o{b})=b\d\o{a}$ \\
 & \\
$y_{12}=\bf \o{b}$ & $\bf (a\k\o{b})\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_{13}=\bf b\to a$ & $\bf (a\k b)\d(a\k\o{b})\d(\o{a}\k\o{b})=a\d\o{b}$ \\
 & \\
$y_{14}=\bf a\mid b$ & $\bf (\o{a}\k b)\d(a\k\o{b})\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
$y_{15}=\bf 1$ & $\bf (a\k b)\d(\o{a}\k b)\d(a\k\o{b})\d(\o{a}\k\o{b})$ \\
 & \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}




\begin{center}

’ Ў«Ёж  11. ќ«Ґ¬Ґ­в а­лҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ дг­ЄжЁЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле
ў б®ўҐа襭­®© Є®­ко­ЄвЁў­®© ­®а¬ «м­®© д®а¬Ґ (‘ЉЌ”)
\end{center}


\begin{center}

\begin{tabular}{||c|c||}
\hline
${ y=f(\bf a,b)}$ & ‘ЉЌ”
\\
\hline
 & \\
$y_0=0$ & $\bf (a\d b)\k(\o{a}\d b)\k(a\d\o{b})\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_1=\bf a\k b$ & $\bf (a\d b)\k(\o{a}\d b)\k(a\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_2=\bf b-a$ & $\bf \o{a}\k b= (a\d b)\k(\o{a}\d b)\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_3=\bf b$ & $\bf (a\d b)\k(\o{a}\d b)$ \\
 & \\
$y_4=\bf a-b$ & $\bf a\k\o{b}=(a\d b)\k(a\d\o{b})\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_5=\bf a$ & $\bf (a\d b)\k(a\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_6=\bf a+b$ & $\bf (a\d b)\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_7=\bf a\d b$ & $\bf (a\d b)\k(\o{a}\d b)\k(a\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_8=\bf a\downarrow b$ & $\bf \o{a}\k\o{b}= (a\d b)\k(\o{a}\d b)\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_9=\bf a\sim b$ & $\bf (\o{a}\d\o{b})\k(a\d b)=(\o{a}\d b)\k(a\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_{10}=\bf \o{a}$ & $\bf (\o{a}\d b)\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_{11}=\bf a\to b$ & $\bf (a\d b)\k(\o{a}\d b)\k(\o{a}\d\o{b})=b\k\o{a}$ \\
 & \\
$y_{12}=\bf \o{b}$ & $\bf (a\d\o{b})\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_{13}=\bf b\to a$ & $\bf (a\d b)\k(a\d\o{b})\k(\o{a}\d\o{b})=a\k\o{b}$ \\
 & \\
$y_{14}=\bf a\mid b$ & $\bf (\o{a}\d b)\k(a\d\o{b})\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
$y_{15}=\bf 1$ & $\bf (a\d b)\k(\o{a}\d b)\k(a\d\o{b})\k(\o{a}\d\o{b})$ \\
 & \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}

\begin{center}

’ Ў«Ёж  12. ќ«Ґ¬Ґ­в а­лҐ «®ЈЁзҐбЄЁҐ дг­ЄжЁЁ ®в ¤ўге ЇҐаҐ¬Ґ­­ле
ў б®ўҐа襭­®© Ї®«Ё­®¬Ё «м­®© ­®а¬ «м­®© д®а¬Ґ (‘ЏЌ”)



\end{center}

\begin{center}

\begin{tabular}{||c|c||}
\hline
${ y=f(\bf a,b)}$ & ‘ЏЌ”
\\
\hline
 & \\
$y_0=\bf 0$ & $\bf 0$ \\
 & \\
$y_1=\bf a\k b$ & $\bf ab$ \\
 & \\
$y_2=\bf b-a$ & $\bf b+ab$ \\
 & \\
$y_3=\bf b$ & $\bf b$ \\
 & \\
$y_4=\bf a-b$ & $\bf a+ab$ \\
 & \\
$y_5=\bf a$ & $\bf a$ \\
 & \\
$y_6=\bf a+b$ & $\bf a+b$ \\
 & \\
$y_7=\bf a\d b$ & $\bf a+b+ab$ \\
 & \\
$y_8=\bf a\downarrow b$ & $\bf 1+a+b+ab$ \\
 & \\
$y_9=\bf a\sim b$ & $\bf 1+a+b$ \\
 & \\
$y_{10}=\bf \o{a}$ & $\bf 1+a$ \\
 & \\
$y_{11}=\bf a\to b$ & $\bf 1+a+ab$ \\
 & \\
$y_{12}=\bf \o{b}$ & $\bf 1+b$ \\
 & \\
$y_{13}=\bf b\to a$ & $\bf 1+b+ab$ \\
 & \\
$y_{14}=\bf a\mid b$ & $\bf 1+ab$ \\
 & \\
$y_{15}=\bf 1$ & $\bf 1$ \\
 & \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}


\s{Ћб­®ў­лҐ § Є®­л Ўг«Ґў®©  «®ЈЁЄЁ}
Џгбвм  {\bf a,b,c} -- Є®­бвЁв㥭вл.

Ћб­®ў­л¬Ё § Є®­ ¬Ё «®ЈЁЄЁ Ѓг«п пў«повбп:

1) {\it § Є®­л Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ}:
$$ 1.1) \quad {\bf a=a\k a},$$
$$ 1.2) \quad {\bf a=a\d a};$$

2) {\it § Є®­л Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ}:
$$ 2.1) \quad {\bf a\k b = b\k a},$$
$$ 2.2) \quad{\bf a\d b = b\d a};$$

3) {\it § Є®­л  бб®жЁ вЁў­®бвЁ}:
$$ 3.1) \quad {\bf a\k (b\k c) =(a\k b)\k c},$$
$$ 3.2) \quad {\bf a\d (b\d c) =(a\d b)\d c};$$

4) {\it § Є®­л ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ}:
$$ 4.1) \quad {\bf a\k(b\d c) = (a\k b)\d(a\d c)},$$
$$ 4.2) \quad {\bf a\d(b\k c) = (a\d b)\k(a\d c)};$$

5) {\it § Є®­л ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл}:

$$ 5.1) \quad {\bf a\k \o{a} =0},$$
$$ 5.2) \quad {\bf a\k 1 =a},$$
$$ 5.3) \quad {\bf a\d \o{a} =1},$$
$$ 5.4) \quad {\bf a\d 0 =a};$$

6) {\it § Є®­л Ї®Ј«®йҐ­Ёп}:

$$ 6.1) \quad {\bf a\k(a\d b) =a},$$
$$ 6.2) \quad {\bf a\d(a\k b) =a};$$


7) {\it § Є®­л ¤Ґ Њ®аЈ ­ }:

$$ 7.1) \quad {\bf \o{a}\k \o{b}=\o{a\d b}},$$
$$ 7.2) \quad \o{{\bf a\d b}}=\o{{\bf a}}\k\o{{\bf b}};$$

8) {\it § Є®­л бЄ«ҐЁў ­Ёп}:

$$ 8.1) \quad {\bf (a\d \o{b})\k(a\d b)=a},$$
$$ 8.2) \quad {\bf (a\k \o{b})\d(a\k b)=a}.$$


Ћв¬ҐвЁ¬,  зв® § Є®­л Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ (1.1), Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ (2.1),
 бб®жЁ вЁў­®бвЁ (3.1), ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ (4.1), ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.1), (5.2),
Ї®Ј«®йҐ­Ёп (6.1), ¤Ґ Њ®аЈ ­  (7.1) Ё бЄ«ҐЁў ­Ёп (8.1) § ЇЁб ­л ¤«п Є®­ко­ЄжЁЁ.

€бЇ®«м§гп ЇаЁ­жЁЇ ¤ў®©б⢥­­®бвЁ, Ё§ ЇҐаҐзЁб«Ґ­­ле § Є®­®ў ­Ґб«®¦­®
Ї®«гзЁвм § Є®­л «®ЈЁЄЁ Ѓг«п ¤«п ¤Ё§ко­ЄжЁЁ (1.2), (2.2), (3.2), (4.2), (5.3),
(5.4), (6.2), (7.2), ((8.2).

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® § Є®­л Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ (1.1) -- (8.2) ¬®¦­®
ЇҐаҐЇЁб вм бЇа ў  ­ «Ґў®.

1) {\it § Є®­л Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ}:
$$ 1.3) \quad {\bf a\k a=a},$$
$$ 1.4) \quad {\bf a\d a=a};$$

2) {\it § Є®­л Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ}:
$$ 2.3) \quad {\bf  b\k a= a\k b  },$$
$$ 2.4) \quad {\bf  b\d a= a\d b };$$

3) {\it § Є®­л  бб®жЁ вЁў­®бвЁ}:
$$ 3.3) \quad {\bf (a\k b)\k c =a\k (b\k c) },$$
$$ 3.4) \quad {\bf (a\d b)\d c =a\d (b\d c) };$$

4) {\it § Є®­л ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ}:
$$ 4.3) \quad {\bf   (a\k b)\d(a\d c)=a\k(b\d c)},$$
$$ 4.4) \quad {\bf   (a\d b)\k(a\d c)=a\d(b\k c)};$$

5) {\it § Є®­л ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл}:

$$ 5.5) \quad {\bf 0=a\k \o{a}},$$
$$ 5.6) \quad {\bf  a=a\k 1 },$$
$$ 5.7) \quad {\bf  1=a\d \o{a} },$$
$$ 5.8) \quad {\bf a=a\d 0 };$$

6) {\it § Є®­л Ї®Ј«®йҐ­Ёп}:

$$ 6.3) \quad {\bf a=a\k(a\d b)},$$
$$ 6.4) \quad {\bf a=a\d(a\k b)};$$

7) {\it § Є®­л ¤Ґ Њ®аЈ ­ }:

$$ 7.3) \quad {\bf \o{a\k b}=\o{a}\d\o{b}},$$
$$ 7.4) \quad {\bf \o{a\d b}=\o{a}\k\o{b}};$$

8) {\it § Є®­л бЄ«ҐЁў ­Ёп}:

$$ 8.3) \quad {\bf a=(a\d \o{b})\k(a\d b)},$$
$$ 8.4) \quad {\bf a=(a\k \o{b})\d(a\k b)},$$


\s{ЊҐв®¤л ¤®Є § вҐ«мбвў  ў «®ЈЁЄҐ Ѓг«п}

‚ Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄҐ ЁбЇ®«м§говбп ¤ў  Ї®¤е®¤  -- {\it  ЄбЁ®¬ вЁзҐбЄЁ©} Ё
{\it Є®­бвагЄвЁў­л©}.

ЏаЁ  ЄбЁ®¬ вЁзҐбЄ®¬ ¤®Є § вҐ«мб⢥
ЁбЇ®«м§гҐвбп ¦ҐбвЄ п {\it бЁб⥬   ЄбЁ®¬}, ­ ЇаЁ¬Ґа, бЁб⥬ 
Ё§ ў®бм¬Ё ­ §ў ­­ле § Є®­®ў Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ.

Љ®­бвагЄвЁў­®Ґ ¤®Є § вҐ«мбвў® Їа®ў®¤Ёвбп б Ї®¬®ймо в Ў«Ёж ЁбвЁ­­®бвЁ.

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ­Ґ ўбҐ ў®бҐ¬м § Є®­®ў ­Ґ§ ўЁбЁ¬л ¤агЈ ®в ¤агЈ .

‡ Є®­л Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ, Ї®Ј«®йҐ­Ёп, ¤Ґ Њ®аЈ ­  Ё бЄ«ҐЁў ­Ёп ¬®¦­® Ї®«гзЁвм
Ё§ § Є®­®ў Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ,  бб®жЁ вЁў­®бвЁ, ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ Ё
­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл.


\ss{„®Є § вҐ«мбвў® § Є®­  Ї®Ј«®йҐ­Ёп}
‡ Є®­ Ї®Ј«®йҐ­Ёп ¬®¦­® Ї®«гзЁвм Ё§ § Є®­®ў ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл,
¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ Ё Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ.

„®Є ¦Ґ¬ ҐЈ® ¤«п ¤Ё§ко­ЄжЁЁ.

‹Ґўго з бвм ўла ¦Ґ­Ёп (6.1),
$$ \bf a\k(a\d b) =a,$$
 ЁбЇ®«м§гп § Є®­ ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.2) ${\bf a\k 1 =a},$
 ЇҐаҐЇЁиҐ¬ ў б«Ґ¤го饬 ўЁ¤Ґ
$$\bf a\d(a\k b)=(a\k 1)\d(a\k b).$$
€бЇ®«м§гп § Є®­ ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ $ {\bf   (a\k b)\d(a\d c)=a\k(b\d c)}$
бЇа ў  ­ «Ґў® (4.3),
¤«п Їа ў®© з бвЁ а ўҐ­бвў  Ї®«гзЁ¬
$$\bf (a\k 1)\d(a\k b)=a\k(1\d b).$$
Ќ® $\bf 1\d b$, Ґбвм в ўв®«®ЈЁп, Ї®н⮬г
$$\bf a\k(1\d b)=a\k 1.$$
€ ў ᮮ⢥вбвўЁЁ б § Є®­®¬ ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.2) Ї®«гз Ґ¬
 $\bf a\k 1=a$.

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, § Є®­ Ї®Ј«®йҐ­Ёп ¤«п ¤Ё§ко­ЄжЁЁ (6.1) ¤®Є § ­.

–ҐЇ®зЄ  «®ЈЁзҐбЄЁе а ўҐ­бвў ў н⮬ б«гз Ґ ўлЈ«п¤Ёв б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\bf a\d(a\k b)=(a\k 1)\d(a\k b)=a\k(1\d b)=a\k 1=a.$$




\ss{„®Є § вҐ«мбвў® § Є®­  Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ}


‡ Є®­ Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ ®в­®бЁвҐ«м­® ¤Ё§ко­ЄжЁЁ
¬®¦­® ўлўҐбвЁ Ё§ § Є®­®ў ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл:

‚®§м¬Ґ¬ ўла ¦Ґ­ЁҐ $\bf a\d a.$
€§ § Є®­  ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.6) ${\bf  a=a\k 1 }$,
б«Ґ¤гҐв, зв®
$$\bf a\d a=(a\d a)\k 1.$$
‚¬Ґбв® Ґ¤Ё­Ёжл ў Їа ў®© з бвЁ Ї®¤бв ўЁ¬ (5.7)
$ \bf  1=a\d \o{a}$. Џ®«гзЁ¬
$$\bf (a\d a)\k 1=(a\d a)\k(a\d \o{a}).$$
€бЇ®«м§гп § Є®­ ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ $ \bf   (a\d b)\k(a\d c)=a\d(b\k c)$
бЇа ў  ­ «Ґў® (4.4), Ї®«гзЁ¬
$$\bf (a\d a)\k(a\d \o{a})=a\d(a\k\o{a}).$$
‘®Ј« б­® § Є®­г ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.1) ${\bf a\k \o{a} =0}$,
Ї®н⮬г
$$\bf a\d(a\k\o{a})=a\d 0.$$
ЋвЄг¤ , ЁбЇ®«м§гп § Є®­ ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.4) ${\bf a\d 0 =a}$,
Ї®«гзЁ¬
$$\bf a\d 0=a.$$
–ҐЇ®зЄ  «®ЈЁзҐбЄЁе а ўҐ­бвў ў н⮬ б«гз Ґ ўлЈ«п¤Ёв б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\bf a\d a=(a\d a)\k 1=(a\d a)\k(a\d \o{a})=a\d(a\k\o{a})=a\d 0=a.$$


\ss{‚в®а®Ґ ¤®Є § вҐ«мбвў® § Є®­  Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ}

Ћв¬ҐвЁ¬, зв® § Є®­ Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ ¬®¦­® в Є¦Ґ Ї®«гзЁвм Ё§
§ Є®­®ў Ї®Ј«®йҐ­Ёп Ё ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ.

‡ ЇЁиҐ¬ § Є®­ Ї®Ј«®йҐ­Ёп ¤«п ¤Ё§ко­ЄжЁЁ бЇа ў  ­ «Ґў® (6.4)
$$\bf a=a\d(a\k b).$$
€бЇ®«м§гп § Є®­ ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ (4.2)
$ {\bf a\d(b\k c) = (a\k b)\k(a\d c)}$,
Ё Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ ўла ¦Ґ­ЁҐ $\bf a\d(a\k b)$ § ЇЁиҐ¬ ў б«Ґ¤го饬 ўЁ¤Ґ:
$$\bf a\d(a\k b)=(a\d a)\k(a\d b)=(a\d b)\k(a\d a).$$
€бЇ®«м§гп § Є®­ ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ (4.4)
${\bf   (a\d b)\k(a\d c)=a\d(b\k c)}$,
ўла ¦Ґ­ЁҐ, бв®п饥 ў Їа ў®© з бвЁ, § ЇЁиҐ¬ ў ўЁ¤Ґ
$$\bf  (a\d b)\k(a\d a)=(a\k(a\d b))\d(a\k(a\d b)).$$

€бЇ®«м§гп § Є®­ Ї®Ј«®йҐ­Ёп (6.2) $ {\bf a\d(a\k b) =a}$,
 Ї®«гз Ґ¬ ¤«п Їа ў®© з бвЁ
$$\bf (a\k(a\d b))\d(a\k(a\d b))=a\d a. $$
’Ґ¬ б ¬л¬ ¤®Є §лў Ґ¬ § Є®­ Ё¤Ґ¬Ї®вҐ­в­®бвЁ.

–ҐЇ®зЄ  «®ЈЁзҐбЄЁе а ўҐ­бвў ў н⮬ б«гз Ґ ўлЈ«п¤Ёв б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\bf a=a\d(a\k b)=(a\d a)\k(a\d b)= (a\d b)\k(a\d a)=$$
$$\bf =((a\k(a\d b))\d(a\k(a\d b))=a\d a.$$


\ss{„®Є § вҐ«мбвў® § Є®­  ¤Ґ Њ®аЈ ­ }
‡ Є®­ ¤Ґ Њ®аЈ ­  ¬®¦­® ¤®Є § вм б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬.

"“¬­®¦Ёў"
ўла ¦Ґ­ЁҐ (7.3)
$$ \bf \o{a\k b}=\o{a}\d\o{b},$$
б«Ґў  Ё бЇа ў  ­  бЄ®ЎЄг $\bf (a\d b)$, Ї®«гзЁ¬:
$$\bf \o{a\d b}\k(a\d b)=\o{a}\k\o{b}\k(a\d b),$$
C®Ј« б­® § Є®­г ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.1) $\bf \o{d}\k d =0,$
Ј¤Ґ $\bf d=a\d b$, Ї®н⮬㠫Ґў п з бвм ўла ¦Ґ­Ёп а ў­  ­г«о
$$\bf \o{a\d b}\k(a\d b)=0.$$
€бЇ®«м§гп § Є®­  бб®жЁ вЁў­®бвЁ (3.1) $ \bf a\k (b\k c) =(a\k b)\k c,$
¤«п Їа ў®© з бвЁ ўла ¦Ґ­Ёп, Ї®«гзЁ¬
$$\bf \o{a}\k\o{b}\k(a\d b)=f\k b,$$
Ј¤Ґ $\bf f=(\o{a}\k \o{b})\k a$.
€бЇ®«м§гп § Є®­л Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ
Ё  бб®жЁ вЁў­®бвЁ (3.3) $ {\bf (a\k b)\k c =a\k (b\k c) },$
ўла ¦Ґ­ЁҐ ¤«п $\bf f$ ¬®¦­® § ЇЁб вм б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\bf f=(\o{a}\k\o{b})\k a=(\o{b}\k \o{a})\k a=\o{b}\k(\o{a}\k a),$$
Ќ® $\bf \o{a}\k a=0$,   $\bf \o{b}\k 0=\o{b}$
Ё Ї®«гз Ґ¬, зв® $\bf f=\o{b}$.
Ќ® $\bf \o{b}\k b=0$.

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ё Їа ў п з бвм ўла ¦Ґ­Ёп а ў­  ­г«о.

\ss{„®Є § вҐ«мбвў® § Є®­  бЄ«ҐЁў ­Ёп}
‡ Є®­ бЄ«ҐЁў ­Ёп ¬®¦­® Ї®«гзЁвм Ё§ § Є®­®ў ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ
Ё ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл.

„®Є ¦Ґ¬ ҐЈ® ¤«п Є®­ко­ЄжЁЁ (8.1).
$$ \bf (a\d \o{b})\k(a\d b)=a,$$


 €бЇ®«м§гп § Є®­ ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ $ \bf   (a\d b)\k(a\d c)=a\d(b\k c$
бЇа ў  ­ «Ґў® (4.4), ЇҐаҐЇЁиҐ¬ «Ґўго з бвм ўла ¦Ґ­Ёп (8.1)
$$\bf (a\d \o{b})\k(a\d b)=a\d(\o{b}\k b).$$
€бЇ®«м§гп § Є®­ ­г«п Ё Ґ¤Ё­Ёжл (5.3) $\bf \o{b}\k b=0$,
 Ї®«гзЁ¬
$$\bf a\d(\o{b}\k b)=a\d 0.$$
Ќ® $\bf a\d 0=a$.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, § Є®­ бЄ«ҐЁў ­Ёп ¤«п Є®­ко­ЄжЁЁ ¤®Є § ­.


–ҐЇ®зЄ  «®ЈЁзҐбЄЁе а ўҐ­бвў ў н⮬ б«гз Ґ ўлЈ«п¤Ёв б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
$$\bf (a\d \o{b})\k(a\d b)=a\d(\o{b}\k b)=a\d 1=a.$$




\vspace{1 cm}
\fbox{%
\parbox{12cm}{%
€в Є, ў Є зҐб⢥ ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© бЁбвҐ¬л § Є®­®ў ¬®¦­® ўлЎа вм
§ Є®­л:{\it Є®¬¬гв вЁў­®бвЁ,  бб®жЁ вЁў­®бвЁ, ¤ЁбваЁЎгвЁў­®бвЁ, ­г«п Ё
Ґ¤Ё­Ёжл.}
}%
}


\s{Ќ е®¦¤Ґ­ЁҐ Ўг«Ґў®© дг­ЄжЁЁ ®в ваҐе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле Ї® ҐҐ в Ў«ЁжҐ ЁбвЁ­­®бвЁ}
Џгбвм § ¤ ­  Є®­ЄаҐв­ п в Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ (в Ў«Ёж  13) ¤«п дг­ЄжЁЁ,
§ ўЁбп饩 ®в ваҐе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле.

\vfill\eject

\begin{center}

’ Ў«Ёж  13. ’ Ў«Ёж  ЁбвЁ­­®бвЁ ­ҐЄ®в®а®© дг­ЄжЁЁ, § ўЁбп饩 ®в ваҐе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле

\begin{tabular}{||c|c|c|c||}
\hline
${\bf x_1}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf x_2}$ & ${\bf y=f(x_1,x_2,x_3)}$
\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 1  \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 1 & 1  \\
1 & 0 & 1 & 0  \\
0 & 1 & 1 & 0  \\
1 & 1 & 1 & 1  \\
\hline
\end{tabular}


\end{center}



’®Ј¤ , ўлЇЁблў п ᮮ⢥вбвўгойЁҐ Є®­ко­Євл
Їа®вЁў Ґ¤Ё­Ёз­ле §­ зҐ­Ё© $y$, ¬®¦­® Ї®«гзЁвм ‘„Ќ”.
$$y_{{\rm ‘„Ќ”}}=\bf (\o{x_3}\k\o{x_2}\k x_1)
\d(\o{x_3}\k x_2\k x_1)\d(x_3\k\o{x_2}\k\o{x_1})\d(x_3\k x_2\k x_1).$$

…б«Ё ¦Ґ ўлЇЁб вм ¤Ё§ко­Євл
Їа®вЁў ­г«Ґўле §­ зҐ­Ё© $y$, в® ¬®¦­® Ї®«гзЁвм ‘ЉЌ”.
$$y_{{\rm ‘ЉЌ”}}=\bf (x_3\d x_2\d x_1)
\k(x_\d\o{x_2}\d x_1)\k(\o{x_3}\d\ x_2\d\o{x_1})
\k(\o{x_3}\d\o{x_2}\d x_1).$$

Ќ Є®­Ґж, ‘ЏЌ”
®Ўа §гҐвбп Їг⥬ § ¬Ґ­л ў ‘„Ќ”: $\d$ ­  $+$ Ё $\o{x}$ ­  $1+x$.
$$y_{{\rm ‘ЏЌ”}}=\bf (x_3+1)(x_2+1)x_1+x_3x_2x_1+(x_3+1)x_2x_1+
x_3(x_2+1)(x_1+1).$$

‚ Ї®б«Ґ¤­Ё¬ б«гз Ґ ўла ¦Ґ­ЁҐ ¤«п $y_{{\rm ‘ЏЌ”}}$
«ҐЈЄ® ¬®¦­® гЇа®бвЁвм, Ґб«Ё а бЄалвм бЄ®ЎЄЁ Ё ў§Ё¬­® б®Єа вЁвм ўбҐ
®¤Ё­ Є®ўлҐ б« Ј Ґ¬лҐ, ўе®¤пйЁҐ ў д®а¬г«г зҐв­®Ґ зЁб«® а §:
$$y_{{\rm ‘ЏЌ”}}=\bf x_1+x_2+x_3x_2.$$

Џ®¤®Ў­®Ґ гЇа®йҐ­ЁҐ, Є®в®а®Ґ ­ §лў Ґвбп {\it ¬Ё­Ё¬Ё§ жЁҐ© «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ}
¬®¦­® ®бгйҐбвўЁвм Ё Ї® ®в­®иҐ­Ёо Є ‘„Ќ” Ё ‘ЉЌ”, ЁбЇ®«м§гп
§ Є®­л Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ.

\ss{ЊЁ­Ё¬Ё§ жЁп «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ, § ЇЁб ­­®© ў ‘„Ќ” Ё ‘ЉЌ”}

Џа®ўҐ¤Ґ¬ ¬Ё­Ё¬Ё§ жЁо «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ, § ЇЁб ­­®© ў ‘„Ќ”.
$$y_{{\rm ‘„Ќ”}}=\bf (\o{x_3}\k\o{x_2}\k x_1)
\d(\o{x_3}\k x_2\k x_1)\d(x_3\k\o{x_2}\k\o{x_1})\d(x_3\k x_2\k x_1),$$
Љ®­бвЁв㥭вг
$$\bf (\o{x_3}\k\o{x_2}\k x_1)\d(\o{x_3}\k x_2\k x_1)$$
ЇҐаҐЇЁиҐ¬ ў б«Ґ¤го饬 ўЁ¤Ґ:
$$\bf (a\k\o{x_2})\d(a\k x_2),$$
Ј¤Ґ $\bf a=\o{x_3}\k x_1$. ’®Ј¤ , б®Ј« б­® § Є®­г бЄ«ҐЁў ­Ёп (8.1)
$$\bf (a\k\o{x_2})\d(a\k x_2)=a=\o{x_3}\k x_1,$$
Ё ¤«п «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ, § ЇЁб ­­®© ў ‘„Ќ”, Ї®«гз Ґ¬ «®ЈЁзҐбЄго
дг­ЄжЁо ў Њ„Ќ” ({\it ¬Ё­Ё¬ «м­го ¤Ё§ко­ЄвЁў­го ­®а¬ «м­го д®а¬г)}
$$y_{{\rm Њ„Ќ”}}=\bf (\o{x_3}\k x_1)
\d(x_3\k\o{x_2}\k\o{x_1})\d(x_3\k x_2\k x_1),$$


Џа®ўҐ¤Ґ¬ ¬Ё­Ё¬Ё§ жЁо «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ, § ЇЁб ­­®© ў ‘ЉЌ”.
$$y_{{\rm ‘ЉЌ”}}=\bf (x_3\d x_2\d x_1)
\k(x_\d\o{x_2}\d x_1)\k(\o{x_3}\d\ x_2\d\o{x_1})
\k(\o{x_3}\d\o{x_2}\d x_1),$$
Љ®­бвЁв㥭вг
$$\bf (x_3\d x_2\d x_1)\k(x_3\d \o{x_2}\d x_1)$$
ЇҐаҐЇЁиҐ¬ ў б«Ґ¤го饬 ўЁ¤Ґ:
$$\bf (a\d\o{x_2})\k(a\d x_2),$$
Ј¤Ґ $\bf a=x_3\d x_1$. ’®Ј¤ , б®Ј« б­® § Є®­г бЄ«ҐЁў ­Ёп (8.1)
$$\bf (a\d\o{x_2})\k(a\d x_2)=a=x_3\d x_1,$$
Ё ¤«п «®ЈЁзҐбЄ®© дг­ЄжЁЁ, § ЇЁб ­­®© ў ‘ЉЌ”, Ї®«гз Ґ¬ «®ЈЁзҐбЄго
дг­ЄжЁо ў ЊЉЌ” ({\it ¬Ё­Ё¬ «м­го Є®­ко­ЄвЁў­го ­®а¬ «м­го д®а¬г)}
$$y_{{\rm ЊЉЌ”}}=\bf (x_3\d x_1)
\k(x_3\d\o{x_2}\d\o{x_1})\k(x_3\d x_2\d x_1),$$




\s{ЏаЁ¬Ґал ¤«п аҐиҐ­Ёп}
€бЇ®«м§гп § Є®­л Ўг«Ґў®© «®ЈЁЄЁ, гЇа®бвЁвҐ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­­лҐ
Є®­бвЁв㥭вл.

$$1. {\bf (a\d(\o{d}\d b))\d
((\o{a}\d(\o{b}\d d))\d c))
\d\o{c}\d(a\d(b\d\o{d}))},$$
$$2.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},$$
$$3.
{\bf (\o{b}\d d)((\o{d}\d c)\d(a\d c)\d
(\o{d}\d\o{c})
\d(a\d\o{c}))\d(b\d d)},$$
$$4.
{\bf (a\d c\o{c})\d(\o{a}\d\o{b})
\d(\o{b}\d c)\d(\o{a}\d b)\d(b\d c)},$$
$$5.
{\bf (\d c)\d((b\d\o{d})\d)\d\o{a}
\d\o{d})\d(d\d b)
\d(\o{a}\d d))\d(a\d\o{c})},$$
$$6.
{\bf ((\o{b}\d\o{c})\d(a\d b))\d(d\d\o{c})\d
(((\o{b}\d\o{a})\d c)\d(a\d b))},
$$
$$7.
{\bf (a\d\o{c})\d(\o{a}\d\o{b})\d(b\d c)\d
(\o{a}\d b)\d(c\d\o{b})},
$$
$$8.
{\bf ((a\d(c\d(b\d c)))\d\o{(c\d d)}\d(c\d\o{d}))
\d(c\d(\o{d}\d\o{c})\d d)},
$$
$$9.
{\bf ((a\d\o{a})\d(\o{b}\d\o{d}\d(\o{b}
\d\o{c})\d(\o{c}\d d))\d((\o{b}\d c)
\d(c\d d))},
$$
$$10.
{\bf (a\d\o{c})\d((\o{a}\d d)\d b\d d)
\d(\o{a}\d\o{d})\d(b\d\o{d}))\d(a\d c)},
$$
$$11.
{\bf ((d\d\o{c})\d(\o{d}\d\o{b})
\d(c\d\o{b}))\d((\o{d}\d b)\d(c\d b))\d(\o{a}\d a)},
$$
$$12.
{\bf ((\o{c}\d\o{d})\d(b\d c))\d(\o{a}
\d\o{d})\d(((\o{c}\d\o{b})\d d)\d(c\d b))},
$$
$$13.
{\bf ((a\d b)\d(\o{b}\d c\d d)\d(\o{a}
\d\o{b}\d c\d d)\d\o{b}\d\o{c}\d d)},
$$
$$14.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$15.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$16.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$17.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$18.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$19.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$20.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$21.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$22.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$23.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})},
$$
$$24.
{\bf ((a\d c)\d(a\d d))\d (((c\d(c\d b))
\d\o{c})\d\o{a})}.
$$


\s{€бЇ®«м§гҐ¬ п «ЁвҐа вга }
\

1. €.‚, ђ®¬ ­®ўбЄЁ©. „ЁбЄаҐв­л©  ­ «Ё§, ЌҐўбЄЁ© ¤Ё «ҐЄв, 2001,

2. ”. Ђ. Ќ®ўЁЄ®ў. „ЁбЄаҐв­ п ¬ вҐ¬ вЁЄ  ¤«п Їа®Ја ¬Ёбв®ў. ‘ЇЎ, 2001.

3. Ѓ. Ќ. €ў ­®ў. „ЁбЄаҐв­ п ¬ вҐ¬ вЁЄ . Ђ«Ј®аЁв¬л Ё Їа®Ја ¬¬л. Њ., 2001.

4. ‚. Ќ. ЌҐдҐ¤®ў, ‚. Ђ. ЋбЁЇ®ў . Љгаб ¤ЁбЄаҐв­®© ¬ вҐ¬ вЁЄЁ, Њ., 1992.

5. ‘. ‚. џЎ«®­бЄЁ©. ‚ўҐ¤Ґ­ЁҐ ў ¤ЁбЄаҐв­го ¬ вҐ¬ вЁЄг ,Њ., 2001.

6. €. Ђ. ‹ ўа®ў, ‹. ‹. Њ ЄбЁ¬®ў . ‡ ¤ зЁ Ї® ⥮ਨ ¬­®¦Ґбвў,
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®© «®ЈЁЄҐ Ё ⥮ਨ  «Ј®аЁв¬®ў, Њ., 1995.

7. Ћ. …. ЂЄЁ¬®ў. „ЁбЄаҐв­ п ¬ вҐ¬ вЁЄ : «®ЈЁЄ , ЈагЇЇл, Ја дл, Њ., 2001.


\end{document}